王麗芳

（廣州工程技術職業(yè)學院 廣東 廣州 510726）

距離問題求解新探

王麗芳

（廣州工程技術職業(yè)學院 廣東 廣州 510726）

本文通過從幾何角度對距離問題再認識，將距離與相切這兩個概念溝通起來，形成一套求解距離問題的新辦法，使優(yōu)化思想在微分學中得以延伸。

距離;曲線族;曲面族;相切

引言

微分學中常把兩個相離圖形之間的距離問題歸結為一個條件極值問題:即以兩點間距離公式構成目標函數，以兩個圖形所滿足的方程(或不等式)作為約束條件.這樣的問題用拉格朗日乘數法足以解決。

本文另辟蹊徑，抓住距離問題的實質，在幾何上給予充分科學合理的解釋，將問題予以適當轉化，輔以微分學知識，提出了一種求解距離問題的直觀準確的新解法.這種解法在理論上將導數與相切、距離與極值(含最值)等高等數學中幾個核心概念進一步有機結合起來，令人更如深刻地領略數學領域里數形合一的無窮奧妙.同時將距離問題的求解與優(yōu)化理論相溝通，使優(yōu)化思想得到延伸，開拓了優(yōu)化論更廣泛的應用領域.這種解法在解決實際問題方面也是十分有效的，還可以讓初學者拓廣思路，開闊視野，提高學習興趣。

1 距離問題的新解法

1.1 點到曲線的距離

定理1空間中的一點P到一條曲線L的距離等于以該點P為球心的球族中的一個與曲線L相外切的球的半徑。

定理1為點到曲線距離問題提出了這樣一個思路:首先以已知點為球心，取半徑為參數K，構造球面族方程;再求球面與已知曲線的切點，最后求出相切球面的半徑，即得所求距離。

實例 已知點P取為(x0,y0,z0),已知曲線L取為x=x(t),y=y(t),z=z(t),以P為球心的同心球面族方程為:

據微分學知識:已知曲線L上任一點(x,y,z)處切線的方向向量T={x'(t),y'(t),z'(t)},由球面與已知曲線相切，即得

其中x=x(t),y=y(t),z=z(t)

顯然，這是一個關于t的一元方程，求解可得，t=t1

進而可得切點為(x(t1),y(t1),z(t1)),

再代入球面方程中可得出球面半徑K，從而得所求的點到曲線距離.

注:待別地，若點P在曲線L上，則所求半徑為0且切點恰是已知點.

推論：平面上一點P到一條曲線L的距離等于以點P為圓心的圓族中的一個與曲線L相外切的圓C。的半徑.

定理2：空間中一點P到一條曲線L的最長距離等于以點P為球心的球族中的一個與曲線L相外切的球的半徑.

注:1)若點P在曲線L上，則所求的點到曲線的最長距離仍可用定理2表述.

2)若曲線L延伸至無窮遠處，則定理2中提及的“與曲線L相外切的球”實際是半徑為無窮大的一個“球”。此時點P到曲線的距離為正無窮大.

推論：平面上一點P到一條曲線L的最長距離等于以點P為圓心的圓族中的一個與曲線L相內切的圓的半徑.

例1拋物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一橢圓，求原點到這個橢圓的最長距離和距離.

解：以原點為球心的球面方程為:x2+y2+z2=k2

其上任一點發(fā)向量為：{x，y，z}

據微分學知識，已知橢圓上任一點處的切向量為{2y十1，一2x-1,2x-y}

要求切點，則得方程:

x(2y+1)-y(2x+1)+z(2x-2y)=0

與z=x2+y2x+y+z=1聯(lián)立

1.2 點到曲面的距離

定理3：空間中一點P到一個曲面的距離等于以點P為球心的球族中的一個與曲面相外切的球的半徑.

實例 已知點P取為〈x。，y。，z。)已知曲面取為F(x,y,z)=o以P為球心的同心球面方程為(x-x。)2十(y-y。)2十('z-z。)2=0.其上任一點(x,y,z)處的切平面法向量已知曲面上任一點(x,y,z)處切平面法向量由球面與曲面S相切，即得，

與曲面方程聯(lián)立可求出切點，代入球面方程中可得球面半徑K，即為所求的距離.

例2．求原點到曲面z2=xy+x-y+4的距離。

解:以原點為球心的球面萬程為

x2+y2+z2=k2

其上任一點法向量為：{x，y，z}

又已知曲面上任一點處法向量

{y+1，x-1,-2z}

由“兩相切曲面在切點處有同一切平面”

與z2=xy+x-y+4聯(lián)立

解得x1=-1,y1=1,z1=-1;x2=-1,y2=1,z2=1代入球面方程得即所求距離。

2.距離問題新解法與優(yōu)化思想的聯(lián)系

本文所提諸法都是以某一已知圖形為基準擴張生成的曲線(面)族，向另一圖形搜索至相切位置，從而找出切點并得出結果的.這里進行擴張搜索的曲線(面)實質上是與基準圖形距離相等的等值線(面),這種搜索方法與最優(yōu)化問題圖解法是一致的。這表明本文提出的距離問題新解法不失為優(yōu)化思想又一新應用。

[1]同濟大學數學教研室主編高等數學上冊第六版2006.154~158

[2]同濟大學數學教研室主編高等數學下冊第六版2006.59~68

[3]李德錢頌迪 運籌學[M]北京:清華大學出版社 1982.70~81

New Exploration of the Distance Problem sSolving

WANGLi-fang
（Guangzhou Institute ofTechnology，Guangzhou 510726，Guangdong）

This paper fromthe perspective ofdistance geometryproblems,distance and tangent tothe twoconcepts ofcommunication,forma set ofnew approaches tosolvingproblems ofdistance,sothat the idea ofoptimization in differential calculus can be extended;

distance;curve;tangent surface family;tangent to

D157.3

A

1671-5004（2012） 01-0051-01

2012-2-19

王麗芳（1966-），女，廣州工程技術職業(yè)學院高級講師。