一、問題緣起
　　作業(yè)練習是教學過程中不可缺少的重要環(huán)節(jié)，學生練、老師批這是最常見的教學信息反饋流程。有些教師會根據(jù)學生的錯誤情況進行分類，如同一知識性錯誤的一類，計算錯誤的一類等，而后按照錯誤的類別分批次給學生講解，這應該算是一位盡責的教師。
　　筆者每天也都如此，可是，目前所任教的學生兩年下來并沒有明顯的進步，令人百思不得其解，只好到處尋覓良策，無意中發(fā)現(xiàn)這樣一段話：數(shù)學思維活動教學涉及三種思維活動：前人的思維活動（它或隱或現(xiàn)地存在于課本中），數(shù)學教師的思維活動和學生的思維活動。前人的思維活動以教材和教師為媒介對教學過程產(chǎn)生影響，是數(shù)學教學活動的隱蔽參加者。這種反映在知識中的成熟的數(shù)學思維活動是學生思維活動的楷模。教師通過自己創(chuàng)造性的思維活動，在前人與學生思維活動之間、學生的已有知識與面臨的問題之間架設橋梁。揭示前人與學生的數(shù)學思維活動過程的能力是數(shù)學教師重要的教學素質(zhì)，分析數(shù)學思維過程是數(shù)學教師在教學活動中最重要、最本質(zhì)的活動。
　　一語驚醒夢中人，平時我們是怎樣批改作業(yè)的？只是簡單地對學生作業(yè)判斷“√”或“×”，然后把錯的作業(yè)歸歸類，讓學生訂正一下，這樣作業(yè)就算批好了。捫心自問：我了解做對學生的解題思維過程了嗎？是一樣的還是不一樣的？有幾種？做錯學生的解題思維過程是全錯了？還是部分錯？慚愧！這么多問號我一個也法回答，試問我怎么能架設一座好的橋梁？欣喜！我終于找到方向了，那么作業(yè)里到底蘊藏著多少寶藏呢？讓我們從分析思維過程入手。
　　【原型重現(xiàn)】初嘗甜頭
　　在學習了通分這一知識以后的練習，筆者像平時一樣對學生的作業(yè)進行批改，當批到張同學的作業(yè)時，突然發(fā)現(xiàn)了他沒有在原分數(shù)的旁邊寫上一個通分后的分數(shù)后進行大小比較，而是在每個分數(shù)的分子上方寫上了一個數(shù)字，哪個數(shù)字大這個分數(shù)就大，巧的是每一個結果都是正確的，原來每一個分子上方的數(shù)字都是這個數(shù)的分子與另一個分數(shù)分母的乘積，都是通過十字相乘得來的。難道這個方法在任何分數(shù)的大小比較中都可以用嗎？到底為什么可以這樣做？這位學生的思維過程是怎樣的呢？于是筆者去詢問了這位學生，其思維過程如下：
　　【分層剖析】這是運用了通分的方法，在這類題目中是沒必要找出分母的最小公倍數(shù)，只要找原分母的公倍數(shù)就可以了，因為這樣已經(jīng)可以達到解題目的，而且速度也快。筆者把這位學生的思維過程展現(xiàn)給其他學生看時，大家都感覺到原來分數(shù)大小的比較方法可以如此簡單，都對這位學生投去了佩服的眼光，并且自發(fā)地把這種方法命名了“張××（這位同學的名字）法”。
　　學生在解答題目時，展現(xiàn)了在學習數(shù)學知識中另類而又正確的思維過程。教師利用這一思維過程向?qū)W生滲透了該學生解決問題的方法，使所有學生都品嘗和共享這一快速而有效的方法。通過這一思維過程讓每一位學生都得到了新成果（問題的解答）。筆者也嘗到了在作業(yè)中關注學生思維過程的甜頭。
