楊利軍，胡用生，孫麗霞

（同濟(jì)大學(xué) 汽車學(xué)院，上海200092）

城市軌道交通與其他城市公共交通工具相比，具有運(yùn)量大、安全舒適、快速環(huán)保、能源消耗少等優(yōu)點(diǎn)，但由于城市軌道交通運(yùn)量大，總耗電量仍相當(dāng)大.根據(jù)軌道交通運(yùn)營數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，車輛牽引用電占城市軌道交通用電量的50%以上，因此如何最大限度地優(yōu)化列車的運(yùn)營條件，降低能耗，成為各位專家學(xué)者重點(diǎn)研究的課題.南澳大利亞大學(xué)Howlett教授從20世紀(jì)90年代始，在節(jié)能運(yùn)行優(yōu)化理論方面進(jìn)行了大量研究，并對(duì)干線機(jī)車／貨車控制轉(zhuǎn)換點(diǎn)以及坡道對(duì)操縱性能影響，進(jìn)行了詳細(xì)闡述［1－4］.國內(nèi)方面，文獻(xiàn)［5－7］從列車的操縱方法上進(jìn)行了節(jié)能優(yōu)化研究.由于城市軌道交通具有站間距短，坡度大，曲線半徑小等特點(diǎn)，研究方法上有一定的特殊性.文獻(xiàn)［8］根據(jù)這些特點(diǎn)，提出了適用于城市軌道交通的牽引控制算法.文獻(xiàn)［9－16］從線路節(jié)能坡角度提出了節(jié)能概念并進(jìn)行了探討.

建立了多質(zhì)點(diǎn)牽引計(jì)算模型，采用目標(biāo)速度逼近算法求取牽引力撤除時(shí)間，既滿足旅行速度又降低了運(yùn)行能耗.提出了基于三角函數(shù)法設(shè)計(jì)節(jié)能線路縱斷面豎曲線的設(shè)計(jì)方法，通過對(duì)線路坡度、坡長等參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，改變了列車的受力條件，實(shí)現(xiàn)勢能和動(dòng)能的合理轉(zhuǎn)化，同時(shí)和列車的運(yùn)行操縱相匹配，達(dá)到了優(yōu)化節(jié)能的目的.

1 牽引計(jì)算模型

牽引計(jì)算采用多質(zhì)點(diǎn)列車模型.由于考慮了列車的長度，在列車經(jīng)過變坡點(diǎn)及變曲線點(diǎn)時(shí)，比單質(zhì)點(diǎn)模型具有更高的計(jì)算精度.

1.1 列車多質(zhì)點(diǎn)模型介紹

多質(zhì)點(diǎn)模型以質(zhì)點(diǎn)鏈來描述列車的受力狀態(tài)，每一輛車視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，整列車是由多個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)鏈.將質(zhì)點(diǎn)間的聯(lián)系視為剛性連接，整列車的運(yùn)行狀態(tài)取決于其受到的合力.多質(zhì)點(diǎn)模型考慮了列車長度以后，可以計(jì)算車輛之間的相互作用力以及列車經(jīng)過變坡段和曲線段時(shí)受力的實(shí)時(shí)變化情況.

1.2 變坡段列車受力分析

列車在變坡段受到附加阻力變化見圖1.由圖可知，當(dāng)多質(zhì)點(diǎn)列車經(jīng)過線路變坡段時(shí)，由于各質(zhì)點(diǎn)車輛C（m）在線路各點(diǎn)所處的位置不同，因此前后各車輛附加阻力也不同.

圖1 列車在變坡段的附加阻力變化示意圖Fig.1 Additional resistance on slope changeover section

每步計(jì)算時(shí)，先判斷各質(zhì)點(diǎn)車輛C（m）在線路上所處的位置及其對(duì)應(yīng)的坡度（i），求出每節(jié)車輛上作用的坡道阻力G（m）＝mg×i，（mg為質(zhì)點(diǎn)車輛的質(zhì)量），最后得到列車的坡道附加阻力G，即

式中，N為列車包含的車輛數(shù).

