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(資陽市外國語實驗學校 四川資陽 641300)

數(shù)學解題應強化估算意識

●蔡勇全

(資陽市外國語實驗學校 四川資陽 641300)

估算，顧名思義，估摸著計算，是以正確的算理和深刻理解研究問題的本質為基礎，通過大體估值、合情猜想和特值探路等手段，進行粗略、近似地計算并獲得正確答案的過程.在數(shù)學解題中滲透估算意識，有效地避免了以往“小題大作、費時費力”的邏輯推理過程，達到了簡潔、快速、合理、準確解題的目的，恰到好處地契合了近幾年高考命題倡導的“多考點想、少考點算”這一基本理念.本文略舉數(shù)例介紹估算法在數(shù)學解題中的應用，僅供參考.

1 借助局部與整體的關系進行估算

若研究對象是由若干個部分構成的，可先研究其中易求的一個或幾個部分，再把所得結果同局部與整體的關系聯(lián)系起來估算整體的結果.

( )

分析直接計算該多面體的體積費時費力，可聯(lián)結BE，CE，將原多面體的體積轉化為四棱錐E-ABCD和三棱錐E-BCF的體積之和.易求VE-ABCD=6，由局部與整體的關系可知原多面體的體積應大于6.故選D.

圖1

2 借助極限思想進行估算

例2三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為a，且側面A1B1BA⊥底面A1B1C1，則直線C1B與平面A1B1BA所成角的范圍是

( )

BD=a；

當θ→0時，

從而

因此

故選B.

( )

A.60° B.75° C.90° D.120°

分析由選項信息可知∠MFN的大小不會隨點P的變化而變化，故當P→B時，點M無限接近于x軸，點N向下運動直至無窮遠處，此時∠MFN→90°.故選C.

注極限思想是挖掘幾何與分析幾何運動問題中某些不變量的有力工具.

3 借助直覺思維進行估算

例4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為棱DD1的中點，N為棱BC的中點，P為棱A1B1上任意一點，則異面直線AM與PN所成的角等于

( )

A.90° B.60° C.45° D.30°

分析AM為定直線，PN是經(jīng)過定點N的直線，由于備選答案均是定值，可見AM一定垂直于PN所在的某一個平面，才可能為定值.在這種直覺思維下估算，不難發(fā)現(xiàn)，AM⊥平面A1B1N.故選A.

4 借助二項展開式進行估算

當解題過程出現(xiàn)形如(a+b)n(n∈N*，n≥2)的結構而結果又要求保留近似數(shù)時，可采用二項展開式適當放縮并大致估值.

例5求0.9986的近似值，使誤差小于0.001.

分析0.9986= (1-0.002)6=

1+6×(-0.002)1+15×(-0.002)2+

…+(-0.002)6,

取展開式中第3項

T3=15×(-0.002)2=0.000 06<0.001，

且第3項以后的所有項的絕對值都小于0.001.因此從第3項起，以后的項都可以忽略不計，即

0.9986= (1-0.002)6≈1+6×(-0.002)=

0.998.

注對二項式(1+x)n展開，當x的絕對值與1相比很小且n很大時，含有x2，x3，…,xn的各項的絕對值都很小，在精確度允許的范圍內(nèi)可以忽略不計，因此可用近似計算公式(1+x)n≈1+nx.再如下面一道題：

例6居民收入是由工資性收入和其他收入2個部分組成的.2003年某地居民人均收入為3 150元，其中工資性收入為1 800元，其他收入為1 350元.預計該地區(qū)居民自2004年起工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其他收入每年增加160元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2008年該地區(qū)居民人均收入介于( )之間

A.(4 200,4 400) B.(4 400，4 600)

C.(4 600，4 800) D.(4 800，5 000)

大夫鄭重提醒：因不能面診患者，無法全面了解病情，所作建議僅供參考，具體診療請一定到醫(yī)院在醫(yī)生指導下進行。

分析由條件知,該地區(qū)居民工資性收入自2003年起構成以a1=1 800為首項，q=1+6%為公比的等比數(shù)列.2008年的工資性收入為

a6= 1 800×(1+0.06)5≈

1 800×(1+5×0.06)=2 340.

