施榮華，孟秋杰，董 健，郭 迎

（中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083）

自適應(yīng)波束形成廣泛地應(yīng)用于雷達(dá)、系統(tǒng)識(shí)別、聲納和移動(dòng)通信等領(lǐng)域[1－5].MVDR自適應(yīng)波束形成器在保持信號(hào)不變的約束下使噪聲輸出功率最小，具有良好的弱信號(hào)檢測(cè)和高分辨力性能，因此得到廣泛的應(yīng)用.但是由于外部環(huán)境、信源、傳感器陣列等諸多條件的復(fù)雜變化，導(dǎo)致信號(hào)方向向量出現(xiàn)偏差，使傳統(tǒng)的MVDR波束形成算法的性能下降.為了克服各種誤差引起的性能下降，一些學(xué)者近幾十年進(jìn)行了大量研究來(lái)提高自適應(yīng)波束形成的穩(wěn)健性，其中最具代表性的方法有3種：特征空間（ESB）法、線性約束（LCMV）法和對(duì)角加載（LSMI）法.特征空間法[6]具有較快的收斂速度，但它需要準(zhǔn)確估計(jì)信號(hào)子空間維數(shù)，當(dāng)子空間維數(shù)過估計(jì)或欠估計(jì)時(shí)算法失效；線性約束法[7]通過適當(dāng)?shù)募s束條件使得自適應(yīng)波束滿足一定的穩(wěn)健條件，但只適用于觀察方向失配的情況；對(duì)角加載法：文獻(xiàn)[8]對(duì)協(xié)方差矩陣沿其對(duì)角線加一正常數(shù)后再用采樣協(xié)方差矩陣求逆方法求得自適應(yīng)權(quán)值提高自適應(yīng)波束形成器的穩(wěn)健性.由于加載量被固定，不隨期望信號(hào)的信噪比和導(dǎo)向矢量的誤差變化而變化，當(dāng)信噪比增加時(shí)，輸出信干噪比會(huì)明顯惡化.文獻(xiàn)[9]采用最差性能最優(yōu)化思想，提高了波束形成器的魯棒性，但是該算法計(jì)算復(fù)雜度高，不便于工程實(shí)現(xiàn)；文獻(xiàn)[10]采用矩陣錐消方式，通過對(duì)協(xié)方差矩陣點(diǎn)乘一個(gè)給定誤差范圍，提高波束形成器的穩(wěn)健性，但是由于給定的誤差范圍不好控制，效果并不理想.

本文考慮到方向向量最大允許偏差的情況，提出了一種新的基于對(duì)角載入的MVDR自適應(yīng)波束形成算法.由于該算法是在最差性能下的優(yōu)化問題，因此在一定范圍內(nèi)，對(duì)角加載量的大小對(duì)該算法的性能影響不大；同時(shí)在求解過程中進(jìn)行降維處理，避免矩陣求逆，大大地降低運(yùn)算量，便于工程實(shí)現(xiàn).仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提魯棒算法的有效性和可行性.

1 傳統(tǒng)算法描述

1.1 信號(hào)模型

考慮M元各向同性的均勻線陣，陣元間距為d，期望信號(hào)波達(dá)方向?yàn)棣?，有D－1個(gè)干擾源，波達(dá)方向分別為 ｛θ1，θ2，...，θD－1｝，其中，M ＞D .以陣列的第1個(gè)陣元為基準(zhǔn)，各個(gè)窄帶信號(hào)在基準(zhǔn)陣元的復(fù)包絡(luò)分別為s0（t），s1（t），...，sD－1（t），則第l個(gè)陣元端接收的信號(hào)為：

式中：λ為信號(hào)的波長(zhǎng)；nl（t）為第l個(gè)陣元上均值為零、方差為σ2n的白噪聲.天線陣列的接收向量[11]為：

式中：a（θi）為到達(dá)方向?yàn)棣萯的信號(hào)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量.陣列輸出為：

陣列輸出的信干噪比為：

式中：Rs為陣列期望信號(hào)的協(xié)方差矩陣，Ri＋n為干擾和噪聲的協(xié)方差矩陣.