1.3 變曲率段列車受力分析

如圖2所示，曲線段線路由直線段、緩和曲線段和圓曲線段組成［17］.不同區(qū)段上的曲率不同，直線段曲率為0，圓曲線段曲率為常數(shù)1／R.而在緩和曲線段上，曲率是變化的.假設(shè)緩和曲線的前半段為上凹拋物線（頂點(diǎn)在下）；后半段為下凹拋物線（頂點(diǎn)在上），緩和曲線（進(jìn)／出）曲率沿軌道展開距離的函數(shù)表達(dá)式為

式中：T為直線段長度；S為緩和曲線（進(jìn)）長度；C為圓曲線長度；E為緩和曲線（出）長度；D＝T＋S＋C

當(dāng)多質(zhì)點(diǎn)列車進(jìn)入曲線時(shí)，由于不同位置對(duì)應(yīng)的曲率不同，各質(zhì)點(diǎn)車輛C（m）在線路各點(diǎn)所受的附加阻力也是不同的，R（m）＝mg×700／R.列車的坡道附加阻力R為各質(zhì)點(diǎn)車輛附加阻力之和，如

圖2 曲率隨直線、緩和曲線、圓曲線變化關(guān)系Fig.2 Curvature on straight line，transition curve and circular curve

1.4 列車運(yùn)行基本阻力

基本阻力是列車運(yùn)行時(shí)與外界相互作用引起的阻力，如軸承摩擦阻力，輪軌相對(duì)運(yùn)動(dòng)阻力、空氣阻力等.本文采用的阻力公式為修正了的戴維斯公式，為

式中：W（v）為列車基本阻力；M為列車重量；v為列車速度；n為軸數(shù)；N為車輛數(shù)；A為列車前端面積.

1.5 牽引計(jì)算方法

對(duì)于多質(zhì)點(diǎn)模型，列車牽引計(jì)算公式為

式中：γ為列車回轉(zhuǎn)質(zhì)量系數(shù)；a為列車加速度；F（v）為列車牽引力，根據(jù)牽引特性曲線，采用插值法獲得.

列車啟動(dòng)加速階段牽引計(jì)算遞推公式為

式中：S為列車運(yùn)行距離；Δt為計(jì)算步長.

列車惰行時(shí)，牽引力F（v）去除，列車在阻力作用下運(yùn)行.制動(dòng)時(shí)，列車施加和運(yùn)行方向相反的制動(dòng)力b（v），使列車減速停車.

2 節(jié)能線路與節(jié)能操縱模式

2.1 節(jié)能運(yùn)行原理

節(jié)能線路和節(jié)能運(yùn)行模式的主要目標(biāo)是通過線路設(shè)計(jì)和列車操縱方式，使列車運(yùn)營所花費(fèi)的能量最小，可以通過最優(yōu)控制理論中的極小值原理來描述.

式中：狀態(tài)矢量x（t）是n維分段光滑函數(shù)，控制矢量u（t）是m維分段連續(xù)函數(shù)，受式（10）約束.存在滿足上述條件的最優(yōu)控制矢量u＊（t），使以下性能指標(biāo)泛函達(dá)到極小.

引入純量函數(shù)H［x（t），u（t），λ（t），t］，定義為哈米爾登函數(shù).

式中，λT（t）＝［λ1（t），λ2（t），…，λn（t）］為協(xié)狀態(tài)矢量.

根據(jù)極小值原理，如果u＊（t）是最優(yōu)控制，必然使哈米爾登函數(shù)沿著最優(yōu)軌線達(dá)到極小.或者反過來說，使哈米爾登函數(shù)達(dá)到最小的控制就是最優(yōu)控制.

線路縱斷面設(shè)計(jì)時(shí)，可采用二維控制模型，分析求解能耗最小的列車運(yùn)行方式.設(shè)兩站間距為SR，根據(jù)式（6），建立列車的運(yùn)行狀態(tài)系統(tǒng)方程，如

式中：v為列車運(yùn)行速度；s，h為列車質(zhì)心坐標(biāo)；fm（v）為即時(shí)速度最大單位牽引力；w0（v）為列車單位基本運(yùn)行阻力；im為最大允許坡度；tRR為單位曲線阻力；u1＝i／im為坡度控制變量；u2＝f／fm為列車運(yùn)行控制變量.控制變量滿足以下約束條件

式中，uB為最大制動(dòng)力與最大牽引力之比，uB＝bm／fm，bm（v）為最大單位制動(dòng)力.

