任學敏，光華

（同濟大學 數(shù)學系，上海200092）

有償債基金機制的公司債是指發(fā)行公司專門提取償債基金以保證本息償還的公司債券.這種債券規(guī)定發(fā)行公司在債券到期之前，要按照契約規(guī)定，定期提取一定比例的贏利作為償債基金，交由接受委托的信托公司或金融機構(gòu)保管，逐步積累以保證債券到期一次償還.此種債券具有提前償還的性質(zhì).

償債基金（Sinking fund）亦稱“減債基金”，它是發(fā)行人為確保在到期日有足夠的資金以償還債權(quán)人的本金和利息，在債券未到期前預先按期提存的基金.償債基金通常選定的一家銀行作為信托管理人，由信托管理人利用這筆基金進行各種投資，投資收益則增加償債基金，相當于一筆專用基金存款.至于基金的計提方式有：定期計提一定的金額；以債務余額的一定比例計提；依盈利多少計提（但有最低額度限制）；計提金額逐年增加以及依普通股份分紅情形計提，以上各種方式可依實際需要酌情采用.

設(shè)立償債基金的理論依據(jù)是復利累積計算法，由英國學者R.普萊斯創(chuàng)立.他認為如果以現(xiàn)存?zhèn)鶆盏?%為基金，那么基金將按復利增殖.按這種方法，政府用于買銷公債（政府以剩余資金按照時價從證券市場中收買公債，從而使該債務歸于消失）的財源有兩個：政府每年所提供的定額資金；已買銷公債利息的增積.這種償債基金方法曾在18世紀末流行過，不過現(xiàn)代償債基金的形式與過去有所不同.常用的方法是以財政撥款作為償債基金，直接用于買銷或者償還公債.償債基金制度的采用在西方國家比較普遍.有些國家只存在一些特殊的少量的減債基金；有的國家則設(shè)有用于償債的特殊基金或金庫，即把超收的財政收入部分用于減少信用資金籌集或用于償還債務.償債基金制度比較完善的是日本，除了轉(zhuǎn)換公司債采用減償債基金外，國債償債基金特別會計法等也都規(guī)定了要設(shè)置償債基金.我國外匯管理體制改革后，為了確保企業(yè)對外信譽，國家規(guī)定：對外債較多的企業(yè)和有關(guān)部門可以建立相應償債基金，并在外匯指定銀行開立現(xiàn)匯賬戶存儲，以保證按期歸還.

1 基本假設(shè)

（1）假設(shè)公司的資產(chǎn)值在風險中性測度下滿足隨機微分方程

式中：r為無風險利率；σ為波動率，均為常數(shù)；Wt是標準布朗運動，即E（dW）＝0，Var（dW）＝dt，t＝0時刻的公司資產(chǎn)記為V0.T1時刻，計提基金之前公司資產(chǎn)記為VT1－，計提基金后記為VT1＋.如果公司在［0，T1］內(nèi)沒有違約，在T1時刻公司計提償債基金，公司資產(chǎn)發(fā)生跳躍，之后繼續(xù)滿足式（1）描述的幾何布朗運動.

（2）假設(shè)某一有償債基金機制的公司發(fā)行了到期日為T2，面值為1元的零息票債券，到期日應償還債務為K，價格記為P.根據(jù)契約規(guī)定，如果公司在T1時刻有盈利，則按照比例ω計提盈利作為償債基金，并且按照債務額限定計提基金的最高額度分別為hK；否則不計提償債基金.記計提償債基金金額為F，則有

那么計提基金后公司資產(chǎn)VT1＋可表示為

（3）假定時間段［0，T1］內(nèi)公司的違約邊界為K（t），［T1，T2］內(nèi)的違約邊界為（t）.其中

（4）假定公司發(fā)生違約后的回收率為常數(shù)α，采用面值回收.如果公司在［0，T1］上違約，則債券持有人可在T2時得到α元；如果公司在［T1，T2］內(nèi)違約，由于計提的基金到期時一定能得到，所以債券持有人T2時可得到元.

（5）假設(shè)市場是完全的，無摩擦的.