在信號(hào)處理中，為保證期望信號(hào)正常接收，應(yīng)盡量減弱和抑制干擾信號(hào)，即增大系統(tǒng)的輸出信干噪比.在自適應(yīng)陣列天線系統(tǒng)中，通過調(diào)整權(quán)重向量，可使系統(tǒng)的輸出信干噪比達(dá)到最優(yōu)值，即：

式中：σ2s為信號(hào)的功率.式（5）給出了式（4）的輸出信干噪比SINR的上限.

1.2 MVDR波束形成算法

MVDR波束形成器是使噪聲以及來(lái)自非θ方向的任何干擾的功率為最小，但又能保持在觀測(cè)方向θ上的信號(hào)功率不變，其代價(jià)函數(shù)為：

式中：a（θ）為期望信號(hào)的方向向量.令

求式（7）的梯度并令其為零，得到：

解得權(quán)重向量為：

把式（9）代入式（6）的約束條件中，求得：

把式（10）代入式（9）中求出最優(yōu)權(quán)重向量

MVDR算法要求準(zhǔn)確知道信號(hào)的方向向量，而在實(shí)際應(yīng)用環(huán)境中，由于信號(hào)的方向向量存在偏差，這使得自適應(yīng)算法的性能下降，輸出的信干噪比偏離最優(yōu)值.MVDR波束形成器，不能有效地抑制干擾，產(chǎn)生嚴(yán)重的信號(hào)相消現(xiàn)象.

2 魯棒MVDR波束形成算法

針對(duì)信號(hào)的方向向量誤差導(dǎo)致傳統(tǒng)MVDR算法的性能下降，本文提出了基于對(duì)角載入的魯棒MVDR波束形成算法.該算法考慮信號(hào)方向向量的偏差對(duì)MVDR算法性能的影響，通過對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行修正，得到最優(yōu)的權(quán)重向量，有效地抑制了偏差對(duì)輸出性能的影響，具有很強(qiáng)的魯棒性.

假設(shè)信號(hào)方向向量的偏差為Δ，ε為最大偏移量：

那么信號(hào)的實(shí)際方向向量屬于集合：

在觀測(cè)信號(hào)方向上無(wú)失真響應(yīng)的絕對(duì)值不小于1.

把式（14）的不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束[11]的形式可得：

則式（6）可寫為

進(jìn)一步得到代價(jià)函數(shù)為：

對(duì)代價(jià)函數(shù)式（17）的求解，本文將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)最優(yōu)化問題.首先求其子函數(shù)的最大值：

利用拉格朗日方法求得：

將式（19）代入式（18）中得到：

然后求代價(jià)函數(shù)的最小值，代價(jià)函數(shù)式（17）可以重寫為

其中：a（θ）為期望信號(hào)的方向向量.令

其中：λ為拉格朗日因子，對(duì)式（22）求梯度

令其梯度等于零等到最優(yōu)權(quán)向量

權(quán)重向量是通過對(duì)矩陣直接求逆得到的最優(yōu)值，其計(jì)算量會(huì)隨著陣元數(shù)目和采樣數(shù)目的增加而劇增.本文采用遞推算法，避免矩陣直接求逆，將計(jì)算復(fù)雜度從多維降到一維.利用式（17）得到基于對(duì)角載入的魯棒MVDR算法的遞推公式為

其中：μ為步長(zhǎng)因子，將式（25）代入式（21）的約束條件，得到：

通過求解式（26）得到拉格朗日因子λ為：

代入求得最優(yōu)權(quán)向量公式為：

其中：

從式（28）中可見，最優(yōu)權(quán)向量的計(jì)算復(fù)雜度為一維，便于工程實(shí)現(xiàn).

3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)考慮10個(gè)陣元的等距線陣，陣元間距為半個(gè)波長(zhǎng)，采樣次數(shù)為4 096，對(duì)于每一點(diǎn)都分別進(jìn)行100次的仿真實(shí)驗(yàn).假設(shè)期望信號(hào)的波達(dá)方向?yàn)?°，兩個(gè)干擾源的波達(dá)方向分別為30°和50°.