狀態(tài)方程滿足以下邊界條件

建立能耗最小的目標(biāo)函數(shù)

式中，T為區(qū)間運(yùn)行時(shí)分.

根據(jù)龐特里雅金最小值原理，u1、u2必須使哈密爾頓函數(shù)最小，為便于求解，將哈密爾頓函數(shù)改寫，即等效于求式（17）的最大值.

式中，λi為協(xié)狀態(tài)矢量.

由式（14）和式（17），當(dāng)哈密爾頓函數(shù)達(dá)到最大值時(shí)，控制變量u1和u2需按照下述條件取值

由式（18）可知，要滿足能耗最小的運(yùn)行要求，坡道最優(yōu)控制由最大下坡道、過渡坡道和最大上坡道組成，即線路最佳斷面形式為凹形縱斷面.在坡道軌跡形狀確定后，可通過設(shè)定合理的坡道轉(zhuǎn)換點(diǎn)（坡道長度和坡度）來降低能耗.由式（19）可知，列車運(yùn)行最優(yōu)控制為最大牽引、恒速、惰行和最大制動(dòng)組成.牽引能耗主要發(fā)生在列車出站牽引區(qū)段，要使列車在較小的能耗條件下盡快加速到恒速區(qū)段，可以利用節(jié)能坡進(jìn)行輔助加速.根據(jù)不同坡度和坡長，并結(jié)合列車的實(shí)際載重條件，選定最佳的牽引力施加和撤除時(shí)間轉(zhuǎn)換點(diǎn)，以達(dá)到以低能耗滿足運(yùn)營需求的目的.

2.2 節(jié)能線路縱斷面的豎曲線設(shè)計(jì)方法

線路節(jié)能設(shè)計(jì)要合理選擇車站區(qū)間坡度及坡長，使車輛在出站時(shí)通過區(qū)間下坡迅速地將重力勢能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，在盡可能少耗費(fèi)牽引電能的情況下，獲得列車運(yùn)行所需要的加速度和目標(biāo)速度［14，16］；車輛進(jìn)站之前通過站前上坡將車輛動(dòng)能轉(zhuǎn)化為勢能，降低列車制動(dòng)前的速度，縮短制動(dòng)時(shí)間，盡量減少制動(dòng)能耗.

提出的節(jié)能線路綜合考慮了牽引節(jié)能操作序列和節(jié)能線路縱斷面設(shè)計(jì)原則，將節(jié)能線路分為5個(gè)區(qū)段，依次為“牽引出坡坡段—惰行下坡坡段—?jiǎng)蛩龠\(yùn)行段—惰行上坡坡段—制動(dòng)進(jìn)站坡段”，見圖3.列車在整條線路上的運(yùn)行過程與列車牽引節(jié)能的操作思想相吻合.

圖3 節(jié)能坡區(qū)間分段示意圖Fig.3 Energy conservation section

線路縱斷面設(shè)計(jì)采用坡度漸變的正、余弦三角函數(shù)形狀坡段，將站臺(tái)與勻速段有效連接起來.這種設(shè)計(jì)可以使節(jié)能坡道盡量靠近車站，豎曲線頭貼近站臺(tái)端部，發(fā)揮最大節(jié)能效果.和豎曲線－直線坡道連接方式相比，銜接更為緊密，過渡更為平緩.列車在線路上運(yùn)行時(shí)位置坐標(biāo)如

式中：H為坡道高度；L為坡道長度；Sp為列車運(yùn)行起始點(diǎn)與下坡點(diǎn)距離；SR為站間距；S為列車運(yùn)行位置線路橫坐標(biāo)；ydown和yup為下坡段和上坡段列車位置縱坐標(biāo).

下坡段和上坡段各點(diǎn)坡度為位置坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)，即y′down和y′up.

