劉 磊，宣 言，孫加林

(中國(guó)鐵道科學(xué)研究院鐵道科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展中心，北京 100081)

導(dǎo)納指的是在單位力激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，其倒數(shù)定義為阻抗，表現(xiàn)形式有位移導(dǎo)納、速度導(dǎo)納和加速度導(dǎo)納。鋼軌導(dǎo)納是輪軌表面粗糙度激勵(lì)引起輪軌系統(tǒng)響應(yīng)的決定性因素，是進(jìn)一步研究軌道振動(dòng)噪聲的基礎(chǔ)。

在鋼軌導(dǎo)納研究中，普遍采用兩種形式的梁模型，即Euler梁和Timoshenko梁模型。Remington將鋼軌看作單層彈性基礎(chǔ)上連續(xù)支撐的Euler梁計(jì)算鋼軌導(dǎo)納，所得結(jié)果高頻成分與實(shí)測(cè)差異較大［1-2］。Thompson在Remington模型基礎(chǔ)上，將鋼軌模型進(jìn)行擴(kuò)展，采用多層梁模型取代了單層梁模型，得到了較好的結(jié)果［3-4］。翟婉明通過求解軌道振動(dòng)微分方程，給出了軌道阻抗的理論解析解［5］。魏偉、翟婉明建立了適合軌道高頻振動(dòng)導(dǎo)納分析的有限元模型，利用該模型很好地預(yù)測(cè)了軌道結(jié)構(gòu)共振［6］。雷曉燕和圣小珍采用多自由度振動(dòng)體系計(jì)算了輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌的豎向阻抗［7］。Euler梁考慮鋼軌的彎曲變形而不考慮其剪切變形。Timoshenko梁引入了梁的剪切應(yīng)變，并考慮梁的旋轉(zhuǎn)慣性，從而使梁的受力分析更加完整。

本文利用大型通用有限元軟件Ansys，分別建立Euler梁和Timoshenko梁鋼軌導(dǎo)納分析多層梁模型，采用完全法計(jì)算軌道結(jié)構(gòu)在單位力激勵(lì)下的頻率響應(yīng)，求解鋼軌導(dǎo)納。

1 鋼軌導(dǎo)納分析模型

圖1 鋼軌位移導(dǎo)納分析模型

模型采用雙層連續(xù)彈性點(diǎn)支撐模型，建立30 m軌道結(jié)構(gòu)模型，扣件間距0.6 m，如圖1所示。其中鋼軌采用梁?jiǎn)卧?，扣件系統(tǒng)簡(jiǎn)化為彈簧阻尼單元Combine14，軌枕采用集中質(zhì)量單元Mass21，軌枕與道床之間再加入一個(gè)Combine14單元來模擬兩者之間的剛度和阻尼。

Combine14單元具有軸向的彈簧—阻尼器選項(xiàng)，是一維的拉伸或壓縮單元。鋼軌分別采用Beam3梁?jiǎn)卧虰eam188梁?jiǎn)卧M。Beam3單元是一種可承受拉、壓、彎作用的單軸單元，可用Beam3單元來表示Euler梁。Beam188單元基于Timoshenko梁理論，是三維線形梁?jiǎn)卧?，可以考慮剪切變形的影響。

［8］和文獻(xiàn)［9］，模型參數(shù)如下:鋼軌材料楊氏模量E=2.06×1011N/m2，泊松比μ=0.3，材料密度ρ=7 800 kg/m3，阻尼系數(shù)0.02;60 kg/m鋼軌截面面積 A=77.45×10－4m2，鋼軌高度0.176 m，對(duì)水平軸慣性矩I=3 217×10－8m4;扣件系統(tǒng)剛度kp=1.2×108N/m，阻尼 cp=7.5×104N·s/m;半根軌枕質(zhì)量m=125 kg。道床系統(tǒng)剛度kb=1.1×108MPa，阻尼cb=5.88×104N·s/m。

2 采用完全法求解鋼軌導(dǎo)納

采用完全法進(jìn)行頻率響應(yīng)分析，通過用復(fù)數(shù)代數(shù)

3 計(jì)算結(jié)果分析

算法求解一系列耦合的矩陣方程，計(jì)算單位力激勵(lì)下軌道結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)。在簡(jiǎn)諧激勵(lì)荷載作用下，動(dòng)力學(xué)方程如下

式中，［M］為質(zhì)量矩陣，［C］為阻尼矩陣，［K］為剛度矩陣。

方程的解可寫成如下形式

式中，u?(ω)為位移向量，將式(2)代入式(1)可得

當(dāng)結(jié)構(gòu)受單位荷載作用時(shí)，得到軌道結(jié)構(gòu)的位移導(dǎo)納

在Ansys分析中，采用Block Lanczos法提取了鋼軌的前50階模態(tài)，表1列出了鋼軌前10階模態(tài)。

通過觀察鋼軌振動(dòng)模態(tài)，可以看出鋼軌振型主要有縱向振動(dòng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)、橫向振動(dòng)和垂向彎曲振動(dòng)。當(dāng)列車通過時(shí)，鋼軌的垂向彎曲振動(dòng)要比其它振動(dòng)大得多，是影響鋼軌位移導(dǎo)納的主要因素，提取前10階振動(dòng)模態(tài)中垂向彎曲振動(dòng)的固有頻率及振型如圖2所示。

