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冪級數在函數方面的應用

2012-11-29 02:44:16煒,賀
關鍵詞:冪級數原函數展開式

袁 煒,賀 欣

(鄭州鐵路職業(yè)技術學院,河南 鄭州 450052)

1 引言

我們在數學分析中已經掌握和了解了一些有關冪級數的定義和性質,知道了冪級數是函數項級數中最基本的一類;冪級數的特點是在其收斂區(qū)間上絕對收斂,且冪級數在收斂半徑范圍內可任意次的求導和求積分,又可任意交換求和次序.因此,在此范圍內冪級數與多項式一樣簡便.我們先來看一下冪級數的定義和一些相關的性質.

冪級數的基本性質為:

性質 1.4[2]:在收斂半徑范圍內,即在( - R,R)上,冪級數可任意次逐項求導或求和且產生的新冪級數的收斂半徑不變.

知道了冪級數的性質,我們可以看出冪級數是一類最簡單的函數項級數,從某種意義上說,它也可以看作是多項式函數的延伸,冪級數在理論和實際上有很多應用,特別是在應用它表示函數方面,有許多方便的運算性質,因此,它在研究函數的方面成為了一個很有用的工具,使我們對它的作用有了新的認識.我們來看一下冪級數在函數中的一些應用.

2 冪級數在函數方面的應用

當f(x)的原函數不能用初等函數的有限形式表示出來時,計算f(x)的定積分就遇到了困難,現在,可以利用冪級數取有限項的辦法近似計算這些定積分的值.

2.1 冪級數在計算積分中的應用

我們在計算積分時,當具體要求被積函數能夠展成收斂的冪級數,且積分限必須在冪級數的收斂域之內,然后利用逐項積分來計算所求定積分的值.

∴收斂半徑為R=+∞,這里用到了性質1.2,所以:

2.2 用冪級數來計算級數的和

我們在求級數的和時,要利用冪級數的性質1.4:冪級數在收斂區(qū)間內可逐項求導與逐項求積分,由此可計算級數的和.

則由冪級數逐項微分的性質可知:

由冪級數逐項積分的性質有:

2.3 用冪級數的性質證明一些不等式

我們可以通過利用冪級數的展開式和性質來證明一些不等式

2.4 冪級數在近似計算中的應用

解:數ex的麥克勞林級數是, x∈R.

只需n>5,由此可知當取項數為n≥6就可滿足題目要求

則它在積分區(qū)間[0,1]上是連續(xù)的,利用sin x的展開式[1]得:

這是交錯級數,每項絕對值數列單調減少趨于0,取前三項的和作為近似值,則誤差為:

2.5 用冪級數形式來表示某些非初等函數

有些連續(xù)函數的原函數和有些常微方程的解不是初等函數,即非初等函數,可用冪級數表示這些原函數的解

問題1:求連續(xù)函數e-x2的原函數F(x)

解:e-x2

令 x= -t2,有

對冪級數在收斂區(qū)間內逐項求積分,可得冪級數在理論上和實際中都有很多應用,通過冪級數的展開式來表示函數.利用冪級數和函數的分析性質.常常能夠解決數學分析中很多難題.由于它結構簡單,因而成為計算常用函數.如指數函數、對數函數、三角函數和很多超越函數的一個基礎工具.

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京:高等教育出版社,1990.6.

[2]姚允龍.數學分析[M].上海:復旦大學出版社,2002.8.

[3]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社,1983.

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