3 節(jié)能仿真算法

3.1 目標(biāo)逼近算法

根據(jù)前面提到的牽引控制策略，列車啟動(dòng)出站后，先采用最大牽引力牽引出坡至圖3中A點(diǎn)位置，然后從A點(diǎn)惰行到坡底勻速臨界點(diǎn)B.之后以速度Vmax勻速運(yùn)行至C點(diǎn)后，改惰行上坡，D點(diǎn)位置開始施加制動(dòng)停車.

縱觀整個(gè)區(qū)間運(yùn)行，工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)A點(diǎn)位置的選取至關(guān)重要，直接關(guān)系到列車的運(yùn)行能耗.采用目標(biāo)速度逼近算法來精確確定A點(diǎn)的位置.

首先設(shè)定B點(diǎn)所要達(dá)到的最大速度Vmax，BC段的速度即為Vmax.然后，采用反推法，以Vmax為初速度逆著AB方向上坡，直到找到牽引工況和惰行工況的轉(zhuǎn)換點(diǎn)A為止.

Vmax的確定受到整個(gè)運(yùn)行過程所要達(dá)到的平均速度Vn（也稱技術(shù)速度）約束，Vn的值是根據(jù)運(yùn)營需求事先確定的.Vmax與Vn之間是非線性關(guān)系，采用牛頓法求解.

首先，假定Vn＝F（Vmax），根據(jù)全微分概念，得離散化的表達(dá)式

式中：（Vmax）n為第n次迭代的最大速度；（Vn）n為第n次迭代的平均速度.先給（Vmax）0設(shè)定一個(gè)初始值，經(jīng)過計(jì)算和反復(fù)迭代，便可以向目標(biāo)值Vn逼近.同理，給定運(yùn)營要求的Vn，經(jīng)過反迭代，可以求出B點(diǎn)所需的Vmax，從而求出轉(zhuǎn)換點(diǎn)A所處的位置.

列車以速度Vmax勻速運(yùn)行至C點(diǎn)后，改惰行上坡，制動(dòng)臨界點(diǎn)D的選取與A點(diǎn)的選取方法一致，采取從進(jìn)站點(diǎn)開始以0為初速反向運(yùn)行的方法逼近.

3.2 計(jì)算流程

線路運(yùn)行情況模擬通過列車牽引仿真軟件來實(shí)現(xiàn)，目標(biāo)速度逼近算法計(jì)算流程見圖4.

圖4 目標(biāo)速度逼近計(jì)算流程Fig.4 Target velocity approaching arithmetic

4 仿真案例

選取上海市軌道交通八號(hào)線“延吉中路站——黃興路站”進(jìn)行節(jié)能線路縱斷面設(shè)計(jì)分析計(jì)算，該段線路為地下線，兩站的站間距為1.31km，高差很小，可以視為等高.圖5為兩站之間的縱斷面示意圖.

圖5 縱斷面示意圖（坡長單位為m，坡度單位為‰）Fig.5 Longitudinal section of track profile（slope length m，gradient‰）

由于節(jié)能線路設(shè)計(jì)與列車編組、車輛性能和最大運(yùn)行速度等有關(guān).列車取6節(jié)編組，動(dòng)拖比為2：1，采用AW2工況，列車重量為287.6t.動(dòng)車及拖車車長均按19.5m計(jì)，整列車長117.0m，站臺(tái)長取為140.0m.

根據(jù)仿真計(jì)算，在延吉中路站到黃興路站實(shí)際線路的計(jì)算能耗為12.86kW·h，運(yùn)行時(shí)間為1.67 min，技術(shù)速度可達(dá)47.2km·h－1.于是，整個(gè)運(yùn)行過程所要達(dá)到的技術(shù)速度Vn選取為47.2km·h－1，若停站時(shí)間為25s，則列車在該技術(shù)速度下的旅行速度為37.7km·h－1.考慮到地鐵車輛不小于35km·h－1的旅行速度要求，給出了旅行速度恰為35km·h－1（技術(shù)速度為43km·h－1）時(shí)的運(yùn)行能耗進(jìn)行對(duì)比.

