丁 勇

（南京醫(yī)科大學(xué)數(shù)學(xué)教研室，南京 210029）

獨(dú)立指數(shù)分布卷積的矩的計(jì)算

丁 勇

（南京醫(yī)科大學(xué)數(shù)學(xué)教研室，南京 210029）

求和；指數(shù)分布；矩

1 引 言

矩是隨機(jī)變量的重要數(shù)字特征.對(duì)于隨機(jī)變量X，若E（Xr）存在，則稱它為X的r階原點(diǎn)矩；若E（［X－E（X）］r）存在，則稱它為X的r階中心矩.一階原點(diǎn)矩即為數(shù)學(xué)期望，二階中心矩即為方差，而偏度與峰度則與三階、四階矩有關(guān)［1］，利用各階矩可對(duì)隨機(jī)變量分布的參數(shù)進(jìn)行估計(jì).近年來，高階矩在其它領(lǐng)域的應(yīng)用日益廣泛［2－6］.高階矩計(jì)算量大，找到簡便計(jì)算公式或易于計(jì)算機(jī)計(jì)算的算法，很有必要［7－9］.

指數(shù)分布是最常用的分布之一，在Poisson過程、增殖過程、更新過程和生存分析等方面有重要應(yīng)用［10］.本文探討?yīng)毩⒅笖?shù)分布卷積的矩的計(jì)算問題.為此先解決如下求和公式

其中λi為s個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，s，r為整數(shù)，且s≥2，簡記為θs，r.

對(duì)0≤r＜s，θs，r的求和結(jié)果已得到［10－11］

下面討論θs，r其它各種情況的計(jì)算公式.

2 r≥s的遞推公式

故（4）式成立.

上述遞推公式特別適用于計(jì)算機(jī)編程.

3 r＜0的轉(zhuǎn)換公式

4 特殊情況的解析公式

證取r＝－1，由（5），（2）式可得（9）式.取r＝－2，由（5），（6）式可得（10）式.取r＝－3，由（5），（7）式可得（11）式.取r＝－4，由（5），（8）式可得（12）式.

5 λi有相等的極限公式

在（1）式的θs，r定義中，要求λi互不相同，但從（6）～（8）式看出，λi可以相同，甚至全都相同，這提示我們有如下的極限公式.

6 獨(dú)立指數(shù)分布卷積的矩的計(jì)算

設(shè)X1，X2，…，Xs是s個(gè)相互獨(dú)立的服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量，Xi的密度函數(shù)為

則它們的和X＝X1＋X2＋…＋Xs的密度函數(shù)為各Xi的密度函數(shù)的卷積［9－10］

更高階的原點(diǎn)矩的計(jì)算量更大，公式復(fù)雜，尋找簡便計(jì)算方法很有必要，命題2和命題1較好地解決了這一問題.

在（17），（18）式中假定了λi≠λj，由命題3可知，實(shí)際上可取消λi≠λj的限制，從而對(duì)于λi＝λj也可計(jì)算各階矩.

證X的密度函數(shù)為Xi的密度函數(shù)的n次卷積，服從gamma分布［10］.由（18），（5），（15）可得E（Xr）的表達(dá)式.

［1］王學(xué)民.應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)［M］.上海：上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2005.

［2］丁勇.靜注Michaelis－Menten消除動(dòng)力學(xué)模型的統(tǒng)計(jì)及其近似計(jì)算矩［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào).1995，10（4）：180－184.

［3］Brown，Geoffrey W.Higher order moments of renewal counting processes and Eulerian polynomials［J］.Statistics＆Probability Letters，2008，78（17）：3008－3013.

［4］Singh Sarjinder，Chen Cheng C.Utilization of higher order moments of scrambling variables in randomized response sampling［J］.Statist Plann Inference，2009，139（9）：3377－3380.

［5］Nayak，Tapan K.Study of the Fluctuations of Net－charge and Net－protons Using Higher Order Moments［J］.Nuclear Physics A，2009，830（4）：555－558.

［6］Dong Yinfeng，Zhang Jianying，Yan Guangwu.A higher－order moment method of the lattice Boltzmann model for the conservation law equation［J］.Applied Mathematical Modelling，2010，34（2）：481－494.

［7］李金秋.二項(xiàng)分布高階原點(diǎn)矩的一種簡便算法［J］.遼寧石油化工大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，28（1）：89－91.

［8］朱振廣，張志文.求解Poisson分布和二項(xiàng)分布高階矩的代數(shù)方法［J］.遼寧工學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，25（1）：68—70.

［9］Kitamura，Y.Calculation of higher moments of the neutron multiplication process in a time－varying medium［J］.ANNALS OF NUCLEAR ENERGY，2007，34（5）：385－395.

［10］蔣慶瑯.隨機(jī)過程原理與生命科學(xué)模型［M］.方積乾譯.上海：上海翻譯出版公司：1987：128－131，57，52.

［11］丁勇.一類指數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2005，35（11）：194－198.

Moment Calculation for Convolution of the Independent Exponential Distribution

DINGYong
（Department of Mathematics，Nanjing Medical University，Nanjing 210029，China）

exponential distribution；convolution；moment

O211

C

1672－1454（2012）04－0124－05

2010－03－25；［修改日期］2010－07－09