譚麗娜

（天津機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，天津 300131）

內(nèi)部收益率法是根據(jù)方案本身內(nèi)部收益率來評價方案優(yōu)劣的一種折現(xiàn)（是將各時點處的資金的時值折算為現(xiàn)值的過程）評價方法。內(nèi)部收益率大于資金成本率則方案可行，且內(nèi)部收益率越高方案越優(yōu)，他常與凈現(xiàn)值（Net present value，NPV）等法配合使用，以判斷投資方案是否能達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)效果。

1 運用內(nèi)涵報酬率法對投資項目進行評價

1.1 用內(nèi)部收益率法評價兩互斥投資項目

研究內(nèi)部收益率法(IRR method)，必須先了解凈現(xiàn)值法（NPV method）。所謂凈現(xiàn)值法是指在確定的利率基礎(chǔ)上，分別計算各年的凈現(xiàn)金流量，并將其折現(xiàn)，從而求出投資方案計算期內(nèi)的凈現(xiàn)金流量的代數(shù)和?，F(xiàn)就通過對A、B兩互斥投資項目（在多個被選方案中只能選擇一個，其余均必須放棄，不能同時存在）的評價說明凈現(xiàn)值的計算方法。A、B兩投資項目的年凈現(xiàn)金流量如表1所示：

表1 A、B投資項目現(xiàn)金流量表 （單位：英鎊）

在利率i＝10%時：

A投資項目的凈現(xiàn)值（NPVA）＝5000×（0.909＋0.826＋0.751）－12000 ＝￡430

B投資項目的凈現(xiàn)值（NPVB）＝500×（0.909＋0.826＋0.751）－1000＝￡243

兩項目的凈現(xiàn)值分別為NPVA＝￡430和NPVB＝￡243，這說明兩項目的各自的投資報酬率大于所用的資本成本率，A、B兩項目均可取。如果要求在A、B兩項目中做互斥方案的評價選擇，則應(yīng)選擇凈現(xiàn)值大的A投資項目。為了證明選擇A項目的可行性，我們引入內(nèi)部收益率法，對A、B兩互斥投資項目進行進一步評價。

內(nèi)部收益率沒有實際值，但我們能通過凈現(xiàn)值求出內(nèi)部收益率的近似值。當(dāng)每一個投資項目的凈現(xiàn)值被求出后我們就有了求解該項目的內(nèi)部收益率的線索，即當(dāng)凈現(xiàn)值為正數(shù)（或負(fù)數(shù)）時，說明內(nèi)部收益率肯定大于（或小于）投資項目所用的利率。于是可分別取若干個比該利率大（或?。┑睦?，運用逐次測試法，逐個計算該投資項目的凈現(xiàn)值，直至凈現(xiàn)值（NPV）＝0，該時刻所用的利率，就是我們要找的內(nèi)部收益率。

僅以A投資項目為例，說明是如何求出內(nèi)部收益率的。當(dāng)利率為10%時，A投資項目的NPVA＝￡430，是正數(shù)，所以A投資項目內(nèi)部收益率一定大于10%，故我們可以依次取11%至14%的利率，分別計算不同利率下的凈現(xiàn)值（NPV），計算結(jié)論如表2所示：

表2 A投資項目凈現(xiàn)值計算表 (單位：英鎊)

通過表2可知，當(dāng)求出利率為12%時,凈現(xiàn)值為正值（￡10）；當(dāng)求出利率為13%時，凈現(xiàn)值為負(fù)值（￡－195）。這說明內(nèi)部收益率（IRR）在12%至13%之間，此時我們可應(yīng)用比例法（也叫插值法、幾何法、逐次逼近測試法等），求出A投資項目的內(nèi)部收益率，其求解過程中的比例關(guān)系見圖1所示。

利用距離相等，列出比例關(guān)系：（IRR－12%）/1%＝－10/-205

圖1 求解內(nèi)部收益率時應(yīng)用的比例關(guān)系

求解出A投資項目的內(nèi)部收益率（IRRA）＝12.05%

同理可求出B投資項目的內(nèi)部收益率（IRRB）＝23.35%。

比較兩個項目的IRR，應(yīng)選內(nèi)部收益率較大的B項目，這正好與前面的結(jié)論相反。究竟應(yīng)該選擇哪個項目呢？如果剖析一下凈現(xiàn)值與內(nèi)部收益率的內(nèi)在關(guān)系，就不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)選擇A投資項目。

1.2 通過凈現(xiàn)值與內(nèi)部收益率的內(nèi)在關(guān)系，確定應(yīng)選擇A投資項目

首先計算在不同的利率（分別為5%、10%、15%、20%和25%）情況下的兩個項目的凈現(xiàn)值。將不同利率情況下算出的凈現(xiàn)值與內(nèi)部收益率對比，繪制出兩投資項目的曲線圖2。

圖2 不同利率情況下兩投資項目曲線

從圖2中可見，兩方案的曲線有一交點約為11%，該交點為凈現(xiàn)值的分界點。這說明當(dāng)方案的資金成本率小于11%時取A投資項目，大于11%時取B投資項目。本例中的資金成本率為10%，故應(yīng)選擇A投資項目為最優(yōu)方案。假如兩方案的曲線交點不是11%，而是10.2%，與資金成本率10%非常接近，則亟需求解A投資項目的內(nèi)部收益率，才能進一步判斷A投資項目的可行性。既使是本文所舉的投資項目情況，10%的資金成本率和11%的分界點也相差較?。ㄟ€沒考慮計算上的誤差），采用內(nèi)部收益率法進行評價也是非常必要的。

