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(金湖縣教師進(jìn)修學(xué)校 江蘇金湖 211600)

四法幫你克服思維定勢

●徐加生

(金湖縣教師進(jìn)修學(xué)校 江蘇金湖 211600)

思維定勢是指一個人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會習(xí)慣性地用同樣的思維方法解決以后類似的問題，并不關(guān)心條件有些許的不同、環(huán)境有些許的改變.在數(shù)學(xué)解題中的表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，這種思維定勢在解決簡單的數(shù)學(xué)題中可能會有一定的效果，不用太多的思考就能解決，但在一些范圍廣、覆蓋面大、具有靈活性的題目中，則會受到限制，因而難以得到較為完善的解題思路和方法，這種現(xiàn)象必須加以克服.本文介紹4種措施，幫你渡過此關(guān).

1 細(xì)觀察

觀察是認(rèn)識事物最基本的途徑，是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提，是數(shù)學(xué)解題必需的準(zhǔn)備階段.任何一道數(shù)學(xué)題，都含有題設(shè)和結(jié)論，只是有些題目條件隱晦或條件與結(jié)論混同一體，解題的第一步就是分析題目特征，對題目中的符號、等式、圖形及位置關(guān)系進(jìn)行深入、細(xì)致、透徹的觀察和分析，然后再認(rèn)真思考.透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到適合自己的、實(shí)用有效的解題方法.

例1已知集合M={x|x2-1=0}，N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，則實(shí)數(shù)a等于

( )

A．1 B．-1

C．1或-1 D．1或-1，或0

分析從已知條件中可以知道，正確理解M∩N=N，即N?M是解題的關(guān)鍵，再從各選項(xiàng)去考察，a=1，a=-1都符合題意，主要須考察a=0的情形，當(dāng)a=0，N=φ，M≠φ，顯然有N?M，即M∩N=N成立.故選D.

評注本題中，集合M可以化簡為{-1，1}，而集合N中含字母a，正確地求方程ax-1=0的解就是準(zhǔn)確審題的結(jié)果，考慮a=0的情形可以從選項(xiàng)中和正確理解N?M引發(fā)出來，本題的要點(diǎn)是對符號語言M∩N=N的認(rèn)識和理解.

(2009年全國數(shù)學(xué)高考試題)

即

由基本不等式得到

當(dāng)且僅當(dāng)m=n時等號成立，即弦AC,BD長度相等時四邊形ABCD的面積有最大值為5.

2 用特例

特殊與一般是對立統(tǒng)一的，在數(shù)學(xué)解題中，一般化是一種常規(guī)性的思維方法，而特殊化是一種探求性的思維方法，是一種創(chuàng)造性的思維品質(zhì).因此在用常規(guī)方法難以破題時，不妨向特殊化考慮，即將問題置于特殊情形、特殊位置、特定圖形來思考，或用特殊值、特殊函數(shù)、特殊曲線方程進(jìn)行探求，用簡單化、具體化、單一化、邊緣化、極限化的手段探索問題的解決途徑，注重思考問題在特殊情況下會呈現(xiàn)什么性質(zhì)或規(guī)律，從而激發(fā)解題的靈感和智慧.

圖1

評注本題抓住“直角三角形的外心為斜邊的中點(diǎn)”這一重要結(jié)論，使求值問題變得簡單.由于將三角形特殊化后并沒有改變問題的本質(zhì)，沒有使其他的條件變得無效，這是針對本題特征的重要措施.

例4已知a，b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當(dāng)-1≤x≤1時，|f(x)|≤1，求證：當(dāng)-1≤x≤1時，|g(x)|≤2.

分析由于所給函數(shù)式含多個參數(shù)，直接推理有困難，需用特殊值探查分析，才能得到解題契機(jī).當(dāng)-1≤x≤1時，有|f(x)|≤1.令x=0,得

|f(0)|=|c|≤1;

令x=±1,得

|f(±1)|=|a±b+c|≤1.

又g(x)=ax+b，則

|g(±1)|= |±a+b|=|a±b|=

|(a±b+c)-c|≤|f(±1)|+|c|≤

1+1=2，

由一次函數(shù)圖像性質(zhì)可得|g(x)|≤2.

評注本題抓住函數(shù)f(x)與g(x)中的系數(shù)a,b特殊關(guān)系，利用特殊值探查分析得到|f(±1)|與|g(±1)|的關(guān)系，為后面利用不等式|a-b|≤|a|+|b|進(jìn)行放縮解題創(chuàng)造了條件.

3 勤聯(lián)想

聯(lián)想思維是人們在認(rèn)識事物的過程中，根據(jù)事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，由一事物想到另一相關(guān)事物的心理過程.數(shù)學(xué)聯(lián)想是探索數(shù)學(xué)問題解決的觸角和向?qū)?，是將題目中的已知條件向需求結(jié)論轉(zhuǎn)化的橋梁.在解題過程中，通過對題目中已知條件、圖形特征以及求解目標(biāo)的分析研究，聯(lián)想相關(guān)的數(shù)學(xué)定義、定理、公式、法則，或聯(lián)想數(shù)學(xué)各分支中相近的知識與表述以及能反映問題實(shí)質(zhì)的圖形(像)，運(yùn)用變通思維、數(shù)形轉(zhuǎn)化等方法破解問題.

