劉艷偉

(周口師范學院數學系,河南周口466001)

近年來,非自治微分系統(tǒng)周期解的存在性、唯一性及全局穩(wěn)定性被數學、生態(tài)學學者廣泛研究[1-5]。大量的結論表明,周期解是非自治捕食系統(tǒng)的一個重要性質。獲取周期解的存在性條件,對保護和控制處于周期波動環(huán)境中生物種群,具有重要的指導作用。

正如Xu等[2]所指出的,捕食-食餌系統(tǒng)中,種群的年齡結構及在異構環(huán)境中的擴散進程在一定條件下對系統(tǒng)的動力學有著復雜的影響。這也是許多作者關注的焦點[2,3]。在文獻[1]的基礎上,Xu等[2]構造了一類捕食種群具有年齡結構、食餌具有擴散的比率依賴型生物模型,并考慮了系統(tǒng)系數的周期性變化,得到了該系統(tǒng)存在周期解的充分條件。值得一提的是,Xu等[2]的模型沒有考慮食餌的年齡結構,為此,本文改進Xu等的模型為如下形式:

并且系統(tǒng)(1)滿足初值條件

其中x和y分別表示t時刻成年食餌種群在斑塊i(i=1,2)的單位密度;z1和z2分別表示t時刻幼年捕食者和成年捕食者種群的單位密度;τi>0(i=1,2,3)為孕育期;Di>0(i=1,2)為擴散率函數;β1, β2,d1,d2,d3,v0,v1,D1,D2,m和αi(i=1,2,3)均為大于零的連續(xù)ω-周期函數,其相應的生物學解釋可參見文獻[2]。此外,考慮到初值的連續(xù)性,本文進一步要求

為簡便起見,記fL=f(t),fM=(t),其中f(。)>0是連續(xù)的ω-周期函數。

1 周期解的存在性

為了獲得系統(tǒng)(1)周期解存在的充分條件,需要一些優(yōu)先的估計。

1.1 基本引理

引理1 設λ∈(0,1)為一參數,(u1(t),u2(t),u3(t))Τ是系統(tǒng)

的ω-周期解。如果

成立,則|u1(t)|+|u2(t)|+|u3(t)|≤R1。

引理2 設μ∈[0,1]為一參數,(u1,u2,u3)Τ是方程組

的解,則|u1|+|u2|+|u3|≤R2。

利用比較法,容易證明引理1、引理2成立。

1.2 主要結論

這里結合引理1、引理2的結論,并利用Gaines-Mawhin's重合度理論,獲得了系統(tǒng)(1)周期解存在的充分條件。

定理1 設(H1)成立,則系統(tǒng)(1)在條件(2)、(3)下至少存在一個ω-周期解。

證 考慮系統(tǒng)(1)的子系統(tǒng)

注意到系統(tǒng)(1)滿足初始條件(2)的解是正的,所以可設

此時,系統(tǒng)(6)可變換為

顯然,如果(u1(t),u2(t),u3(t))T是系統(tǒng)(8)的ω-周期解,則系統(tǒng)(6)具有一個形如(7)的ω-周期解。為了展示系統(tǒng)(8)存在ω-周期解,定義

其中X和Y是線性空間。定義一個Euclidean范數

則X和Y是此范數下的兩個Banach空間。

和N:X→X,

在以上定義下,系統(tǒng)(8)滿足Lu=Nu,u∈Dom L?X。

定義兩個投影算子

另一方面,QN和KP(I-Q)N是連續(xù)的,根據Arzela-Ascoli定理,QN和KP(I-Q)N在任何有界開集Ω?X是緊的,因此在ˉΕ上對任何有界開集Ω?X,N是L-緊的。定義

其中R1和R2由引理1和引理2定義。

當u=(u1(t),u2(t),u3(t))T∈?Ω∩Dom L時,根據引理1得到Lu≠λNu,?λ∈(0,1)。

當u=(u1(t),u2(t),u3(t))T∈?Ω∩Ker L時,u∈R3且滿足|u1|+|u2|+|u3|=M,則QNu≠0。

事實上,如果QNu=0,則QNu=0正是方程(5)μ=1的情形,根據引理2知道,|u1|+|u2|+|u3|≤R2

定義 F:Dom L∩Ker L X[0,1]→X,

設u=(u1(t),u2(t),u3(t))T∈?Ω∩Ker L,u為R3+中的常值向量,滿足|u1|+|u2|+|u3|=M,因此F(u1,u2,u3,μ)≠0。令J=I,根據拓撲度同倫不變定理,可知

的唯一解。根據Gaines-Mawhin's重合度原理[6],可知系統(tǒng)(8)至少存在一個ω-周期解。也就是系統(tǒng)(6)至少存在一個ω-周期解。

另一方面,如果(x*(t),y*(t),z(t))T為系統(tǒng)(6)的ω-周期解,則根據條件(3),可知

也是ω-周期的,因此(x*(t),y*(t),z(t),z(t))T為系統(tǒng)(2)的一個周期解。

2 結語

本文構造了一類成年食餌具有擴散和年齡結構的比率依賴型時滯微分模型,利用Gaines-Mawhin's重合度原理,獲得了該系統(tǒng)存在周期解的充分條件。關于系統(tǒng)(1),文獻[3]已經獲得了該系統(tǒng)的一致持久性條件。利用此結論,通過構造合適的Lyapunov泛函,可以證明該系統(tǒng)周期解的全局吸引性。

[1]Xu R,Chen L S.Persistence and stability for two-species ratio-dependent predator-prey system with time delay in a twopatch environment[J].Computers Math.Applic.,2000,40:577-588.

[2]Xu R,Chaplain M A J,Davidson F A.Persistence and periodicity of a delayed ratio-dependent predator-prey model with stage structure and prey dispersal[J].Applied Mathematics and Computation,2004,159:823-846.

[3]劉艷偉,司軍輝.一類具有年齡結構的非自治擴散系統(tǒng)的持久性[J].周口師范學院學報,2010,27(2):20-24.

[4]Arditi R,Ginzburg L R.Coupling in predator-prey dynamics:Ratio-dependence[J].Journal of Theoretical Biology, 1989,139:311-326.

[5]Chen S H,Wang F,Young T.Positive periodic solution of two-prey ratio-dependent predator-prey system with time delay in two-patch environment[J].Applied Mathematics and Computation,2004,150:737-748.

[6]Gaines R E,Mawhin J L.Coincidence Degree and Non-linear Differential Equations[M].New York:Springer,1977.