將節(jié)能坡參數(shù)代入仿真軟件進(jìn)行計(jì)算，列車在技術(shù)速度為43和47.2km·h－1，不同縱斷面節(jié)能線路的運(yùn)行能耗見圖6.其中最大坡度imax‰值為10‰、13‰、15‰、18‰、20‰、23‰、25‰、27‰、30‰，坡長取值200～500m.當(dāng)技術(shù)速度為47.2 km·h－1時(shí)，圖中大部分坡長及坡度組合的能耗都小于12.86kW·h，可見，該節(jié)能坡具有明顯的節(jié)能效果.

技術(shù)速度為47.2km·h－1時(shí)，坡長L＝500m，最大坡度imax＝30‰和坡長L＝200m，最大坡度imax＝10‰兩端線路進(jìn)行對(duì)比分析，列車的運(yùn)行情況見圖7.

由圖可知，L＝500m，imax＝30‰時(shí)，列車出坡牽引至圖示A點(diǎn)即改為惰行，列車在圖7a的AB段上處于惰行工況，利用節(jié)能坡將勢能轉(zhuǎn)化為坡底的動(dòng)能，列車開始制動(dòng)的初速為40km·h－1，節(jié)約能耗為9.69kW·h.而當(dāng)L＝200m，imax＝10‰時(shí)，由于節(jié)能坡道短，坡度小，列車為了達(dá)到技術(shù)速度要求，在整個(gè)節(jié)能坡段幾乎處于牽引工況，惰行工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)A和下坡勻速臨界點(diǎn)B幾乎重合，不經(jīng)惰行工況轉(zhuǎn)化即進(jìn)入勻速坡，幾乎沒有發(fā)揮節(jié)能坡的作用，列車開始制動(dòng)的初速為54km·h－1，因此能耗較大，為13.85kW·h.

綜合分析以上列車在不同技術(shù)速度下的運(yùn)行能耗，可以得出以下結(jié)論：

（1）在給定的坡長及坡度范圍內(nèi)，坡長一定時(shí)，隨著坡度的增加，能耗逐漸減少；當(dāng)最大坡度一定時(shí)，能耗隨坡長的增加同樣呈現(xiàn)降低的趨勢.

（2）技術(shù)速度從43km·h－1增大至47.2km·h－1時(shí)，能耗增加了26.6%～31.76%，節(jié)能坡的合理長度與坡度和列車運(yùn)行的目標(biāo)技術(shù)速度有關(guān).

（3）節(jié)能坡的坡度和坡長設(shè)置，需要和列車的牽引性能綜合起來考慮.在線路設(shè)計(jì)時(shí)，通過牽引仿真程序，對(duì)各種線路工況和列車配置進(jìn)行計(jì)算，在滿足運(yùn)營要求條件下，選擇合理的坡度和坡長，充分發(fā)揮節(jié)能坡輔助牽引作用，以降低車輛的配置成本和能耗，提高經(jīng)濟(jì)效益.

5 結(jié)語

通過對(duì)上海市軌道交通八號(hào)線“延吉中路站——黃興路站”進(jìn)行的節(jié)能線路運(yùn)行能耗計(jì)算，驗(yàn)證了節(jié)能線路縱斷面的豎曲線設(shè)計(jì)方法和牽引仿真軟件的有效性.節(jié)能線路坡段長度和坡度需根據(jù)列車編組、車輛加減速性能、列車最大運(yùn)行速度等進(jìn)行設(shè)置.節(jié)能坡優(yōu)化設(shè)計(jì)和列車牽引動(dòng)力配置相結(jié)合，可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)優(yōu)化配置，有利于軌道交通系統(tǒng)的可持續(xù)發(fā)展.

［1］Chen J，Howlett P.A note on the calculation of optimal strategies for the minimization of fuel consumption in the control of trains［J］.Transactions on Automatic Control，1993，38（11）：1730.

［2］Howlett P.Optimal strategies for the control of a train［J］.Automatica，1996，32（4）：519.

［3］Howlett P.The optimal control of a train［J］.Annals of Operations Research，2000（98）：65.

［4］Howlett P，Pudney P J，Vu Xuan.Local energy minimization in optimal train control［J］.Automatica，2009（45）：2692.

