施培成

（鄭州華信學(xué)院，河南 鄭州 451100）

走進(jìn)數(shù)學(xué)王國(guó) 探究數(shù)學(xué)奧秘

施培成

（鄭州華信學(xué)院，河南 鄭州 451100）

本文試圖從數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義，數(shù)學(xué)的理論結(jié)構(gòu)和體系方法，分析數(shù)學(xué)的特征，探尋學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵所在，希望通過這些文字和歷史小故事打開認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的大門.讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的奧秘，消除對(duì)數(shù)學(xué)的誤區(qū)，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的趣味和魅力，增加學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

麥比烏斯曲面；哥尼斯堡七橋問題；歐拉公式；貝特朗奇論

1 數(shù)學(xué)是開啟一切科學(xué)大門的鑰匙

按照目前科學(xué)分類的方法，物質(zhì)世界的運(yùn)動(dòng)按其矛盾的特性可分為自然科學(xué)，社會(huì)科學(xué)和思維科學(xué)三大基本領(lǐng)域，與這三大基本領(lǐng)域相對(duì)應(yīng)，現(xiàn)代科學(xué)包括五大基本部類，即自然科學(xué)類、社會(huì)科學(xué)類、思維科學(xué)類、數(shù)學(xué)和哲學(xué)，它們的關(guān)系如下圖1所示：

圖1中黑體字表示大部類科學(xué)，圓括號(hào)表示次級(jí)類過渡學(xué)科或邊緣學(xué)科.實(shí)線表示一級(jí)聯(lián)系，虛線表示次級(jí)聯(lián)系.

從圖1中看到數(shù)學(xué)已經(jīng)廣泛地滲透到物質(zhì)世界的各個(gè)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)是現(xiàn)代科學(xué)中的基礎(chǔ)學(xué)科，成為各門科學(xué)發(fā)展的共同工具，馬克思說“一種科學(xué)只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)的時(shí)候才算達(dá)到真正完善的地步”.

數(shù)學(xué)蘊(yùn)含了巨大的威力，它的領(lǐng)域日益擴(kuò)大，它不僅為自然科學(xué)服務(wù)，而且在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域也離不開數(shù)學(xué)，誰要是不用數(shù)學(xué)為自己服務(wù)，總會(huì)有一天發(fā)現(xiàn)別人已經(jīng)用數(shù)學(xué)來同自己競(jìng)爭(zhēng)，21世紀(jì)人人都離不開數(shù)學(xué).

2 數(shù)學(xué)的特征（Ⅰ）——高度的抽象性

充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的抽象性特征，并找出讓自己能夠適應(yīng)并學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象的方法.

數(shù)學(xué)是人類歷史上誕生最早的科學(xué)之一，數(shù)和形這兩個(gè)基本概念是數(shù)學(xué)的兩塊基石.早在2000年前人們就認(rèn)識(shí)數(shù)的重要性，古希臘數(shù)學(xué)家說：“龐大、萬能和完美無缺是數(shù)字的力量所在，數(shù)是人類生活的開始和主宰者，也是一切事物的參與者”.缺少數(shù)字一切都變得混亂無序，數(shù)學(xué)的發(fā)展大體上也是圍繞數(shù)和形這兩個(gè)基本概念的提煉發(fā)展和演變而展開，例如大家熟悉的虛數(shù)i，起初只是在求解代數(shù)方程中出現(xiàn)，在很長(zhǎng)一段時(shí)間里虛數(shù)i的價(jià)值和意義不為人們所理解，只把虛數(shù)之看作一個(gè)虛設(shè)的符號(hào)，直到18世紀(jì)70年代對(duì)i給予了幾何解釋建立了復(fù)變量x+yi于是應(yīng)系統(tǒng)的研究，復(fù)變函數(shù)論誕生并把它應(yīng)用在流體力學(xué)和地圖制圖學(xué)上，從此這種虛設(shè)的數(shù)i在數(shù)學(xué)上完全站住了.以及后來歐拉命名的公式e2πi的出現(xiàn)，e，π，i，1，2 這些“出身”完全不同的數(shù)，可用一個(gè)簡(jiǎn)明的公式表現(xiàn)出來，真是不可思議，讓人對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生驚訝、感奮，引來無窮遐想，這就是數(shù)學(xué)的奧妙和魅力.

