王建元，翟 薇，侯建平，龐述先

（西北工業(yè)大學(xué)，陜西 西安 710072）

1 懸臂梁微小形變電測法

微小形變的測量是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中非常典型的一類綜合性實(shí)驗(yàn)[1－4]，主要方法有光杠桿法、應(yīng)變片法、光干涉法等。利用應(yīng)變片作為測量物體微小形變的傳感元件，并且由學(xué)生搭建電橋電路來測量應(yīng)變片的電阻，可以將電學(xué)測量方法與經(jīng)典力學(xué)結(jié)構(gòu)的分析結(jié)合起來，使得學(xué)生不僅學(xué)習(xí)了應(yīng)力－應(yīng)變的材料力學(xué)知識，了解了力學(xué)研究和工程應(yīng)用領(lǐng)域的重要傳感元件，而且鍛煉學(xué)生的綜合運(yùn)用能力。

懸臂梁加載后的主應(yīng)變測量是一種常見的設(shè)計(jì)，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。通過在懸臂梁活動(dòng)端的砝碼加載使懸臂梁產(chǎn)生變形，在懸臂梁固定端附近的上表面（A處）粘貼應(yīng)變片。測量其加載前后的電阻，可以計(jì)算出懸臂梁上表面在A處的主應(yīng)變，即：

其中，R是加載前應(yīng)變片電阻，ΔR是加載后的應(yīng)變片電阻變化量，K為應(yīng)變片系數(shù)。

相對于通過軸向拉伸或壓縮的方法產(chǎn)生主應(yīng)變，懸臂梁活動(dòng)端加載的方法使得較小的加載重量就可以在固定端附近的上下表面獲得較為顯著的應(yīng)變。由于不需要采用幾公斤重的巨型砝碼，這個(gè)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)在力學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上更為緊湊，而且操作也更為安全；同時(shí)，較大的應(yīng)變使得應(yīng)變片的電阻變化較為明顯，采用惠斯通單臂電橋結(jié)合微調(diào)電阻箱即可進(jìn)行測量。

圖1 懸臂梁力學(xué)結(jié)構(gòu)示意圖

最簡單的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)可以僅要求測量應(yīng)變（方案1）。如果引入懸臂梁主應(yīng)變計(jì)算公式[5]：

F為懸臂梁活動(dòng)端垂直加載力，l為懸臂梁末端到應(yīng)變測試點(diǎn)A的距離，h為懸臂梁厚度，b為懸臂梁截面寬度。結(jié)合（1）式，可以得到：

利用式（3），可以通過給定懸臂梁材料的楊氏模量E來間接測量應(yīng)變片的系數(shù)K（方案2）；利用公式（4）可以通過給出應(yīng)變片的系數(shù)K，測量材料的楊氏模量E（方案3）。這3種方案要想實(shí)現(xiàn)多次測量，一般采用在懸臂梁活動(dòng)端逐次增加等重砝碼，測量ΔR等間隔變化方法，并采用逐差法處理數(shù)據(jù)。

2 實(shí)驗(yàn)中存在的系統(tǒng)誤差

以上實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中的測量方法上的系統(tǒng)誤差有兩個(gè)主要來源：

（1）電學(xué)測量的系統(tǒng)誤差。電路的接通必然帶來熱量的累積而使得元器件溫度升高。應(yīng)變片和電橋其他橋壁上電阻箱的阻溫系數(shù)不同，所以各個(gè)元器件的電阻值漂移大小不同，這必然造成電橋平衡點(diǎn)的漂移。關(guān)于這個(gè)系統(tǒng)誤差，實(shí)驗(yàn)教材[1，4]中的測量電路已經(jīng)給出了解決的辦法。在懸臂梁的反向端設(shè)置一個(gè)非加載區(qū)域，在此區(qū)域粘貼另外一個(gè)同型號應(yīng)變片作為補(bǔ)償片（圖1，B處）。測量電路如圖2所示，補(bǔ)償片作為受力應(yīng)變片的相鄰橋臂。這樣，兩者具有相同的熱敏系數(shù)，且流過的電流相同，溫度變化引起的電阻變化RT相當(dāng)，電橋的平衡關(guān)系實(shí)質(zhì)上就變成：

（Rx＋ΔRT）／（R1＋ΔRT）＝ （Ra＋Rb）／R2＝1 （5）這樣就排除了溫度對電阻值測量的影響。

圖2 含有溫度補(bǔ)償?shù)臏y量電路圖[1]

