劉文吉 宋朝省 洪 英

1.天津工業(yè)大學，天津，300160

2.重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶，400030

0 引言

在齒輪工作過程中，由輪齒受載彈性變形、熱變形、加工誤差等引起的齒輪嚙合沖擊以及由此產(chǎn)生的齒頂刮行，使得齒面潤滑狀態(tài)發(fā)生改變，破壞潤滑油膜，并使齒輪溫度升高，甚至膠合失效。輪齒嚙合沖擊也是齒輪傳動過程中振動與噪聲的主要來源之一［1］。因此齒輪傳動過程中的嚙合沖擊問題受到研究人員的廣泛關(guān)注。姚文席等［1］用解析的方法，研究了直齒輪的誤差、變形、載荷與嚙合沖擊時間、沖擊力的定量關(guān)系。肖利民等［2］研究了通過合理選擇齒輪參數(shù)來降低嚙入沖擊速度以減小傳動噪聲的設(shè)計方法。文獻［3－4］分析了嚙合沖擊與齒輪點蝕破壞之間的關(guān)系。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，有限元理論成為進行齒輪接觸和嚙合沖擊分析的主要手段。楊生華［5］證明了進行齒輪接觸有限元分析的可行性。Taburdagitan等［6］通過有限元分析和實驗，發(fā)現(xiàn)斜齒輪的最大溫升出現(xiàn)在齒頂附近的嚙合線上。唐進元等［7］基于ANSYS／LS－DYNA對單對齒輪嚙合的沖擊過程進行了數(shù)值仿真，得到了較精確的沖擊時間。

在漸開線少齒差行星齒輪傳動實際嚙合過程中，單齒嚙合與雙齒嚙合交替存在，且少齒差內(nèi)嚙合傳動存在明顯的多齒嚙合，因此嚙合過程中各輪齒的受力、變形在單個嚙合周期內(nèi)不斷變化。僅對某一位置進行靜態(tài)輪齒接觸分析不能全面地反映齒輪實際嚙合情況。本文采用ANSYS有限元軟件對存在多齒嚙合效應(yīng)的少齒差內(nèi)嚙合傳動齒輪進行動態(tài)接觸仿真分析，通過對輪齒從進入嚙合到退出嚙合的全過程進行仿真，揭示嚙入、嚙出沖擊對齒面接觸分布及摩擦刮行的影響；通過齒廓修形，使振動和沖擊狀況明顯改善，齒頂滑動摩擦顯著改善。

1 NN型少齒差傳動動態(tài)接觸有限元模型

1.1 嚙入、嚙出沖擊分析

少齒差行星齒輪傳動可以實現(xiàn)大傳動比傳動，是一種典型的行星齒輪傳動形式，由兩個內(nèi)齒輪副組成。圖1是由兩個內(nèi)齒輪副組成的NN型（2K－H型）少齒差行星齒輪傳動的原理圖。

圖1 NN型少齒差行星齒輪減速器結(jié)構(gòu)簡圖

圖2a所示為輪齒嚙入過程，當由于加工誤差或彈性變形使被動輪的實際基節(jié)大于主動輪的實際基節(jié)，即t′j2＞t′j1時，發(fā)生嚙入沖擊。此時齒對Ⅱ在A1點提前進入嚙合，被動齒輪齒頂棱邊撞擊主動輪的根部后，像刀刃一樣在主動輪根部刮行，直至刮行到正常嚙合點為止。刮行過程中實際傳動比小于理論傳動比，存在速度波動。

圖2b所示為輪齒嚙出過程，當主動輪的實際基節(jié)大于從動輪的實際基節(jié)，即t′j2＞t′j1時，發(fā)生嚙出沖擊。此時，雖然齒對Ⅰ已到理論嚙合終點B2，但由于t′j2＞t′j1，齒對Ⅱ之間存在間隙而不能正常進入嚙合。齒對Ⅰ在到達點B2以后于嚙合線之外繼續(xù)保持接觸，直到齒對Ⅱ相互接觸為止，齒對Ⅱ在各自的中部齒面發(fā)生撞擊。在此之前，主動輪的齒頂棱邊在被動輪的根部齒面刮行，刮行過程中實際傳動比大于理論傳動比，存在速度波動。

圖2 嚙入、嚙出分析

1.2 動態(tài)接觸有限元模型

某NN型少齒差減速器的輸出轉(zhuǎn)矩為130 N·m，偏心軸輸入轉(zhuǎn)速為1500r／min，偏心距e＝3.75mm。齒輪的材料為38GrMoAl，采用短齒制直齒輪，參數(shù)見表1。