2 模型建立及求解

2.1 ［0，T1］內(nèi)公司沒有違約的概率和T1時刻公司資產(chǎn)的條件分布

在時間段［0，T1］上公司的首次違約時間記為τ，τ＝inf｛t｜Vt≤K（t）；t∈［0，T1］｝，那么公司在［0，T1］上沒有違約的概率可以表示為P（τ＞T1）.記公司資產(chǎn)V在T1－時刻的條件分布為p（VT1－＝y(tǒng)｜τ＞T1），即在公司在時間段［0，T1］內(nèi)沒有違約的前提下公司資產(chǎn)為y的密度.記公司資產(chǎn)V在T1＋時刻的條件密度為p（VT1＋＝z｜τ＞T1），其中z＝y(tǒng)－F.由式（1）根據(jù)公式可得可知事件x｝.對事件做如下等價變換

引理［1］：設(shè)｛W（t），t≥0｝為一維標準布朗運動，f（s），0≤t1＜s≤t2為任一線性函數(shù)，則

引理的證明參見文獻［2］.利用引理的結(jié)論并結(jié)合式（7）可得

由｛－W（t），t≥0｝仍為標準布朗運動有

由式（9）和式（10）進一步可以計算［0，T1］內(nèi)公司沒有違約的概率

其中N（x）是標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù).由式（9）～（11）可得

由式（6）知隨機變量VT1－是隨機變量WT1～N（0，T1）的函數(shù)［3］，可得

由于VT1＋＝VT1－－F，由式（13）可得公司資產(chǎn)V，在T1＋時刻的條件分布為

2.2 時間段［T1，T2］上長期債券的價格

如果公司在［0，T1］內(nèi)沒有違約，公司資產(chǎn)在［T1，T2］上滿足式（1），T1時刻的初值為隨機變量它的密度函數(shù)由式（14）給出.記， 那么債券價格在［T1T2］上滿足偏微分方程［4－5］

滿足方程（15）的解為［6－7］

2.3 債券的定價公式

定理：有償債基金的公司債券定價公式為

式中：P｜t＝0表示債券的初始發(fā)行價格，P（VT1＋，T1）為式（17）在T1時刻的值.

這是因為，如果公司在時間段［0，T1］內(nèi)違約，債券持有人將在到期日T2得到α元；如果公司在時間段［0，T1］內(nèi)沒有違約，債券在T1時刻的價格（對應某個確定的公司資產(chǎn)值，例如VT1－＝y(tǒng)）可由式（17）給出.

3 數(shù)值結(jié)果及分析

償債基金債券有提前償付的性質(zhì)，因為在到期日投資者一定可以得到計提的償債基金，從式（17）中可以看到實際上這相當于提高了公司違約后的回收率 （β≥α）.式（18）中積分的計算采用蒙特卡羅方法模擬計算［8－9］.取如下參數(shù)r＝0.05，σ＝0.2，α＝0.4，ω＝0.5，h＝0.5，V0＝1，T1＝1，T2＝2，除考慮單個因素變化的影響外參數(shù)保持不變.圖1中橫坐標軸表示初始時刻發(fā)行的債券總量占公司資產(chǎn)的比例，可以反映公司的資產(chǎn)結(jié)構(gòu)；縱坐標軸表示償債基金債券的發(fā)行價，即可以反映公司的融資成本.

從圖1可以看到隨著債券發(fā)行量的增加，債券的發(fā)行價會降低.從式（18）分析一方面當債務增加，公司在［0，T1］內(nèi)違約的概率會增大，而［0，T1］上公司的回收率小于或等于［T1，T2］上的回收率；另一方面當債務增加公司在［T1，T2］內(nèi)違約的概率也會增大，這兩方面因素都會使債券價格降低.這說明公司資產(chǎn)中債務比例越高，公司的融資成本就會增加.

從圖1中還可以看到，當債務量相同時，波動率越大，債券的價格越低，即公司的融資成本越高，所以經(jīng)營越穩(wěn)定的公司，發(fā)行債券融資付出的成本應該比較小.這是因為波動率越大，公司的違約概率越大，從上述的兩個方面影響使債券發(fā)行價降低.

圖1 波動率對發(fā)行價的影響的影響Fig.1 The impact of the asset volatility on the price of bond

從圖2可以看到雖然隨著債務的增加，公司發(fā)行債券的融資成本增高，但是公司的融資量（籌集到的資本）呈現(xiàn)先增后減，在K／V0＝0.8左右達到最大值.因此公司在發(fā)行債券時應該同時綜合考慮所需的資金量和融資成本，制定適當?shù)娜谫Y計劃.