（2）力學(xué)變形近似引起的系統(tǒng)誤差。在進(jìn)行多個(gè)砝碼逐次加載進(jìn)行多次測量的情況下，若忽略加載后懸掛點(diǎn)位置的改變，則所加載砝碼的重力垂直于懸臂梁，拉力mg以彎矩M0的形式作用于懸臂梁上，如圖3所示。此時(shí)沒有軸向拉伸力，也就是說完全由彎矩造成了A處的正應(yīng)力。但是實(shí)際加載后，懸臂梁發(fā)生顯著的彎曲變形，重力不再垂直于懸臂梁。這樣，砝碼重力分解為軸向的拉力FZ和垂直于軸向的力FM。分力FM對A點(diǎn)產(chǎn)生的彎矩必然小于M0。根據(jù)材料力學(xué)的常識，對于懸臂梁，同樣的力通過軸向拉力作用比通過彎矩作用在A處產(chǎn)生的正應(yīng)力要小得多。所以可以預(yù)測，對于依次加載的多個(gè)砝碼，懸臂梁的傾斜逐次增大，相同的砝碼重力分解出的彎矩就會越小，最終的效果是依次加載的砝碼在A處所產(chǎn)生的正應(yīng)力變化量依次減小。

圖3 懸臂梁加載變形后的受力分析

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的授課對象是所有理工科學(xué)生而不是只針對力學(xué)專業(yè)的學(xué)生，本實(shí)驗(yàn)的重點(diǎn)是讓學(xué)生了解應(yīng)變片的工作原理，掌握微小形變的電測法，另外學(xué)習(xí)逐差法這個(gè)數(shù)據(jù)處理的重要方法。如果在實(shí)驗(yàn)內(nèi)容上考慮這個(gè)專業(yè)的力學(xué)問題，則會使得實(shí)驗(yàn)過于復(fù)雜，使得實(shí)驗(yàn)難度過高，反而使學(xué)生忽略了其中的重點(diǎn)問題。因此，在逐次連續(xù)加載的多次測量時(shí)，希望應(yīng)變的衰減足夠小，以便近似認(rèn)為依次加載的砝碼在A處產(chǎn)生同樣的應(yīng)力、應(yīng)變，于是將這一列測量作為等間距多次測量對待。因此，為了更加合理的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，必須進(jìn)行定量的力學(xué)分析計(jì)算，討論這種力學(xué)近似造成的系統(tǒng)誤差的大小和影響因素，通過優(yōu)化設(shè)計(jì)，減小該系統(tǒng)誤差。

3 力學(xué)變形近似誤差的分析測量

懸臂梁彎曲變形后，軸向拉力FZ在A處產(chǎn)生的正應(yīng)力為：

由FM產(chǎn)生的彎矩為：

由方形截面懸臂梁的正應(yīng)力計(jì)算公式[6]，可得

兩個(gè)正應(yīng)力的疊加為

設(shè)懸臂梁的楊氏模量為E，則A處的主應(yīng)變?yōu)椋?/p>

θ＝0的理想狀態(tài)下，應(yīng)變?yōu)?/p>

則任意角度下的應(yīng)變ε與理想值ε0的比值為：

選取一組易變形的薄壁懸臂梁的具體數(shù)值，L＝200mm，h＝1mm，帶入得：

公式（10）的數(shù)值關(guān)系如圖4中實(shí)線所示，隨著變形角度的增大，同樣質(zhì)量的砝碼加載所產(chǎn)生的應(yīng)變逐漸縮小。θ＝5° 時(shí)，ε／ε0＝0.996，衰減很??；θ＝10°時(shí)，ε／ε0＝ 0.985；θ ＝ 15° 時(shí)，ε／ε0＝0.966，衰減已經(jīng)非常明顯。

圖4 不同懸臂梁變形角時(shí)，相同砝碼加載產(chǎn)生的主應(yīng)變衰減

在理論計(jì)算的基礎(chǔ)上，采用L＝200mm，h＝1mm，b＝15mm的薄壁鋼材料懸臂梁實(shí)際測量了不同加載重量下的末端變形角以及相應(yīng)的電阻變化量。應(yīng)變片系數(shù)K＝2.25。m為加載重量，θ為懸臂梁變形角，Rx為應(yīng)變片電阻值，ΔR為相鄰Rx的差值，ε／ε0為應(yīng)變的衰減系數(shù)。計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 依次加載每50g砝碼的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

砝碼加載到150g時(shí)，變形角達(dá)到了5°；而當(dāng)加載到250g以上時(shí)，超過了11°；加載到500g時(shí)，變形角超過25°。

在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中采用逐差法處理數(shù)據(jù)。如果在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)上將最大變形角控制在5°以內(nèi)，則采用前四組Rx數(shù)據(jù)進(jìn)行逐差，則有效數(shù)字偏少。而采用前6組數(shù)據(jù)，最大250 g砝碼加載重量進(jìn)行逐差，則逐差結(jié)果達(dá)到3位有效數(shù)字，此時(shí)，累積的電阻變化量為0.217Ω，累積的應(yīng)變?yōu)?.02×104。但是，實(shí)際的變形角達(dá)到了11.25°。

