李澗萍 范進(jìn)軍

( 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,250358,濟(jì)南 )

1 引 言

零解穩(wěn)定性對(duì)微分方程組的定性研究非常重要，在微分方程理論及實(shí)際應(yīng)用中，主要利用Lyapunov直接法對(duì)自治系統(tǒng)零解穩(wěn)定性進(jìn)行研究[1-3]. 這一方法受制于Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造，因?yàn)閷?duì)一般系統(tǒng)很難構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù). 由平面自治系統(tǒng)理論可知，零解穩(wěn)定性的問(wèn)題與所給系統(tǒng)的線素場(chǎng)有關(guān)，然而從幾何角度來(lái)判定零解的穩(wěn)定性的研究較少. Matlab在微分方程方面有眾多應(yīng)用[4-8]. 本文借助Matlab強(qiáng)大的繪圖功能，探究判定零解穩(wěn)定性的新方法：基于零解穩(wěn)定性的幾何特征，嘗試通過(guò)Matlab編程，在相平面上繪制出方程的線素場(chǎng)來(lái)判定零解的穩(wěn)定性.

2 預(yù)備知識(shí)

為了利用Matlab來(lái)判斷平面自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性，本文首先對(duì)平面自治系統(tǒng)零解穩(wěn)定性的定義及其分類進(jìn)行介紹.

設(shè)有自治系統(tǒng)

(1)

假設(shè)F∈C(R×G)(G為R2中包含原點(diǎn)的一個(gè)區(qū)域)且滿足解的存在唯一性定理的條件.

易見(jiàn)該系統(tǒng)不顯含自變量t，其軌線在相平面上不相交，故在使用Matlab分析圖象時(shí)只需觀察系統(tǒng)在相平面上的軌線特征.

定義1(穩(wěn)定性[1]) 若對(duì)?ε>0,t0≥0,?δ=δ(ε,t0)>0,x0∈G，只要‖x0‖<δ，(1)式滿足初值x(t0)=x0的解x(t;t0,x0)都在t≥t0上有定義，且當(dāng)t≥t0時(shí)，有‖x(t;t0,x0)‖<ε，則稱方程組(1)的零解是穩(wěn)定的；反之，則不穩(wěn)定.

?ε>0,?T=T(ε,t0,x0)>0,t>t0+T時(shí)，‖x(t;t0,t0)‖<ε，

則稱方程組(1)的零解是吸引的.

定義3(漸近穩(wěn)定性[1]) 零解既是穩(wěn)定的又是吸引的，則稱零解是漸近穩(wěn)定的.

3 Matlab在判斷平面自治系統(tǒng)零解穩(wěn)定性中的應(yīng)用

由于系統(tǒng)的任意非零解，都可以經(jīng)過(guò)平移變換化為一個(gè)新系統(tǒng)的零解，所以判斷系統(tǒng)的一個(gè)解是否穩(wěn)定，只需判斷新系統(tǒng)的零解是否穩(wěn)定即可. 為方便起見(jiàn)，假定所給系統(tǒng)有零解. 這樣便可以通過(guò)Matlab編程，繪制出相平面上原點(diǎn)附近系統(tǒng)的線素場(chǎng)，并觀察其走向，以此來(lái)分析零解的穩(wěn)定性.

3.1一般步驟

1) 借助Matlab的Streamslice函數(shù)，在相平面上繪制自治系統(tǒng)原點(diǎn)在附近某個(gè)鄰域U中系統(tǒng)的線素場(chǎng)，初步判斷該零解的穩(wěn)定性.

2) 適當(dāng)縮小原點(diǎn)附近鄰域U的范圍，觀察以原點(diǎn)為中心的足夠小鄰域內(nèi)的線素場(chǎng)的具體走向，進(jìn)一步判斷該系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性.

3.2實(shí)例應(yīng)用下面給出具體例子，通過(guò)Matlab編程，判斷系統(tǒng)的零解穩(wěn)定性.

例1判斷微分方程組

(2)

零解的穩(wěn)定性.

解1) 直觀說(shuō)明.為了更充分地觀察在原點(diǎn)附近解軌線的具體分布情況，分別取(x,y)∈[-0.5,0.5]×[-0.5,0.5]和(x,y)∈[-0.25,0.25]×[-0.25,0.25]，在Matlab中，利用streamslice函數(shù)在相平面上繪制出線素場(chǎng)的流線圖. Matlab程序如下：

subplot(1,2,1);

[x,y]=meshgrid(linspace(-0.5,0.5));

h=streamslice(x,y,(x-y).*(x.^2+y.^2-1),(x+y).*(x.^2+y.^2-1));

set(h,'Color','b');

xlabel({'x'; '(a)'});ylabel('y');

title('在[-0.5,0.5]×[-0.5,0.5]范圍內(nèi)軌線分布','FontSize',8);

axis equal;

axis([-0.5 0.5 -0.5 0.5]);

subplot(1,2,2);

[x,y]=meshgrid(linspace(-0.25,0.25));

h=streamslice(x,y,(x-y).*(x.^2+y.^2-1),(x+y).*(x.^2+y.^2-1));

set(h,'Color','b');

xlabel({'x'; '(b)'});ylabel('y');

title('在[-0.25,0.25]×[-0.25,0.25]范圍內(nèi)軌線分布','FontSize',8);

axis equal;

axis([-0.25 0.25 -0.25 0.25]).

