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(紹興市第一中學(xué) 浙江紹興 312000)

一道平面幾何競賽題的多解性討論

●凌曉鋒

(紹興市第一中學(xué) 浙江紹興 312000)

一道優(yōu)秀的平面幾何題往往可以從不同的知識層面去考查學(xué)生運用所學(xué)知識分析并解決問題的能力,2011年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽第21題(附加題)便是這樣一道具有多解性的好題.本文將用平面幾何方法、三角參量法、解析法以及面積法等4種不同的方法對其多解性展開討論,以饗讀者.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)競賽試題)

1 標準答案再現(xiàn)

作△ABC的外接圓O,然后作OE⊥AB于點E,OF⊥AC于點F,OM⊥BC于點M,則四邊形AEOF即為區(qū)域G.因為

2S四邊形AEOF=2S△AOE+2S△AOF=S△AOB+S△AOC，

所以

作AD⊥BC于點D,則

當(dāng)且僅當(dāng)點A，O，M共線時等號成立,即△ABC為等邊三角形.

點評上述方法根據(jù)已知條件等價轉(zhuǎn)換成面積關(guān)系,然后利用三點共線使面積取到最值,從而證明了結(jié)論.證明過程簡潔明了,一氣呵成,但是筆者在閱卷過程中鮮有發(fā)現(xiàn)學(xué)生用此類方法證明.下面筆者給出其他3種不同的證明方法.

2 三角參量法

從而

S四邊形ADOE=S△AOE+S△AOD=

又因為

所以

(1)

(2)

即

從而

化簡得

cos2θ=1.

因為

所以

2θ=0，

即

θ=0,

從而

即

AC=2b=2c=AB,

從而

故△ABC為等邊三角形.

點評以上證法通過設(shè)參數(shù)角θ,利用已知條件的面積關(guān)系,列出三角函數(shù)方程.經(jīng)過一系列三角恒等變換確定參數(shù)角θ的值,最后轉(zhuǎn)而求得邊長的關(guān)系,從而使命題得證.求解平面幾何的問題,常引入線段、角度、面積、比值等作為參量.在引入角度參量后，往往運用三角知識,進行三角運算以及運用正弦、余弦定理等來溝通幾何與三角的關(guān)系，這種求解平面幾何問題的方法稱為三角參量法.

圖1

3 解析法

因為OE為AB的中垂線,所以

OE的解析式為

又因為D為AC的中點,所以O(shè)D的解析式為

因為

(3)

(4)

由式(3),式(4)得

化簡得

b2-4bc+c2=-2bc,

即

(b-c)2=0,

從而

b=c,

即

AC=2b=2c=AB,

故

因此△ABC為等邊三角形.

點評利用建立平面直角坐標系,通過數(shù)形結(jié)合的思想,求出各點的坐標,利用已知性質(zhì)求得結(jié)果,這種方法思維過程較為直接,在這里有較高的使用價值.利用解析法的關(guān)鍵是,選擇適當(dāng)?shù)淖鴺讼?，同時還要靈活利用幾何圖形的性質(zhì)及代數(shù)、三角知識的綜合運用.

4 面積法

即

從而

S△AOB+S△AOC=2S△BOC,

即

化簡得 sin∠AOB+sin∠AOC=2sin∠BOC,

即

(5)

又

從而

代入式(5)得

從而

得

∠AOB-∠AOC=0,

即

故

因此△ABC為等邊三角形.

點評在求解平面幾何問題的時候,根據(jù)幾何量與有關(guān)圖形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系,用面積表示有關(guān)幾何量,從而把要論證的幾何量之間的關(guān)系化為有關(guān)面積之間的數(shù)量關(guān)系,特別是利用面積公式,得到三角函數(shù)方程,通過三角恒等變換求解問題,使得幾何證明的過程機械化,這一思想頗為重要.

通過以上討論,筆者認為雖然平面幾何這塊內(nèi)容學(xué)生主要是在初中階段打下的基礎(chǔ),但是作為高中數(shù)學(xué)競賽中的一塊重要內(nèi)容,在平時教學(xué)過程中教師可以結(jié)合高中的三角函數(shù)、解析幾何、平面向量等知識的運用，去引導(dǎo)學(xué)生拓展思路,一題多解,從而使平面幾何問題的優(yōu)美性和精巧性得以充分地展現(xiàn).

[1] 沈文選.平面幾何證明方法全書[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2005：76-84.

關(guān)于征訂《中學(xué)教研》(數(shù)學(xué))高考復(fù)習(xí)專輯啟事

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