數(shù)學(xué)的抽象與其他科學(xué)的抽象有明顯的區(qū)別，數(shù)學(xué)的抽象是撇開對(duì)象具體內(nèi)容，具體屬性僅僅保留其中純粹的數(shù)量關(guān)系或空間形式例如點(diǎn)、線、面、數(shù)、元素、集合、空間等等這些都是純粹抽象的概念，這類基本概念無法用語(yǔ)言文字直接定義，它們各自的“意境”只能通過類比和聯(lián)想加以思索.然而它們?cè)跀?shù)學(xué)研究和應(yīng)用中發(fā)揮了不可取代的作用.人們的習(xí)慣常常是喜歡具體而不習(xí)慣抽象（看不見摸不著）甚至有一個(gè)“誤區(qū)”認(rèn)為學(xué)習(xí)高度抽象的數(shù)學(xué)，在實(shí)際中能有多大的用處？其實(shí)正好相反，因?yàn)槌橄蟮臄?shù)學(xué)概念和方法都是由大量的生活實(shí)踐中整理概括抽象而來，一大批具有同一實(shí)際背景的事物通過類比聯(lián)想和移植就可以再回到同一類型的實(shí)際問題中去，這就是說數(shù)學(xué)的高度抽象性和廣泛應(yīng)用性不但不矛盾而且相輔相成.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要適應(yīng)并且習(xí)慣它的抽象性，在求解應(yīng)用題時(shí)，更要善于對(duì)實(shí)際問題運(yùn)用抽象、聯(lián)想和移植的方法、迅速地化難為易.請(qǐng)看下面兩個(gè)小故事：

例1 在微積分下冊(cè)講曲面積分時(shí)提到麥比烏斯帶，這是一個(gè)單側(cè)曲面，它是由18世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家麥比烏斯構(gòu)造的，遺憾的是論文尚未發(fā)表作者就不幸故去，許多年后，被別人在他的遺作中發(fā)現(xiàn)，并把這個(gè)單側(cè)曲面命名為麥比烏斯曲面而公開發(fā)表.更加有趣的是三百多年后在上海舉世聞名的世界博覽會(huì)的展覽館群中，有一個(gè)國(guó)家把這種麥比烏斯曲面設(shè)計(jì)使用在自己國(guó)家的世博會(huì)的展覽大廳上，當(dāng)參觀的人群走在這種單側(cè)曲面的參觀通道上，感受到三百年前的古代數(shù)學(xué)文明與現(xiàn)代高科技的建筑文明融洽為一體成為世博會(huì)的一大亮點(diǎn)，這個(gè)抽象的麥比烏斯單側(cè)曲面再次失而復(fù)得.我們敬佩那位建筑設(shè)計(jì)師他有厚重的數(shù)學(xué)底蘊(yùn)，更有超常的把抽象應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)的能力，這個(gè)故事驗(yàn)證了一句民間諺語(yǔ)“是金子總是要發(fā)光的”.

例2 哥尼斯堡城位于普格雷尼河畔如圖2a所示河中有大小兩個(gè)島，大島南北兩邊各有兩座橋與對(duì)岸相連，小島南北兩邊各有一座橋與對(duì)岸相連，大小兩島之間又有一座橋相連，哥尼斯堡就是由南岸、北岸、大島、小島這四塊陸地通過七座橋相連.旅游團(tuán)希望能找出一條參觀的路線使得從四塊陸地的任一塊出發(fā)每座橋只通過一次，不重復(fù)不遺漏在最后又回到原地，這就是歷史上著名的七橋問題，這個(gè)問題困擾了當(dāng)時(shí)眾多的學(xué)者.許多年后由數(shù)學(xué)家歐拉解決了.歐拉先對(duì)問題作抽象簡(jiǎn)化，他用四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D分別表示四塊陸地，再用七條線段 AC，CA，CB，BC，AD，CD，BD，分別表示七座橋，七橋問題抽象為一條回路（圖2b）的“一筆畫”問題，歐拉進(jìn)一步研究回路“一筆畫”的充分必要條件，最后的結(jié)論是七橋問題無解.在這里我們又一次看到了用純粹抽象的點(diǎn)線圖形解決了復(fù)雜的應(yīng)用問題.

圖2a

圖2b

在近代的網(wǎng)絡(luò)理論中“一筆畫”問題更有重要作用.

數(shù)學(xué)的抽象性不僅表現(xiàn)在概念上，也表現(xiàn)在方法上，恩格斯說：“數(shù)學(xué)是一種研究思想事物的科學(xué)”.這是對(duì)數(shù)學(xué)抽象性的深刻概括.

3 數(shù)學(xué)的特征（Ⅱ）——數(shù)學(xué)理論具有嚴(yán)密的邏輯性，邏輯學(xué)是數(shù)學(xué)的生命

數(shù)學(xué)理論的建立無法通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證和判斷從古希臘開始形式邏輯就與數(shù)學(xué)緊密結(jié)合，數(shù)學(xué)命題的真?zhèn)沃荒芙柚趪?yán)密的形式邏輯原則來判斷.