圖1為微分方程組(2)在不同范圍內(nèi)的軌線分布，圖中箭頭表示軌線的方向. 由圖1可知，在原點(diǎn)鄰域內(nèi)的解軌線一致地走向原點(diǎn)，故該系統(tǒng)的零解漸近穩(wěn)定.

圖1 方程組(2)在不同范圍的軌線分布

在單位開(kāi)圓域內(nèi)是負(fù)定的，由引理1知，該系統(tǒng)的零解漸近穩(wěn)定.

例2 判斷微分方程組

(3)

零解的穩(wěn)定性.

解1)直觀說(shuō)明.分別取(x,y)∈[-1,1]×[-1,1]和(x,y)∈[-0.5,0.5]×[-0.5,0.5]，在Matlab中，利用Streamslice函數(shù)在相平面上繪制出線素場(chǎng)的流線圖. Matlab程序如下：

subplot(1,2,1);

[x,y]=meshgrid(linspace(-1,1));

h=streamslice(x,y,-y-x.*y.^2,x-x.^4.*y);

set(h,'Color','b');

xlabel({'x'; '(a)'});ylabel('y');

title('在[-1,1]×[-1,1]范圍內(nèi)軌線分布','FontSize',9);

axis equal;

axis([-1 1 -1 1]);

subplot(1,2,2);

[x,y]=meshgrid(linspace(-0.5,0.5));

h=streamslice(x,y,-y-x.*y.^2,x-x.^4.*y);

set(h,'Color','b');

xlabel({'x'; '(b)'});ylabel('y');

title('在[-0.5,0.5]×[-0.5,0.5]范圍內(nèi)軌線分布','FontSize',9);

axis equal;

axis([-0.5 0.5 -0.5 0.5]).

由圖2可知，在原點(diǎn)附近的解軌線均是閉合的，又原點(diǎn)始終在閉合解軌線的內(nèi)部，使得軌線不可能一直“走向”原點(diǎn)，故該系統(tǒng)的零解穩(wěn)定但不漸近穩(wěn)定.

圖2 方程組(3)在不同范圍內(nèi)的軌線分布

由引理1知，該系統(tǒng)的零解穩(wěn)定.

例3判斷微分方程組

(4)

零解的穩(wěn)定性.

解1)直觀說(shuō)明.分別取(x,y)∈[-1,1]×[-1,1]和(x,y)∈[-0.5,0.5]×[-0.5,0.5]，在Matlab中，利用Streamslice函數(shù)在相平面上繪制出線素場(chǎng)的流線圖. Matlab程序如下：

subplot(1,2,1);

[x,y]=meshgrid(linspace(-1,1));

h=streamslice(x,y,-x.^5-y.^3,-3*x.^3+y.^3);

set(h,'Color','b');

xlabel({'x'; '(a)'});ylabel('y');

title('在[-1,1]×[-1,1]范圍內(nèi)軌線分布','FontSize',9);

axis equal;

axis([-1 1 -1 1]);

subplot(1,2,2);

[x,y]=meshgrid(linspace(-0.5,0.5));

h=streamslice(x,y,-x.^5-y.^3,-3*x.^3+y.^3);

set(h,'Color','b');

xlabel({'x'; '(b)'});ylabel('y');

title('在[-0.5,0.5]×[-0.5,0.5]范圍內(nèi)軌線分布','FontSize',9);

axis equal;

axis([-0.5 0.5 -0.5 0.5]).

由圖3可知，在原點(diǎn)任意小的鄰域內(nèi)，方程組的解軌線進(jìn)入鄰域內(nèi)后，又遠(yuǎn)離原點(diǎn)走向無(wú)窮遠(yuǎn)處. 故該系統(tǒng)的零解不穩(wěn)定.

圖3 方程組(4)在不同范圍內(nèi)的軌線分布

4 結(jié) 語(yǔ)

本文從零解穩(wěn)定性的幾何特征出發(fā)，基于Lyapunov零解穩(wěn)定性理論，通過(guò)Matlab編程，結(jié)合平面自治系統(tǒng)的具體實(shí)例，繪制出相應(yīng)系統(tǒng)的線素場(chǎng)，并觀察線素場(chǎng)的走向，以此來(lái)分析零解的穩(wěn)定性. 上述判定方法既直觀地反映了平面自治系統(tǒng)零解穩(wěn)定性的幾何性質(zhì)，又省去了尋找Lyapunov函數(shù)的復(fù)雜過(guò)程，為研究一類難以找到合適Lyapunov函數(shù)的自治系統(tǒng)的零解穩(wěn)定性問(wèn)題，提供了更為便捷、直觀的途徑.