張秀華，張慶靈

（東北大學(xué)理學(xué)院，遼寧沈陽 110819）

不確定廣義雙線性系統(tǒng)的魯棒無源控制

張秀華，張慶靈

（東北大學(xué)理學(xué)院，遼寧沈陽 110819）

研究了不確定廣義雙線性系統(tǒng)的無源控制問題．利用廣義李雅普諾夫函數(shù)、廣義黎卡提代數(shù)不等式和線性矩陣不等式，給出了不確定廣義雙線性系統(tǒng)的零解漸近穩(wěn)定和無源的充分條件．特別針對廣義雙線性系統(tǒng)，采取了范數(shù)有界和集合限定的方法，設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)是零解漸近穩(wěn)定且具有無源性，同時給出了相應(yīng)的控制器的構(gòu)造．最后，給出了一個實例說明所得結(jié)論的正確性．

不確定；雙線性；廣義；無源；魯棒

廣義系統(tǒng)是一種多級、多目標(biāo)、多維數(shù)和多層次的大規(guī)模的復(fù)雜系統(tǒng)，而廣義雙線性系統(tǒng)是一種介于廣義線性系統(tǒng)與廣義非線性系統(tǒng)之間的系統(tǒng)，可以看成一類特殊的廣義非線性系統(tǒng)，是研究其他廣義非線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)．廣義雙線性系統(tǒng)解的存在性以及穩(wěn)定性研究雖然已經(jīng)取得了一定的成果［1－4］，但仍有必要進(jìn)行深入的探討．

耗散性理論在系統(tǒng)穩(wěn)定性研究中起著重要的作用．而無源性是耗散性的一個重要方面，它將輸入輸出的乘積作為能量的供給率，體現(xiàn)了系統(tǒng)在有界輸入條件下能量的衰減特性．事實上，基于李雅普諾夫函數(shù)的鎮(zhèn)定理論，也可從無源性的角度加以解釋．可以說，無源性是穩(wěn)定性的一種更高層次的抽象，近年來已經(jīng)引起了一定的關(guān)注［5－8］．

在實際問題中，常常不可避免地受到不確定因素的影響．不確定因素經(jīng)常導(dǎo)致許多物理過程性能的不穩(wěn)定性．本文將廣義系統(tǒng)和介于線性與非線性系統(tǒng)之間的雙線性系統(tǒng)結(jié)合起來，進(jìn)一步開展一類不確定廣義雙線性系統(tǒng)的無源性研究，在理論上和實際應(yīng)用中都是很有意義的．

1 問題描述與預(yù)備知識

考慮如下一類不確定廣義雙線性系統(tǒng)：

式中，x（t）∈Rn是狀態(tài)變量，u（t）∈Rm是輸入控制，ω（t）∈Rp是外部輸入，z（t）∈Rn是輸出變量；Ni∈Rn×m，Hi∈Rn×p（i＝1，2，…，n）是常數(shù)矩陣；E，A，B，B1，C，D，D1是適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣，其中，r a n kE＝r＜n；ΔA（t），ΔB（t）是時變不確定實矩陣函數(shù)．考慮的不確定性假定是范數(shù)有界的，且具有如下形式：

式中，M，Na，Nb是具有適當(dāng)維數(shù)的實常數(shù)矩陣；F（t）∈Ri×j是一個具有Lebesgue可測元的時變不確定矩陣函數(shù)，滿足

