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(常州高級(jí)中學(xué) 江蘇常州 213003)

簡談2個(gè)圓錐曲線的非標(biāo)準(zhǔn)方程

●徐德同

(常州高級(jí)中學(xué) 江蘇常州 213003)

學(xué)生對(duì)于圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程已非常熟悉，但有一些非標(biāo)準(zhǔn)方程，也常常出現(xiàn)在我們的視野中.如果能夠利用適當(dāng)?shù)淖儞Q去化“非標(biāo)準(zhǔn)方程”為“標(biāo)準(zhǔn)方程”，進(jìn)而辨析它們的類型,認(rèn)清方程對(duì)應(yīng)的曲線,不僅能打開問題的思路，往往還能減少計(jì)算.本文拋磚引玉，主要介紹2種非標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用.

1 方程xy=λ(λ≠0)對(duì)應(yīng)的曲線

事實(shí)上，只要作一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，把坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)45°.令

即

(x′)2-(y′)2=2λ，

(1)

例1如圖1所示，設(shè)曲線xy=1的2支為C1，C2，點(diǎn)P，Q，R位于曲線上.

(1)如果點(diǎn)P為C1上的動(dòng)點(diǎn)，試問平面上是否存在2個(gè)定點(diǎn)M，N，使||PM|-|PN||的值為常數(shù)；

(2)如果點(diǎn)P為C1上的定點(diǎn)，坐標(biāo)為(-1，-1)，點(diǎn)Q，R在C2上，且△PQR是正三角形，求點(diǎn)Q，R的坐標(biāo).

圖1

分析在式(1)中，令λ=1，得(x′)2-(y′)2=2，是等軸雙曲線.

解得

由對(duì)稱性知

在原坐標(biāo)系中，不難求得

2 方程x2±xy+y2=λ(λ>0)對(duì)應(yīng)的曲線

作一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，把坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)45°.令

即

(2)

同理可得方程x2-xy+y2=λ(λ>0)對(duì)應(yīng)的曲線是橢圓

(3)

分析在式(2)中，令λ=1，得

令

則

例3已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2-xy+y2=3，求x2+xy+y2的取值范圍.

(2010年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)數(shù)學(xué)模擬考試試題)

分析作一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，把坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)45°.令

即

即

則

cos2θ+9sin2θ=8sin2θ+1，

故所求的取值范圍是[1,9].