實(shí)驗(yàn)一 陣列方向圖的比較

設(shè)仿真條件為：SNR＝10dB，對(duì)角載入因子為ε＝2，信號(hào)的實(shí)際波達(dá)方向?yàn)?°，即偏差為2°.圖1給出了方向向量無(wú)偏差情況下兩種算法在信號(hào)波達(dá)方向上形成的陣列方向圖.圖中垂直的點(diǎn)劃線表明了信號(hào)的實(shí)際波達(dá)方向.從圖1中可以看出，本文算法在期望信號(hào)處形成了很高的增益，達(dá)到了提取有用信號(hào)的目的.圖2給出了方向向量存在偏差時(shí)的陣列方向圖，為了便于觀察，仿真時(shí)將本文算法的輸出曲線垂直下移.從圖2中可以看出，傳統(tǒng)MVDR算法在有用信號(hào)處形成零陷，而本文所提的算法在存在偏差的情況下也有很強(qiáng)的增益，避免了信號(hào)相消現(xiàn)象，對(duì)信號(hào)方向向量偏差的敏感度較低，具有很好的魯棒性.

在工程實(shí)現(xiàn)中，方向向量最大允許偏差的值一般不會(huì)超過2°，本文選取2°偏差進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果說(shuō)明該算法具有很好的輸出性能，因此該算法具有一定的適用性.

圖1 兩種算法陣列方向圖（無(wú)偏差）Fig.1 Array pattern of the two algorithms（no deviation）

圖2 兩種算法陣列方向圖（2°偏差）Fig.2 Array pattern of the two algorithms（2°deviation）

實(shí)驗(yàn)二 輸出信干噪比SINR的比較

設(shè)仿真條件為：信噪比SNR＝10dB，信號(hào)的實(shí)際波達(dá)方向?yàn)?°，即偏差為2°.圖3給出了無(wú)偏差情況下陣列輸出的信干噪比SINR隨采樣數(shù)目的變化曲線.圖4給出了存在2°偏差的情況下陣列輸出的信干噪比SINR隨采樣數(shù)目的變化曲線.

從本實(shí)驗(yàn)中可以看出，與傳統(tǒng)的MVDR算法相比，本文所提的算法對(duì)信號(hào)方向向量的偏差具有很強(qiáng)的魯棒性，輸出的信干噪比SINR要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的MVDR算法.

圖3 陣列輸出的信干噪比（無(wú)偏差）Fig.3 Output SINR of the two algorithms（no deviation）

圖4 陣列輸出的信干噪比（2°偏差）Fig.4 Output SINR of the two algorithms（2°deviation）

實(shí)驗(yàn)三 不同對(duì)角載入因子的比較

設(shè)仿真條件為：信噪比SNR＝10dB，信號(hào)的實(shí)際波達(dá)方向?yàn)?°，即偏差為2°.圖5給出了ε＝2和ε＝4兩種不同對(duì)角載入因子情況下所提算法的陣列方向圖，圖6給出了對(duì)角載入因子分別為ε＝2和ε＝1.5情況下所提算法的陣列方向圖.

綜合圖5和圖6可以看出，本文算法在選取不同對(duì)角載入因子ε＝1.5，ε＝2，ε＝4時(shí)，對(duì)于方向向量偏差均具有較強(qiáng)的魯棒性；這說(shuō)明，在一定范圍內(nèi)對(duì)角載入因子的不同取值對(duì)本文算法的性能影響不大.

圖5 對(duì)角載入因子ε＝2和ε＝4Fig.5 Array pattern of the diagonal factor between 2and 4

圖6 對(duì)角載入因子ε＝2和ε＝1.5Fig.6 Array pattern of the diagonal factor between 2and 1.5

4 結(jié) 論

針對(duì)方向向量存在偏差時(shí)所導(dǎo)致傳統(tǒng)MVDR波束形成器性能急劇下降的問題，本文提出了一種基于對(duì)角載入的魯棒MVDR波束形成算法.該算法對(duì)協(xié)方差矩陣的估計(jì)誤差進(jìn)行約束，提高了算法的穩(wěn)健性；在求解過程中進(jìn)行降維處理，降低了計(jì)算量，易于實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn).該算法有效地抑制了方向向量偏差對(duì)MVDR波束形成器輸出性能的影響，具有較強(qiáng)的魯棒性.仿真實(shí)驗(yàn)表明：與傳統(tǒng)MVDR算法相比，所提算法具有更好的輸出性能，在一定范圍內(nèi)對(duì)角載入因子的取值對(duì)所提算法的性能影響不大.

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