其他收入構成以1 350為首項，公差為160的等差數(shù)列，2008年其他收入為1 350+160×5=2 150元.因此，2008年該地區(qū)居民人均收入約為2 340+2 150=4 490元.故選B.

5 借助構造模型進行估算

例7設P為空間中的一點，PA，PB，PC，PD是4條射線.若PA，PB，PC，PD兩兩所成的角相等，則任意2條射線所成角的余弦值為

( )

注在立體幾何中，常構造正四面體模型、正方體模型、長方體模型等進行估算；在函數(shù)試題中，常構造一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指(對)數(shù)函數(shù)模型等進行估算.

6 借助取值范圍進行估算

( )

故選D.

例9已知實數(shù)a,b,c滿足

則實數(shù)a的取值范圍是

( )

A.RB.a≤1或a≥9

C.0

分析由b2+c2+bc-6a+6=0，得

縱觀4個選項，只有D符合要求.故選D.

注借助相關量的取值范圍進行估算，簡潔明了，操作性強，易于接受.

7 借助形數(shù)轉換進行估算

華羅庚先生曾指出“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事非”.由此可見數(shù)形結合思想在數(shù)學中的重要地位，切實把握數(shù)形結合思想也是學好數(shù)學的關鍵之一.事實上，借助形數(shù)轉換進行估算解題有時也能讓人眼前一亮.

( )

(2005年湖北省數(shù)學高考試題)

8 借助特例進行估算

特例估算即以特殊估計一般，對一般性問題進行特殊化處理，如選取特殊值、驗證備選答案等.特例估算要求根據(jù)題意和備選答案，找備選答案之間的區(qū)別和聯(lián)系，有目的地在備選答案中選取一些特殊值、特殊圖形、特殊函數(shù)、特殊數(shù)列或特殊點等進行檢驗.

例11同例4.

分析由直線AM、點N及AM與PN所成角的確定性和點P的運動性，可考慮用特殊位置法進行估算.取CC1的中點M′，由于AM∥BM′，可平移AM到BM′.當P位于點B1時，聯(lián)結B1N，易知B1N⊥BM′，從而

PN⊥AM.

故選A.

例12在(0，2π)內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍為

( )

分析考慮用特殊值法進行估算，取x=π，顯然滿足要求，可排除選項A,B,D.故選C.

例13已知三棱錐P-ABC的側面與底面所成的二面角均為60°，底面三角形的3條邊長分別是7，8，9，則此三棱錐的側面面積為

( )

9 借助二分法思想進行估算

例14(用計算器探究問題)方程x3+lgx=18的根為________(結果精確到0.1).

分析大多數(shù)人往往拿起計算器就盲目代入數(shù)字計算，試圖通過窮舉來找到方程的根.事實上，使用計算器也得講究方法.由題意知x>0.當x=1時，方程左邊為1；當x=2時，方程左邊為8.3；當x=3時，方程左邊為27.477.因此，方程的根介于2與3之間，利用二分法的思想，代入x=2.5驗算，左邊為16.022 9，故方程的根介于2.5與3之間，再代入x=2.75驗算，依次做下去最終得x≈2.6.故應填2.6.

注以上所舉例題不僅可以用估算法解決，也可以用其他方法予以解決，但相比之下，用估算法解決這一系列客觀題更顯得事半功倍.因此,在平時學習中要注意多觀察、多積累、多鞏固，讓估算成為常用的解題方法.

[1] 黃益全．估算在高中數(shù)學解題中的應用[J]．中學數(shù)學教學參考，2007(7)：24-26．

[2] 蔡勇全．漫話“五新”考題[J]．中學生理科應試，2009(2)：9-11．

[3] 蔡勇全．確定恒成立不等式中參數(shù)范圍的九種策略[J]．中學數(shù)學研究，2010(11)：33-35．

[4] 蔡勇全．領悟一組“孿生”結論解決一類函數(shù)問題[J]．中學數(shù)學研究，2011(2)：40-41．

[5] 蔡勇全．如何避免分類討論[J]．中學生理科應試，2011(7)：7-8．