例5已知定義在R上的函數(shù)f(x)是增函數(shù)，且f(0)=-1，f(3)=1，則不等式|f(x+1)|<1的解集是________.

圖2

分析由已知的函數(shù)定義及所經(jīng)過的特殊點(diǎn)(0，-1)，(3，1)可聯(lián)想到函數(shù)f(x)圖像的大致走向，如圖2.而f(x+1)是由f(x)向左平移一個單位得到，|f(x+1)|是由f(x+1)把在x軸下方的圖像向上翻折得到，那么點(diǎn)(0，-1)變?yōu)?-1，1)，(3，1)變?yōu)?2，1)，故要使|f(x+1)|<1，由圖像變化可知x∈(-1,2).

評注這是一個與抽象函數(shù)有關(guān)的解不等式問題,不能直接解不等式，但通過對已知條件的聯(lián)想分析，轉(zhuǎn)而研究此函數(shù)的大致圖像達(dá)到解題目的.

例6已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x3+ax，g(x)=x2+bx，f′(x)和g′(x)分別是f(x)和g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f′(x)g′(x)≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f(x)和g(x)在區(qū)間I上單調(diào)性一致.

(1)設(shè)a>0,若f(x)和g(x)在區(qū)間[-1，+∞)上單調(diào)性一致，求b的取值范圍；

(2)a<0，且a≠b，若f(x)和g(x)在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a-b|的最大值.

(2011年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

分析由于f′(x)=3x2+a，g′(x)=2x+b，根據(jù)f(x)和g(x)單調(diào)性一致的定義知，(3x2+a)(2x+b)≥0在區(qū)間(-1，+∞)恒成立，又a>0時，3x2+a>0，即有b≥-2x在[-1，+∞)上恒成立，因此b≥2.

當(dāng)x∈(-∞,0)時，

g′(x)<0；

f′(x)>0，

f′(x)<0；

要使f(x)和g(x)在以a,b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，根據(jù)定義應(yīng)有

評注本題新定義了2個函數(shù)單調(diào)性一致的概念，理解和正確應(yīng)用這一新定義是解題關(guān)鍵，所以解題活動都必須圍繞這個中心進(jìn)行，如在求|a-b|的最大值時，變通思維，運(yùn)用f′(x)g′(x)≥0恒成立確定a，b的范圍，這就抓住了問題的核心，從而明確了解題方向.

4 善轉(zhuǎn)化

由于客觀世界在不斷運(yùn)動變化之中，轉(zhuǎn)化是解決問題的永恒主題.數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想就是要求我們換一個角度去看、換一種方式去想、換一種語言去講、換一種觀點(diǎn)去分析任何數(shù)學(xué)問題，使問題朝著有利于解決的方向不斷變更、發(fā)展.等價轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，常用方法有:把復(fù)雜結(jié)構(gòu)向簡單結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化，把抽象問題向具體問題轉(zhuǎn)化，把未知結(jié)論向已知條件轉(zhuǎn)化，把正面敘述向反面表達(dá)轉(zhuǎn)化等.

例7已知P是直線3x+4y+8=0上的動點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2+y2-2x-2y+1=0的2條切線，A,B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形PABC面積的最小值為________.

評注一些表述復(fù)雜或思維層次較多的問題，解決的方法就是一步一步向簡單問題轉(zhuǎn)化，把熟悉的簡單問題都解決后，再串聯(lián)起來就容易解題了.

(2011年山東省數(shù)學(xué)高考試題)

然后去分母化簡得

sinBcosA-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB，

即 sinAcosB+cosAsinB=2(sinCcosB+cosCsinB)，

得

sin(A+B)=2sin(B+C).

又在△ABC中，A+B=π-C，B+C=π-A，故

sinC=2sinA，

即

4=a2+c2-2accosB,

代入解得c2=4,因此c=2，a=1，故△ABC面積

評注通過研讀題目可得到如下信息及相關(guān)思考：①三角形中的問題，應(yīng)該想到內(nèi)角和定理及正、余弦定理；②給出的條件是2邊不同結(jié)構(gòu)的比值，消除差異是第一目標(biāo).再一個是去分母后式子向什么方向變形，即找到轉(zhuǎn)化的準(zhǔn)確目標(biāo)位置，這需要熟悉正弦的兩角和公式等知識點(diǎn).

由于數(shù)學(xué)問題的千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)地求解問題，就必須破除思維定勢，注意問題的變化和方法的變通，讓思維動起來，讓技巧飛起來，這樣我們的能力才能有更大提高.