從儀器精度誤差的角度出發(fā)，必須使每個(gè)逐差結(jié)果的有效數(shù)字至少達(dá)到3位；從實(shí)驗(yàn)方案的力學(xué)結(jié)構(gòu)近似的角度出發(fā)，變形角度小于5°為宜，并且越小越好?？梢詮膽?yīng)變片參數(shù)、電橋的電阻測量精度、懸臂梁的結(jié)構(gòu)優(yōu)化3個(gè)方面進(jìn)行考慮：

（1）電阻應(yīng)變片的系數(shù)。應(yīng)變片目前主要有金屬和半導(dǎo)體兩類，金屬應(yīng)變片的靈敏度一般為2左右，而半導(dǎo)體應(yīng)變片的靈敏度可以達(dá)到10以上。但是，半導(dǎo)體應(yīng)變片最大的缺點(diǎn)是溫度穩(wěn)定性差、靈敏度離散程度大、在較大應(yīng)變作用下非線性誤差大，給使用帶來困難，并未廣泛應(yīng)用。

（2）電橋的電阻測量分辨率。在惠斯通單臂電橋的可調(diào)橋壁上采用步進(jìn)值更小的電阻箱，并且提高電橋的靈敏度可以在相同的電阻變化情況下獲得更高的測量精度。但是，目前最為常見的通用微調(diào)電阻箱步進(jìn)值為0.001Ω。并且考慮到整個(gè)電橋電路各個(gè)組件的穩(wěn)定性和電阻箱接觸電阻，不適宜采用更小的微調(diào)電阻箱。

（3）懸臂梁的尺寸結(jié)構(gòu)。對于固定的懸臂梁尺寸結(jié)構(gòu)，大的應(yīng)變必然帶來大的變形角。但是不同的懸臂梁尺寸，產(chǎn)生相同的主應(yīng)變，變形角也是不同的。因此，對其進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化是最為可行和有效的辦法。

4 懸臂梁結(jié)構(gòu)尺寸的優(yōu)化設(shè)計(jì)

矩形截面懸臂梁末端懸掛加載條件下的變形角公式為[5]：

主應(yīng)變的計(jì)算公式（1式）可以變形為：

則變形角可以表示為：

在同樣的應(yīng)ε變下，要想縮小θ，應(yīng)該增大l，盡量使得l≈L，即應(yīng)變片的粘貼位置盡量靠近懸臂梁的固定端。則式可以變形為：

在應(yīng)變量一定的情況下，增大h或者減小L都可以縮小θ.但是增大h或者減小L都對加載砝碼的質(zhì)量提出了更高的要求，過大的砝碼也會給實(shí)驗(yàn)帶來設(shè)計(jì)上不便。砝碼質(zhì)量計(jì)算公式由（1）式變形為：

因此必須綜合考慮砝碼重量m和懸臂梁結(jié)構(gòu)參數(shù)h、L的大小。

基于表1測量過程采用的懸臂梁材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)，進(jìn)行了增大厚度h，減小長度L的優(yōu)化設(shè)計(jì)和計(jì)算?？紤]到直接測量ΔR的大小，應(yīng)變?nèi)棣牛?×103，懸臂梁寬度取為b＝15mm，鋼的楊氏模量取為E＝1.8×1011Pa，懸臂梁厚度h分別選取1、2、3mm，懸臂梁長度選取為200、150、100mm，變形角計(jì)算采用 （17）式，所需砝碼質(zhì)量和變形角的計(jì)算結(jié)果如表2所示。可以看出，h＝3mm時(shí)，L取值為200、150、100mm時(shí)變形角均較小，但是所需的m 增大到2.07、2.75、4.14kg，質(zhì)量較大，不利于桌面實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。h＝2mm時(shí)，變形角仍然可以接受，L＝100mm時(shí)（h組），砝碼重量需2.86kg，并且懸臂梁較短，砝碼體積較大，影響實(shí)驗(yàn)裝置的設(shè)計(jì)；L＝150mm時(shí)（e組），所需砝碼為1.22kg，變形角4.20°，綜合考慮砝碼重量m和懸臂梁結(jié)構(gòu)參數(shù)h、L的大小，這是一組比較好的組合。

表2 依次加載每50 g砝碼的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

5 結(jié)束語

“懸臂梁微小形變的電測法”實(shí)驗(yàn)是面向理工科學(xué)生的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程的重要內(nèi)容之一。由于課程內(nèi)容的需要，一般忽略砝碼加載后的懸臂梁的變形對測量結(jié)果的影響。因此在保證應(yīng)變量的情況下，必須使得懸臂梁的變形角足夠小，同時(shí)所需加載重量也不應(yīng)太大。在采用最常用的應(yīng)變片（K≈2）以及惠斯通單臂電橋電阻測量分度值一定的情況下（0.001Ω），通過分析計(jì)算，合理的選擇懸臂梁厚度h，和長度L可以控制變形角小于5°，并且所需砝碼的最大重量不足1.5kg，較小的砝碼重量也有利于整個(gè)系統(tǒng)的緊湊設(shè)計(jì)。

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[2]朱基珍，莫濟(jì)成，黃榜彪，等.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2010.

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