　　數(shù)學課程標準中強調(diào)有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，教師必須扮演好作為聯(lián)系教材和學生的橋梁這一角色。吃透教材（明晰編者的思維活動），把握學生（重視學生作業(yè)的分析，從而掌握學生對已有知識的思維過程），這樣才能讓學生進行有效的數(shù)學學習活動；這樣才能使編者、教師、學生的思維活動和諧統(tǒng)一；這樣才是成功的教學。因此，筆者認為分析學生作業(yè)的思維過程應是數(shù)學教師在批改作業(yè)時最重要、最本質(zhì)的活動。
　　二、分析方法
　　數(shù)學課程標準指出：小學數(shù)學的教學應注重對學生數(shù)學思維過程的評價和分析。對學生作業(yè)數(shù)學思維過程的分析就是要使學生明確要解決的主要問題，運用涉及的舊知識，得到新的成果（問題的解答）；使用合適的語言（符號或術語）與方法，得到新的解題方法；然后對成果加以應用，達到舉一反三的效果。最終讓我們的課堂變知識儲備型教學為智力開發(fā)型教學，變知識型人才的培養(yǎng)為素質(zhì)型人才的培養(yǎng)?；谏鲜龅恼J識，筆者認為教師必須掌握一些對小學生數(shù)學作業(yè)思維過程分析的有效方法。
　?。ㄒ唬┙栌脭?shù)量關系，訓練學生的思維過程
　　新教材依據(jù)“課標”要求不再設置“應用題”的專門編排和教學課時，要求教師取消這部分內(nèi)容的集中教學，期望教師通過現(xiàn)實生活情境創(chuàng)設，把數(shù)量關系的運用問題滲透到日常教學之中。這種追求本身并沒有錯，只是很多教師不太適應這種融合滲透的教學方式，導致課堂教學中現(xiàn)實生活情境泛濫，缺乏的卻是結合情境的教學過程來滲透數(shù)量關系的運用問題。特別是對數(shù)量關系適時抽象概括與專項訓練更是重視不夠，導致學生對解決問題望而生懼，亂猜解題方法，學生的認識和思維也只能停留在具體情境上。
　　我們一線的教師都十分清楚數(shù)量關系對解決問題的重要性，但讓學生死記硬背是違背新課程理念的，何不換種方式讓學生運用實際情境來解釋這個數(shù)量關系，真正體驗到這一數(shù)量關系是合理的也是正確的，再運用這一數(shù)量關系式解決問題，從而達到內(nèi)化。
　　【原型重現(xiàn)】成功起航
　　【分層剖析】
　　1.以線段圖來直觀展現(xiàn)1份的速度和里包括一個40和一個50相加的和，因為這是1分鐘小明和小兵同時行走的，4分鐘就是有4個（40＋50）的和。
　　2.以文字進行分解說明這一數(shù)量關系式的原形為總路程=小明的速度×時間+小兵的速度×時間，因為時間相同，再聯(lián)系乘法分配律可以變式為路程=速度和×時間。
　　上述的聯(lián)系實際問題解釋數(shù)量關系，體現(xiàn)了學生利用自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象來解釋數(shù)學建模的合理性與正確性，也充分顯示了學生具有較強的處理信息、推理和證明事實的能力，通過思維過程的分析也進一步提升了學生對數(shù)量關系的理解。
　?。ǘ┩ㄟ^內(nèi)化面積公式，訓練學生的思維過程
　　要讓學生體會到前人的圖形計算公式的合理性和正確性，就必須讓學生經(jīng)歷公式推導的這樣一個過程：觀察→猜想→驗證→證明→應用，這既是公式推導的一般程序，也是數(shù)學家思維活動的過程。因此，從圖形面積的推導入手可以分析出數(shù)學家思維活動的過程，而分析這一思維過程和小學生的思維特點，就可以制訂出比較合理的教學程序。
　　【原型重現(xiàn)】以舊推新
　　【分層剖析】
　　1.用補缺口的方法來說明自己判斷的正確性。
　　2.用平均分的知識來證明自己的猜測。
　　3.運用平移、旋轉(zhuǎn)的知識來驗證三角形的面積等于長方形面積的1/2，得出S△=ab÷2，然后加以應用。