表1 減速器齒輪參數(shù)

為節(jié)約計算資源，并考慮到多齒嚙合現(xiàn)象，截取齒輪1和2上的4個齒對進行分析，嚙出過程針對第1對齒進行分析，嚙入過程針對第3對或第4對齒進行分析，圖3所示為內(nèi)嚙合齒輪副網(wǎng)格模型。網(wǎng)格模型選用三維實體單元Solid185，根據(jù)齒輪材料定義材料的彈性模量、泊松比以及密度并劃分網(wǎng)格。采用體掃掠方法生成網(wǎng)格，使輪齒上的網(wǎng)格均勻細密而輪體上的網(wǎng)格較粗以節(jié)約計算資源。在相互接觸的齒面間定義接觸對，定義齒面間庫侖摩擦因數(shù)為0.1，其接觸對模型如圖4所示。

圖3 網(wǎng)格模型

圖4 建立接觸對

2 動態(tài)接觸有限元模型求解與仿真

2.1 邊界條件

在輸出內(nèi)齒輪和外齒輪的回轉(zhuǎn)中心建立連接單元（joint element），與齒輪剛性連接，通過連接單元的角加速度波動來反映齒輪的角加速度變化。使用DJ命令，在雙聯(lián)齒輪1的連接單元上加旋轉(zhuǎn)速度，使用FJ命令在輸出內(nèi)齒輪2的連接單元上施加轉(zhuǎn)矩約束。

2.2 算法與求解控制

采用擴增的拉格朗日算法進行求解，求解時間設(shè)定為0.55s。擴增的拉格朗日算法可對罰函數(shù)修正項進行反復迭代，不容易引起病態(tài)條件，對接觸剛度也不像罰函數(shù)法那么敏感。為了避免出現(xiàn)大變形使網(wǎng)格變得過于扭曲而導致收斂性差，給定穿透容差。如果程序發(fā)現(xiàn)滲透大于穿透容差，那么即使力和位移增量已經(jīng)滿足收斂準則，仍然認為總的求解未收斂。

接觸剛度是同時影響計算精度和收斂速度的重要參數(shù)，對于面－面接觸單元，接觸剛度通常指定為基體單元剛度的一個比例因子。由于齒輪嚙合過程中，輪齒變形以彎曲為主，選擇初始接觸剛度因子為0.1。

2.3 結(jié)果分析

通過求解可得到0～0.55s時間內(nèi)齒對各點的接觸應(yīng)力、接觸狀態(tài)、總滑動距離、連接單元的角速度和角加速度等。齒對1在嚙合初始時刻參與嚙合，應(yīng)該在一個嚙合周期0.142s后退出嚙合。因此嚙出過程針對齒對1進行分析，嚙入過程針對齒對3或齒對4進行分析。

2.3.1 嚙出過程分析

圖5所示為齒對1在嚙合過程中不同時刻各接觸面的接觸壓力，圖6～圖8所示分別為齒頂處節(jié)點的接觸狀態(tài)、接觸壓力和滑動距離隨時間的變化曲線。

圖5 嚙出過程中雙聯(lián)齒輪的齒面接觸壓力分布

從圖5可以看出，理論嚙合周期只有0.142s的雙聯(lián)齒輪輪齒，其嚙合過程持續(xù)了0.55s仍然沒有結(jié)束。取雙聯(lián)齒輪齒頂處節(jié)點921進行進一步分析發(fā)現(xiàn)，該節(jié)點在計算開始時刻就進入嚙合，一直保持接觸狀態(tài)到計算結(jié)束時刻（圖6，接觸狀態(tài)為2）；0.55s時間內(nèi)，接觸壓力一直存在（圖7），總的滑動距離一直在增大（圖8）。說明雙聯(lián)齒輪的齒頂在輸出內(nèi)齒輪的齒面上發(fā)生了較長時間的刮行，嚙合過程存在明顯的嚙出沖擊。

圖6 齒頂節(jié)點921的接觸狀態(tài)

圖7 齒頂節(jié)點921的接觸壓力

圖8 齒頂節(jié)點921的滑動距離

2.3.2 嚙入過程分析

通過齒對4分析雙聯(lián)齒輪的嚙入過程。圖9所示為嚙入過程中雙聯(lián)齒輪的齒面接觸壓力分布，齒對4從0.20s時刻開始嚙合。取齒對4雙聯(lián)齒輪齒根處相鄰的3個節(jié)點分別定義為a、b、c，如圖10所示。圖11所示為三個節(jié)點的接觸壓力隨時間變化的曲線，可以看出節(jié)點b比靠近齒根的節(jié)點a稍早一些進入嚙合，說明在嚙入過程中也發(fā)生了輕微的刮行，存在嚙入沖擊。圖12所示為節(jié)點b的接觸狀態(tài)隨時間的變化曲線，發(fā)現(xiàn)節(jié)點b的滑動狀態(tài)持續(xù)時間很短（小于0.1s），刮行并不嚴重。

