李 蔚， 殷承元

（1.安徽省郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，合肥 230031； 2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)，上海 200433）

隨機(jī)奇異積分的Привалов－Plemelj公式

李 蔚1， 殷承元2

（1.安徽省郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，合肥 230031； 2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)，上海 200433）

在概率極限意義下，研究了隨機(jī)奇異積分，得到了Привалов－Plemelj公式，并獲得了有關(guān)隨機(jī)奇異積分的性質(zhì)，取得了一些有意義的成果.

隨機(jī)奇異積分；Привалов－Plemelj公式；概率極限

復(fù)變函數(shù)的奇異積分于上個(gè)世紀(jì)上半葉蓬勃發(fā)展而起的，其代表人物有 МУсхелишвили［1］，Привалов［2］，并在彈性力學(xué)的研究方面具有極大的推動(dòng)作用.隨后進(jìn)入了國(guó)內(nèi)，有許多數(shù)學(xué)家在此做了大量的開(kāi)創(chuàng)性的工作.數(shù)學(xué)家路見(jiàn)可先生提出了復(fù)變函數(shù)的Riemann邊值問(wèn)題以及周期問(wèn)題，奇異積分方程的直接解法，且極其巧妙地處理了有關(guān)的平面彈性力學(xué)問(wèn)題［3，4］.杜金元教授在奇異積分的計(jì)算方面作了卓有成效的工作，有效的解決了奇異積分許多問(wèn)題［5］.著名數(shù)學(xué)家龔升先生開(kāi)創(chuàng)了多復(fù)變函數(shù)上典型域上的奇異積分［6］.1954年著名數(shù)學(xué)家陸啟鏗院士和鐘同德教授的“普列瓦洛夫定理的推廣”受到了李國(guó)平院士和當(dāng)時(shí)的蘇聯(lián)加霍夫（Гахов）學(xué)派稱(chēng)贊，認(rèn)為這是創(chuàng)新工作，給予頗高評(píng)價(jià).當(dāng)然，還有許許多多的國(guó)內(nèi)外的專(zhuān)家和學(xué)者從事著這個(gè)領(lǐng)域的工作.

本文將嘗試著對(duì)含有隨機(jī)量的奇異積分，在概率極限意義下，進(jìn)行探討，取得一些有意義的結(jié)果.

設(shè)G是復(fù)平面中的非空集合，Ω是樣本空間，（Ω，A，P）是概率測(cè)度空間，x（t，w）是一個(gè)G×Ω上的函數(shù).對(duì)任意一個(gè)t∈G，x（t，w）是Ω上的隨機(jī)變量，即是（Ω，A，P）上的可測(cè)函數(shù).換句話說(shuō)，x（t，w）是以G為指標(biāo)集的Ω上的隨機(jī)過(guò)程.

定義1設(shè)x（t，w）是以G為指標(biāo)集的Ω上的隨機(jī)過(guò)程.如果對(duì)任一t∈G，都有E（｜x（t，w）｜2）＜＋∞，稱(chēng)x（t，w）為平方可積的，記為

定義3設(shè)x（t，w）是以G為指標(biāo)集的Ω上的隨機(jī)過(guò)程.如果對(duì)任t∈G，s∈G，存在常數(shù)A＞0和α∈（0，1］，使得，那么稱(chēng)x（t，w）在期望意義下是具有α指數(shù)的H?lder連續(xù)的，簡(jiǎn)稱(chēng)為H?lder連續(xù).記Hα（G；Ω，A，P）為所有確定的G，（Ω，A，P）具有α指數(shù)的H?lder連續(xù)的集合.

對(duì)任一x（t，w）∈Hα（G；Ω，A，P），定義

證Hα（G；Ω，A，P）是一個(gè)線性空間是顯然的.下證‖x（t，w）‖滿(mǎn)足范數(shù)的條件.

［1］МусхелищвилНИ.奇異積分方程 ：函數(shù)論邊值問(wèn)題及其在數(shù)學(xué)物理中的某些應(yīng)用［M］.朱季訥譯.上海：科學(xué)技術(shù)出版社，1966.

［2］ПриваловИИ.復(fù)變函數(shù)引論［M］.閔嗣鶴，等譯.北京：人民教育出版社，1956.

［3］路見(jiàn)可.解析函數(shù)邊值問(wèn)題［M］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1987.

［4］路見(jiàn)可.平面彈性復(fù)變方法［M］.3版.武漢：武漢大學(xué)出版社，2005.

［5］Du Jinyuan.Singular integral operators and singular quadrature operators associated with singular integral equations［J］.Acta.Math.Sci.，1998，18（2）：227－240.

［6］龔升.多復(fù)變數(shù)的奇異積分［M］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1982，

［7］陸啟鏗.多復(fù)變函數(shù)論的回顧與前瞻［J］.首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1996，17（4）：1－7.

［8］殷承元.閉復(fù)超球上的普里瓦洛夫定理［J］.安徽大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1990，14（3）：6－11.

Привалов－Plemelj’Formula of Stochastic Singular Integral

LIWei1，YINCheng－yuan2
（1.Anhui Post and Communication College，Heifei 230039，China；2.Shanghai University of Finance and Economics，Shanghai 200433，China）

The stochastic singular integral in investigated in the sense of probability，andПривалов－Plemelj’formula is proved，and some properties on the stochastic singular integral are obtained.

stochastic singular integral；Привалов－Plemelj’formula；limit in sense of probability

O175.8；O211.4

A

1672－1454（2012）04－0059－05

2012－02－24；［修改日期］2012－04－24