圖2 波動率對融資比率的影響的影響Fig.2 The impact of the asset volatility on the ratio of finance

從圖3可以看到公司債券的價格隨回收率的增大而增大，在違約概率相同的情況下回收率越大，債權(quán)人的損失越小，發(fā)行是公司給予債權(quán)人的補償就相對的少一些，債券價格就會比較高，公司的融資成本比較低.

從圖4可以看到，計提基金的比例對債券價格影響并不明顯.公司在T1時刻有盈利的情況下計提償債基金占盈利的比例越高，實際上相當于［T1，T2］上的回收率β越大，而且它對公司違約概率的影響并不顯著.所以在公司違約概率比較小的情況下，計提比例對債券價格的影響并不明顯.不過理論上計提的比例越高對債權(quán)人顯然越安全，所以債券價格應該越高.

4 結(jié)論

給出有償債基金機制公司發(fā)行的一張零息票債券的定價模型.假設(shè)債券在存續(xù)期間計提一次償債基金，這種債券具有提前償還的性質(zhì)，更有利于保護債券持有人的權(quán)益.文中主要給出了公司在計提償債基金前沒有違約的概率以及在此條件下公司資產(chǎn)的條件分布，并運用到債券定價中.在債券的定價模型中本文利用了首次通過模型.最后通過數(shù)值計算作圖分析債券價格隨參數(shù)變化的金融意義.本文的結(jié)論是公司發(fā)行債券的融資成本隨公司資產(chǎn)結(jié)構(gòu)中債務比例的增大而增大，但是公司發(fā)行債券可以籌集到的資金隨債務比例的增大呈現(xiàn)先增后減，在某一特定的資產(chǎn)結(jié)構(gòu)下可以獲得最大的融資量，所以公司在發(fā)行債券時應該綜合考慮所需的資金量和融資成本，制定適當?shù)娜谫Y計劃.

［1］徐潤，呂玉華.標準布朗運動關(guān)于線性邊界通過概率［J］.數(shù)學研究與評論，2005（4）：25.XU Lun，LV Yuhua.The possibility of standard Brownian motion across the linear boundary［J］.Mathematics Research and Comments，2005，4：25.

［2］Siegmund D，Yihshyh Yuh Brownian Approximations to First Passage Probabilities［J］.Zeitschrift fur Wahrsch verw.Gebiete，1982，59：239.

［3］陳蘭祥，蔣鳳瑛.應用概率論［J］.上海：統(tǒng)計出版社，1999.CHENG Lanxiang，JIANG Fengying.Applied probability theory［M］.Shanghai：Statistics Press，1999.

［4］姜禮尚.期權(quán)定價的數(shù)學模型和方法［J］.北京：高等教育出版社，2003.JIANG Lishang.The mathematical models and methods in option pricing［M］.Beijing：Higher Education Press，2003.

［5］姜禮尚，徐承龍，任學敏，等.金融衍生產(chǎn)品定價的數(shù)學模型與案例分析［J］.北京：高等教育出版社，2008.JIANG Lishang，XU Chenglong，REN Xuemin，etal.The mathematical models and cases analyses of the financial derivatives pricing.Beijing：Higher Education Press，2008.

［6］姜禮尚，陳亞浙，劉西垣，等.數(shù)學物理方程講義［M］.第3版.北京：高等教育出版社，2007.JIANG Lishang，CHENG Yazhe， LIU Xiyuan，etal.Mathematical and physical Equations［M］.3rd ed.Beijing：Higher Education Press，2007.

［7］姜禮尚，孫和生，陳志浩，等.偏微分方程選講［M］.北京：高等教育出版社，1997.JIANG Lishang，SUN Hesheng，CHEN Zhihao，etal.Some topics on partial differential equation［M］.Beijing：Higher Education Press.1997.

［8］王沫然.MATLAB與科學計算［M］.第2版.北京：電子工業(yè)出版社，2003.WANG Moran.MATLAB and science computation［M］.2nd ed.Beijing：Electronics Industry Press，2003.

［9］同濟大學計算數(shù)學教研室.現(xiàn)代數(shù)值數(shù)學和計算［M］.上海：同濟大學出版社，2004.The Group of Computational Mathematics of Tongji University.The modern numerical mathematics and computation［M］.Shanghai：Tongji University Press，2004.