2.3.3 加速度響應(yīng)分析

嚙入、嚙出沖擊與多齒嚙合效應(yīng)的相互耦合存在使得少齒差內(nèi)嚙合齒輪副時變嚙合剛度以及由此產(chǎn)生的振動響應(yīng)極其復雜。圖13和圖14給出了連接單元角加速度響應(yīng)曲線。由于該連接單元分別與雙聯(lián)齒輪和輸出內(nèi)齒輪剛性連接，因此其角加速度曲線分別反映了雙聯(lián)齒輪和輸出內(nèi)齒輪的角加速度波動規(guī)律。雙聯(lián)齒輪連接單元的角加速度在±500rad／s2之間波動，輸出內(nèi)齒輪連接單元的角加速度在±80rad／s2之間波動。雙聯(lián)齒輪的角加速度大于輸出內(nèi)齒輪的角加速度。

圖9 嚙入過程中雙聯(lián)齒輪的齒面接觸壓力分布

圖10 選擇齒根處的三個節(jié)點

圖11 齒根三個節(jié)點的接觸壓力

圖12 齒根節(jié)點b的接觸狀態(tài)

3 齒廓修形分析

圖13 雙聯(lián)齒輪連接單元的角加速度

圖14 輸出內(nèi)齒輪連接單元的角加速度

多齒嚙合效應(yīng)的存在，使得嚙合重合度遠大于1，因此采用長修形方法對齒廓進行修形設(shè)計；考慮到齒輪圓周速度v?100m／s及加工精度的要求，對雙聯(lián)齒輪輪齒進行齒頂修形，對輸出內(nèi)齒輪進行齒頂?shù)箞A修形，修形結(jié)果如圖15所示。

圖15 修形齒廓

對修形后少齒差內(nèi)嚙合傳動齒輪進行動態(tài)接觸有限元重分析，對其施加與未修形齒輪相同的邊界條件。圖16所示為修形前后雙聯(lián)齒輪齒頂節(jié)點的接觸狀態(tài)隨時間的變化曲線，圖17和圖18所示為修形后雙聯(lián)齒輪和輸出內(nèi)齒輪角加速度響應(yīng)曲線。

圖16 齒頂節(jié)點的接觸狀態(tài)

通過分析修形后齒輪接觸壓力分布圖和齒頂節(jié)點接觸狀態(tài)可知修形后的雙聯(lián)齒輪在0.42s就退出了嚙合，相對于未修形的齒輪，齒頂在被動齒輪的刮行時間明顯縮短。修形后的雙聯(lián)齒輪連接單元的角加速度在±200rad／s2之間波動，相對于未修形齒輪角加速度減小了60%左右；輸出內(nèi)齒輪連接單元的角加速度在±40rad／s2之間波動，相對于未修形齒輪角加速度減小了50%左右，沖擊明顯減輕。這是由于齒頂修形補償了彈性變形造成的基節(jié)誤差，減小了嚙合沖擊。

圖17 修形后雙聯(lián)齒輪連接單元的角加速度

圖18 修形后輸出內(nèi)齒輪連接單元的角加速度

4 結(jié)論

（1）采用動態(tài)接觸有限元法對少齒差內(nèi)嚙合齒輪的嚙合過程進行仿真分析，揭示了輪齒從進入嚙合到退出嚙合的全過程中各節(jié)點的接觸應(yīng)力、接觸狀態(tài)等參數(shù)的動態(tài)變化過程，真實、直觀地反映了輪齒嚙合規(guī)律，尤其適合于存在多齒嚙合效應(yīng)的少齒差內(nèi)嚙合傳動。

（2）對于少齒差內(nèi)嚙合傳動，嚙出沖擊明顯大于嚙入沖擊。在嚙出沖擊過程中，主動齒輪齒頂在被動齒輪齒根發(fā)生較長時間的齒面刮行，是造成齒輪溫升的主要原因之一。

（3）即使采用簡單的齒廓修形，也能夠顯著減輕齒頂刮行，使振動和沖擊狀況明顯改善，齒頂滑動摩擦顯著改善。

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