［5］金煒東，王自力，李崇維，等.列車節(jié)能操縱優(yōu)化方法研究［J］.鐵道學(xué)報(bào)，1997（06）：59.JIN Weidong，WANG Zili，LI Chongwei，et al.Study on optimization method of train operation for saving energy［J］.Journal of the China Railway Society，1997（06）：59.

［6］丁勇，毛保華，劉海東，等.定時(shí)約束條件下列車節(jié)能操縱的仿真算法研究［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2004（10）：2241.DING Yong，MAO Baohua，LIU Haidong，et al.An algorithm for energy－efficient train operation simulation with fixed running time［J］.Journal of System Simulation，2004（10）：2241.

［7］劉海東，毛保華，丁勇，等.列車自動(dòng)駕駛仿真系統(tǒng)算法及其實(shí)施研究［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2005（3）：577.LIU Haidong，MAO Baohua，DING Yong，et al.A study on simulation algorithm and operation of automatic train operation［J］.Journal of System Simulation，2005（3）：577.

［8］石紅國，彭其淵，郭寒英.城市軌道交通牽引計(jì)算算法［J］.交通運(yùn)輸工程學(xué)報(bào)，2004（03）：30.SHI Hongguo， PENG Qiyuan， GUO Hanying.Traction calculatio of urban mass transit［J］.Journal of Traffic and Transportation Engineering，2004（03）：30.

［9］趙中旺，金德銀.對(duì)鐵路最佳節(jié)能縱斷面形式的研究［J］.石家莊鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)，1999（1）：82.ZHAO Zhongwang，JIN Deyin.The study on the optimal railway vertical section model for energy consumption［J］.Journal of Shijiazhuang Railway Institute，1999（1）：82.

［10］何永春.軌道交通中的節(jié)能坡及其工程應(yīng)用［J］.城市軌道交通研究，2003（2）：37.HE Yongchun.Energy saving vertical section in rail transit［J］.Urban Mass Transit，2003（2）：37.

［11］劉海東，毛保華，丁勇，等.城市軌道交通列車節(jié)能問題及方案研究［J］.交通運(yùn)輸系統(tǒng)工程與信息，2007（5）：68.LIU Haidong，MAO baohua，DING Yong，et al.Train energysaving scheme with evaluation in urban mass transit system［J］.Journal of Transportation System Engineering and Information Technology.2007（5）：68.

［12］龐淵.線路節(jié)能坡設(shè)計(jì)方案對(duì)地鐵能耗的影響［J］.鐵路工程造價(jià)管理，2008（1）：10.PANG Yuan.Impacts of line’s energy saving slope design scheme on energy consumption of metros［J］.Railway Engineering Cost Management.2008（1）：10.

［13］桂翔.城市軌道交通牽引計(jì)算仿真系統(tǒng)的研究和開發(fā)［D］.北京：北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，2008.GUI Xiang.Research and development of urban rail transit traction calculation system［D］.Beijing：Beijing Jiaotong University.Civil engineering and architecture institute，2008.

［14］樂建迪.地鐵正線節(jié)能坡設(shè)計(jì)探討［J］.鐵道標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)，2008（8）：17.LE Jiandi.Study of energy－saving slope design on metro line［J］.Railway Standard Design，2008（8）：17.

［15］付印平.列車追蹤運(yùn)行與節(jié)能優(yōu)化建模及模擬研究［D］.北京：北京交通大學(xué)交通運(yùn)輸規(guī)劃與管理學(xué)院，2009.FU Yinping.Research on modeling and simulations of train tracking operation and saving energy optimization［D］.Beijing：Beijing Jiaotong University.Transportation Planning and Management Institute，2009.

［16］周斌，袁江，丁靜波.廣州地鐵3號(hào)線北延段工程線路節(jié)能坡設(shè)計(jì)［J］.鐵道標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)，2009，（7）：14.ZHOU Bin，YUAN Jiang，DING Jingbo.Design on energysaving slope profile of Guangzhou metro line 3Ext North［J］Railway Standard Design，2009（7）：14.

［17］張定賢.機(jī)車車輛軌道系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)［M］.北京：中國鐵道出版社，1996.ZHANG Dingxian.Railway system dynamics of locomotive and rolling stocks［M］.Beijing：China Railway Press，1996.