　　上述三角形面積公式推導思維過程，讓學生經(jīng)歷了圖形面積公式推導的一般過程：觀察、比較、猜想、驗證，十分自然地體現(xiàn)了數(shù)學研究的一般程序，并使學生建立起“新”圖形轉(zhuǎn)化成“舊”圖形之間的聯(lián)系，使學生主動地掌握幾何圖形的面積計算公式，并在這一過程中，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識和實踐能力，發(fā)展了學生的空間想象能力，增強了學生進行研究性學習的能力。
　?。ㄈ┦崂斫忸}思路，訓練學生的思維過程
　　數(shù)學中有不少類型的題目有約定俗成的解題策略與解題方法，但還有很多題目要用獨特的思路去解決。筆者以一道作業(yè)題為例，試圖從解決數(shù)學題的思路中分析數(shù)學思維過程。
　　【原型重現(xiàn)】把握本質(zhì)
　　【分層剖析】
　　1.由梯形和三角形的概念聯(lián)想到它們的本質(zhì)屬性，由它們的概念想象到圖形的結構圖。
　　2. 梯形角和三角形角的數(shù)量之和為7個成立，小于7個和大于7個不成立，這是另一位學生的做法：
　　（1）角共有7個成立，是一個梯形和一個三角形；
　?。?）角共有6個不成立，是兩個直角三角形；
　?。?）角共有8個不成立， 是兩個梯形。
　　3.確定要求作的線段是一個端點在對角線上，另一個端點在對邊的線上任意一點的公共邊。
　　4.作出圖形。
　?。ㄋ模┻x擇解題方法，訓練學生的思維過程
　　【原型重現(xiàn)】分數(shù)部分不夠減的帶分數(shù)減法
　　以3-1＝？為例
　　一位學生解題的方法是：
　　3-1= 2-1= （2-1）+（-）＝ 1+＝ 1。
　　根據(jù)這樣的解題過程，師生共同總結出解決這類題的思維過程是：
　　一看：看分數(shù)部分夠不夠減。（-不夠減）
　　二借：被減數(shù)的分數(shù)部分向整數(shù)部分借1。（把3轉(zhuǎn)化成2）
　　三拆：把兩個帶分數(shù)拆成整數(shù)部分相減和分數(shù)部分相減。（2－1，-）
　　四合：把整數(shù)部分的得數(shù)與分數(shù)部分的合起來。（1+）
　　【分層剖析】通過這一思維過程的分析、提煉，使所有學生對這一類題目的解題方法有了更清晰的認識，為學生解決帶分數(shù)加減題目提供了一個可操作的程序。
　　（五）領悟解題策略，培養(yǎng)學生的思維過程
　　學數(shù)學離不開做作業(yè)，那么在做作業(yè)的時候?qū)W生要具備一定的解題策略。同時學生的每一種解題策略都蘊含著豐富的思維資源。
　　【原型重現(xiàn)】 以退為進
　　【分層剖析】
　　1.學生通過觀察，明確了解決這一問題的要點就是找到正方形的中心點和圓的圓心。
　　2.確定了要點以后，就分步進行（先后退，從復雜到簡單），如果沒有正方形，只要找到圓心O，那么通過圓心的任意一條直線都能把圓分成面積相等的兩部分。如圖2。
　　3.如果只是一個正方形，只要畫出正方形的對角線，找到對角線的交點A，通過A點的任意一條直線都必定把正方形分成面積相等的兩部分。如圖3。
　　4.題中要求用一條直線把正方形和圓同時分成面積相等的兩部分（前進，從簡單到復雜），結合前面的思維過程，畫出通過正方形中心點和圓的圓心的直線就一定能解決這一問題。如圖4。
　　解題策略就是尋找解題思路的指導思想，它是為了實現(xiàn)解題目標而采取的指導方針。小學生在解題時常出現(xiàn)如下情形：有時，面對數(shù)學題，無從下手；有時，明明思路很清楚，就是解不出來