（1）數(shù)學(xué)思維的方法是開啟思維的鑰匙，有了科學(xué)的思維方法就能對(duì)許多原始資料進(jìn)行合理的加工整理形成嚴(yán)密的理論體系，常用的數(shù)學(xué)思維方法有分析與綜合，抽象與概括歸納與演繹等等.

（2）數(shù)學(xué)思維的形式是建構(gòu)數(shù)學(xué)分支邏輯結(jié)構(gòu)體系的“元件“，常用的是以下七種：

①概念：對(duì)原始的數(shù)學(xué)資料抽象整理去偽存真加工而成，它真實(shí)地反映事物的本質(zhì).

②定義：是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法.

③判斷：是反映事物具有或不具有某種屬性（或關(guān)系）.

④命題：是用文字或符號(hào)表達(dá)判斷的句子.

⑤演繹（又稱推理）是由一般到特殊的推理方式它給出命題的前提與結(jié)論之間的必然聯(lián)系，因?yàn)檠堇[推理是合乎邏輯的推理，故它可以作為數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具.

⑥公理數(shù)學(xué)分支中不需經(jīng)過邏輯論證而確認(rèn)它的正確性，并可以用它論證命題，公理必須滿足無矛盾性，獨(dú)立性和完備性三個(gè)條件.

⑦定理和推論是由前提和結(jié)論兩部分組成的一個(gè)數(shù)學(xué)命題，客觀存在的真實(shí)性完全可以經(jīng)過嚴(yán)格的推理來確認(rèn).

（3）數(shù)學(xué)理論結(jié)構(gòu)的邏輯體系，是以上七種數(shù)學(xué)思維形式一環(huán)連接一環(huán)形成的單向有序的邏輯結(jié)構(gòu)鏈，如下圖3所示：

圖3

例3 歐幾里德幾何學(xué)和非歐幾何學(xué)公理化體系：

公元前300年古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德在總結(jié)了大量已有的幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上，將人們公認(rèn)的一些幾何知識(shí)、點(diǎn)、線、面、角、圓等定為幾何學(xué)基本概念，并把當(dāng)時(shí)人們公認(rèn)的一些幾何知識(shí)列成定義和五條公理總結(jié)成一套幾何學(xué)理論的演繹體系并著書取名為《幾何原本》，許多年后人們發(fā)現(xiàn)歐幾里德的公理化系統(tǒng)并不完善，更為完整的幾何學(xué)公理系統(tǒng)是在19世紀(jì)末由德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特完成，他改善了歐氏幾何學(xué)的第五公理，建立了非歐幾何，非歐幾何學(xué)是從公理出發(fā)的純粹演繹系統(tǒng)，形成了近代幾何學(xué)的公理化體系結(jié)構(gòu).

隨著社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)向廣度和深度上發(fā)展數(shù)學(xué)公理化方法不但可以研究具有確定因果關(guān)系的確定性數(shù)學(xué)問題，還可以研究不具有確定性因果關(guān)系的隨機(jī)性數(shù)學(xué)問題.

例4 用公理化方法建立概率論的公理化體系（Ω、F、Р）.

早期概率論對(duì)求解古典型幾何型概率問題得出一些結(jié)果.但有很大的局限性，碰到比較復(fù)雜的隨機(jī)事件就無能為力，甚至出現(xiàn)像貝特朗奇論的怪現(xiàn)象，使得當(dāng)時(shí)不少人對(duì)概率論的科學(xué)性產(chǎn)生了懷疑.上世紀(jì)20年代以柯爾莫哥洛夫?yàn)槭椎囊慌疤K聯(lián)數(shù)學(xué)家，用公理化方法建立了概率論的公理化體系簡(jiǎn)記為（Ω、F、Р）它為概率論奠定了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，推動(dòng)了概率論的飛速發(fā)展.

4 結(jié)束語(yǔ)

怎樣看待數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值？

下面引述日本著名學(xué)者米山國(guó)藏的一席話作為回答，他說：“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)畢業(yè)后沒有機(jī)會(huì)去用，不到一兩年就會(huì)忘掉，然而不管他們從事什么工作唯有深深銘刻在頭腦里的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和看問題的著眼點(diǎn)卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終身受益”.

〔1〕[蘇]亞歷山大洛夫.數(shù)學(xué)它的內(nèi)容、方法和意義[M].科學(xué)出版社，1984.

〔2〕[日]米山國(guó)藏.數(shù)學(xué)的精神思想與方法[M].成都四川教育出版社，1986.

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1673-260X（2012）01-0022-02