滿足上述條件的ΔA（t），ΔB（t）稱為是允許的．

為給出描述系統(tǒng)的穩(wěn)定與無源控制的有關(guān)結(jié)論，先考慮具有如下形式的不確定廣義雙線性系統(tǒng)：

記系統(tǒng)（4）的標(biāo)稱系統(tǒng)為

引理1［9］系統(tǒng)（5）容許的充要條件是Lyapunov方程

對任意的W＞0，有滿足rank（ETP E）＝rankP＝r的唯一半正定解P．

本文中，始終假定系統(tǒng)（5）是容許的．

引理2［10］給定具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣Q，H，M，其中，Q對稱，則

對所有滿足FTF≤I的F成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個常數(shù)ε＞0，滿足

定義對于系統(tǒng)（4），如果存在非負(fù)連續(xù)可微函數(shù)V（x（t）），V（0）＝0，使得不等式

對一切輸入ω（t）和所有允許的不確定性均成立，則稱系統(tǒng)（4）是無源的．

引理3［11］對于任意的n維向量x，y，有2xTy≤γ xTx＋γ－1yTy，?γ∈R＋．

2 無源性分析

定理1對于系統(tǒng)（4），若存在正實數(shù)α和正定矩陣W1，滿足

（2）對于滿足方程（6）的正定矩陣W及半正定矩陣P，有

則系統(tǒng)（4）是零解漸近穩(wěn)定且無源的．

證明 取系統(tǒng)（4）的Lyapunov函數(shù)為

則V（x（t））沿系統(tǒng)（4）的導(dǎo)數(shù)為

由引理3，有

由引理3及式（2）和式（3），有

結(jié)合式（6），所以

先考慮系統(tǒng)（4）的零解漸近穩(wěn)定性．令ω（t）＝0，當(dāng)式（10）成立時，顯然有

再考慮系統(tǒng)（4）的無源性．計算可得

當(dāng)定理中條件成立時，由Schur補(bǔ)性質(zhì)知

3 無源控制

假設(shè)存在如下線性狀態(tài)反饋控制律：

式中，K為常數(shù)增益矩陣．

于是，從式（1）和式（11）得到閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

式中，ut∈R是控制向量；BD1是適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣．下面討論系統(tǒng)（12）的零解漸近穩(wěn)定且無源問題．

定理2對于系統(tǒng)（1），如果D1列滿秩，且存在正實數(shù)α，β和正定矩陣W1，W2，滿足

（2）記集合

Rn，對于滿足方程（6）的正定矩陣W及半正定矩陣P，滿足如下式子：

式中，S和Q為正定矩陣，K1＝DT1（D＋DT－α2I）－1D1，則存在狀態(tài)反饋控制K，使得閉環(huán)系統(tǒng)（1 2）是零解漸近穩(wěn)定且無源的，而且控制器可設(shè)計為

證明 取V（x（t））同前，先考慮系統(tǒng)（12）的零解漸近穩(wěn)定性．令ω（t）＝0，則有

注意到式（2）和式（3），由引理1和引理3，可以得到

其中，S和Q為正定對稱矩陣．對于任意的x∈Φ1，有

于是，可以將式（15）改寫成如下形式：

此時只要

則對于x≠0，x∈Φ1，就有

所以，根據(jù)Lyapunov判別法，閉環(huán)系統(tǒng)（12）是零解局部漸近穩(wěn)定的．

再考慮系統(tǒng)（12）的無源性．計算可得

只要上式右端的矩陣小于或等于零即可．當(dāng)D＋DT－α2I＞0時，上式等價于

將式（18）左端整理后即為

進(jìn)一步地，可以考慮系統(tǒng)（1中系數(shù)矩陣均帶有不確定項的情況，利用引理2和引理3，可以得到類似于定理2的結(jié)果．

4 數(shù)值算例

例 考慮系統(tǒng)（4），其中

由Matlab工具計算得到

滿足方程（4），而且條件（1）、（2）及式（1 0）成立，由定理1知系統(tǒng)（4）無源且零解漸近穩(wěn)定．

5 結(jié) 語

本文對不確定廣義雙線性系統(tǒng)的無源控制問題進(jìn)行了研究．將無源性概念引入到不確定雙線性廣義系統(tǒng)，利用Lyapunov函數(shù)和線性矩陣不等式進(jìn)行了無源性分析，給出了系統(tǒng)零解漸近穩(wěn)定和無源的充分條件．在此基礎(chǔ)上，特別針對廣義雙線性系統(tǒng)的非線性項，采取了范數(shù)有界和集合限定的方法，此處的雙線性項處理，不是直接看成非線性項進(jìn)行的范數(shù)有界約定，而是結(jié)合雙線性項本身的特點，進(jìn)行了巧妙的范數(shù)有界約定．同時對不確定項也進(jìn)行了一定的處理，設(shè)計了靜態(tài)狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)是零解漸近穩(wěn)定且具有無源性．給出了相應(yīng)的控制器的構(gòu)造．

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Robust Passive Control for Uncertain Singular Bilinear System

ZHANG Xiuhua，ZHANG Qingling
（School of Science，Northeastern University，Shenyang 110819，China）

The robust passive control problem for a class of uncertain singular bilinear systems is investigated．By means of generalized Lyapunov function and generalized Riccati inequality and linear matrix inequality，a sufficient condition is derived such that a prescribed uncertain singular bilinear system is passive and its zero solution is asymptotically stable．By making use of the method of norm bounded and limited collection，a state feedback control law is designed such that the closed－loop system is passive and its zero solution is asymptotically stable．Finally，an example is given to illustrate the validity of the obtained results．

uncertainty；bilinear；singular；passive；robust

TP13

A

1008－9225（2012）04－0041－04

【責(zé)任編輯：李 艷】

2012－02－29

國家自然科學(xué)基金資助項目（60974004）．

張秀華（1963－），女，遼寧鐵嶺人，東北大學(xué)教授，博士．