司志本，李 蕊

（1.河北民族師范學(xué)院，河北 承德 067000 2.興隆縣青少年活動中心，河北 興隆 067300）

在微積分學(xué)中，微積分的一些基本性質(zhì)，給我們的計算或證明帶來許多方便。但是，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時，我們不能只滿足于對已有性質(zhì)的運用，還應(yīng)該有意識的對一些性質(zhì)做出進一步的探討，挖掘其深刻的內(nèi)涵.只有這樣，才能使我們更好地掌握微積分學(xué)這部分內(nèi)容。本文先討論幾個性質(zhì)，然后再針對性質(zhì)4舉幾個例子，說明這個性質(zhì)在定積分的計算中所發(fā)揮的作用。

性質(zhì)1 若函數(shù)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則

性質(zhì)1說明，對于一個可積函數(shù)f(x)來說，先求不定積分然后再求導(dǎo)，最后結(jié)果仍然是原來的函數(shù)f(x)，也就是說，“求積分”和“求導(dǎo)”這兩種運算的作用相互抵消了。性質(zhì)1是微積分學(xué)中最簡單、最基本的性質(zhì)之一。在隨后學(xué)習(xí)定積分時我們發(fā)現(xiàn)，積分上限函數(shù)有與（1）式類似的性質(zhì),即有下面的性質(zhì)2.

性質(zhì)2 若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則積分上限函數(shù)在[a,b]上可導(dǎo)，而且有

比較（1）、（2）兩式，我們發(fā)現(xiàn)

不難說明，如果把（1）式和（2）式中的x都換為x2，那么等式就不再成立。但是，我們有下面的（4）式和（5）式成立：

（4）式和（5）式都可以運用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進行證明。此處從略。

比較（4）式和（5）式，我們發(fā)現(xiàn)

一般情況，對于任意的正整數(shù)n，有

從而有

不難證明，（9）式當(dāng)n是負(fù)整數(shù)時也成立，這樣就得到下面的性質(zhì)3.

性質(zhì)3 對于任何可積函數(shù)f(x)以及非零整數(shù)n，都有

公式（10）把不定積分、定積分以及導(dǎo)數(shù)這三個概念有機的結(jié)合在一起，充分揭示了微分與積分的內(nèi)在聯(lián)系。

性質(zhì)4 若f(x)為連續(xù)函數(shù)，則

證明：設(shè) x=π-t，則 dx=-dt，當(dāng) x=0 時，t=π；當(dāng) x=π 時，t=0.所以有

利用性質(zhì)4，我們可以計算一類與之相關(guān)的定積分.

解：顯然，被積函數(shù)f(x)=sinx在區(qū)間[0,π]上是連續(xù)的。由性質(zhì)4可得

說明：上面例2在求積分的過程中，我們先把被積函數(shù)中的cos2x換成了1-sin2x，然后運用性質(zhì)4，在用完性質(zhì)4以后，又把1-sin2x還原為cos2x.這種循環(huán)變換有沒有必要呢？實際上，因為cos2x=1-sin2x，所以，若被積函數(shù)f(x)的表達式中含有cos2nx，則不用做上面的循環(huán)變換，直接用性質(zhì)4即可.例如，上面的例2也可以如下求解：

因為

所以，原積分為

當(dāng) x≠0時，有

當(dāng)x≠π時，有

所以，當(dāng) x≠0且 x≠π 時，有

而當(dāng)x=0與x=π時，都有

所以，原積分為

例3和例4都是把一個定積分問題轉(zhuǎn)化成了廣義積分問題來解決。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].華東師范大學(xué)出版社，1998.8.

[2]任建婭,司志本,成福偉.高等數(shù)學(xué)簡明教程[M].大連理工大學(xué)出版社,2010.8.