表1 鋼軌前10階模態(tài)固有頻率和振型

圖2 鋼軌垂向彎曲振動(dòng)固有頻率及振型

分別采用Euler梁和Timoshenko梁建立計(jì)算模型，在模型中心位置處施加單位簡(jiǎn)諧荷載，采用完全法求解鋼軌位移導(dǎo)納，分析的頻率范圍為0～5 000 Hz，步長(zhǎng)為50 Hz，計(jì)算得到的鋼軌位移導(dǎo)納頻率響應(yīng)曲線如圖3所示。

由圖3可以看出，在振動(dòng)頻率1 500 Hz以內(nèi)，采用Timoshenko梁和Euler梁模型的鋼軌位移導(dǎo)納計(jì)算結(jié)果基本一致，也與模態(tài)分析結(jié)果相符合，如表2所示。表2為鋼軌模態(tài)固有頻率與兩種梁模型計(jì)算的鋼軌位移導(dǎo)納峰值頻率對(duì)比。最大峰值發(fā)生在1 250 Hz左右，鋼軌位移導(dǎo)納最大幅值由Timoshenko梁計(jì)算為4.19×10－8m/N，Euler梁計(jì)算結(jié)果為 3.24 ×10－8m/N，Timoshenko梁計(jì)算結(jié)果略大于Euler梁。當(dāng)振動(dòng)頻率在1 500 Hz以上時(shí)，Euler梁計(jì)算導(dǎo)納幅值隨頻率的增高而減小，Timoshenko梁模型則仍能較好反映導(dǎo)納的峰—峰值變化規(guī)律。因此，在計(jì)算鋼軌位移導(dǎo)納時(shí)，分析頻率在1 500 Hz以下時(shí)，兩種模型差別不大;當(dāng)計(jì)算頻率在1 500 Hz以上時(shí)宜采用Timoshenko梁模型。

求解得到鋼軌位移導(dǎo)納HD(ω)，求導(dǎo)即可得到相應(yīng)的速度導(dǎo)納為

圖3 鋼軌垂向位移導(dǎo)納

表2 振動(dòng)模態(tài)頻率與導(dǎo)納峰值頻率對(duì)比

對(duì)式(5)繼續(xù)求導(dǎo)即可得到加速度導(dǎo)納

由Timoshenko梁模型計(jì)算得到的鋼軌速度導(dǎo)納和加速度導(dǎo)納如圖4所示。速度導(dǎo)納和加速度導(dǎo)納最大峰值頻率均為1 250 Hz，速度導(dǎo)納最大值為5.24×10－5m/s/N，加速度導(dǎo)納最大值為6.55×10－2m/s2/N。頻響曲線的峰值點(diǎn)與固有頻率一一對(duì)應(yīng)，且在1 250 Hz時(shí)發(fā)生Pinned-pinned振動(dòng)，即支撐于兩扣件節(jié)點(diǎn)之間的鋼軌受到激勵(lì)后產(chǎn)生縱向機(jī)械波，其駐波點(diǎn)剛好在兩節(jié)點(diǎn)支撐處。

圖4 鋼軌速度導(dǎo)納和加速度導(dǎo)納

4 結(jié)論

1)計(jì)算鋼軌導(dǎo)納時(shí)，在1 500 Hz以內(nèi)Timoshenko梁和Euler梁模型計(jì)算差別不大;當(dāng)頻率高于1 500 Hz時(shí)，Timoshenko梁模型能夠較好地反應(yīng)振動(dòng)的高頻成分。Timoshenko梁模型引入了梁的剪切應(yīng)變，并考慮梁的旋轉(zhuǎn)慣性，從而使梁的受力分析更加完整。

2)鋼軌振型有縱向振動(dòng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)、橫向振動(dòng)和垂向彎曲振動(dòng)。采用Timoshenko梁模型計(jì)算的前4個(gè)垂向位移導(dǎo)納峰值頻率依次為450 Hz、700 Hz、1 000 Hz和1 250 Hz，與模態(tài)分析結(jié)果基本一致。

3)采用Timoshenko梁模型計(jì)算的鋼軌導(dǎo)納最大峰值頻率為1 250 Hz，位移導(dǎo)納、速度導(dǎo)納、加速度導(dǎo)納峰值依次為4.19×10－8m/N、5.24 ×10－5m/s/N 和 6.55 ×10－2m/s2/N。頻響曲線的峰值點(diǎn)與固有頻率一一對(duì)應(yīng)，且在1 250 Hz時(shí)發(fā)生Pinned-pinned振動(dòng)。

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