2 內(nèi)部收益率的實質(zhì)

我們先將凈現(xiàn)值用折現(xiàn)了的年凈現(xiàn)金流量的代數(shù)和的形式表示為：

(1)式中：

NCF表示年凈現(xiàn)金流量;i表示利率;n表示期數(shù);NCF0表示O年的年凈現(xiàn)金流量，因常指投資額，故NCF0＜O;NCF1～n表示1～n年的年凈現(xiàn)金流量，且設(shè)NCF1～n＞O。

在(1)式中如果設(shè)i為自變量，則凈現(xiàn)值是因變量。那么(1)式就變成了NCF＝?(i)的單調(diào)函數(shù)關(guān)系式。其他的變化無外乎有兩種情況。第一種情況是當(dāng)i→∞時，則(1＋i)-t→O，故(1)式可寫成NPV ＝NCF0；第二種情況是i→O時，則(1＋i)-t→1，故(1)式可寫成因此凈現(xiàn)值一定是條曲線（見圖3）。

觀察圖3可知，凈現(xiàn)值曲線左邊與縱坐標(biāo)的交點是（0，NCF0），凈現(xiàn)值曲線的右邊漸近于水平線NCF0， 即NPV＝NCF0，這便決定了凈現(xiàn)值與內(nèi)部收益率的關(guān)系是一條曲線，而并非直線，我們也很難用一般方法求得內(nèi)部收益率的實際值，這便是內(nèi)部收益率的實質(zhì)。許多書上講的求內(nèi)部收益率的方法，均是求的用直線代替曲線情況下的內(nèi)部收益率地近似值而已，即求出的內(nèi)部收益率是用直線CE代替凈現(xiàn)值曲線情況下的D點的近似值，見圖4。

圖4 直線CE代替凈現(xiàn)值曲線情況下的近似值

在圖4中，直線CDE代替了曲線CME后，內(nèi)部收益率的M點實際值，就被D點的近似值所取代，D點的近似值則被用比例法求出。這樣以曲代直的方法在合理的范疇內(nèi)是允許的，但應(yīng)注意的是，在應(yīng)用比例法時，應(yīng)盡可能地取NPV為零的前一個和后一個利率及所對應(yīng)的凈現(xiàn)值的值，即用NPV最接近零時的一個正值和一個負(fù)值，求解內(nèi)部收益率，這樣所選取的直線越短，求出的近似值就越接近與實際值，內(nèi)部收益率才越接近于準(zhǔn)確。

3 結(jié)論

（1）用NPV最接近零時的一個正值和一個負(fù)值，求出的內(nèi)部收益率準(zhǔn)確程度最高

以A投資項目為例，用表2中的資料，取12%、13%的利率及所分別對應(yīng)的NPV＝￡10和NPV＝￡－195時候的值（圖4中C、E兩點的座標(biāo)）。只有這樣才能使D點近似值更接近于M點的實際值。

如果此時不用該逐次測試法取值的話，而上來直接取10%和13%的利率及所分別對應(yīng)的NPV＝￡430和NPV＝￡－195時候的值（參見表2中數(shù)據(jù)）進行計算。則可求出內(nèi)部收益率為12.064%，顯然不如IRRA＝12.05%的結(jié)論更近于實際值。所以在實際工作中，為了提高內(nèi)部收益率的精確度，應(yīng)采用逐次逼近測試法求解，并且盡量縮小取值的插值區(qū)間，才能為管理當(dāng)局提供最精準(zhǔn)的決策指標(biāo)參數(shù)。

（2）取凈現(xiàn)值一個正值和一個負(fù)值時，求出的內(nèi)部收益率近似值大于實際值

通過圖4分析可知，取凈現(xiàn)值一個正值C點和一個負(fù)值E點的座標(biāo)進行內(nèi)部收益率的計算，（取凈現(xiàn)值的值是一正一負(fù)，如前面的NPV＝￡10、NPV＝￡－195），計算出的內(nèi)部收益率是D點近似值＝12.05%，是大于M點實際值，這會使決策者作出冒險的經(jīng)營決策的。

（3）取凈現(xiàn)值兩值同為正值或負(fù)值時，求出的內(nèi)部收益率近似值小于實際值

對NPV的取值的問題深一步研究，還會發(fā)現(xiàn)，如取凈現(xiàn)值的兩值同為正或負(fù)值時，會使求出的近似值小于實際值。

現(xiàn)舉例證明取凈現(xiàn)值的兩值同為正時，求出的近似值小于實際值的情況。當(dāng)取兩個凈現(xiàn)值的值為正值時（參見表2中數(shù)據(jù)NPV為￡430和￡10，圖5中的F、G點）。2%/（IRR－10% ） ＝－420/－430IRR＝12.048%（見圖5）。

圖5 取兩個正值時求出的內(nèi)部收益率小于實際值

圖5中H點的IRR＝12.048%小于M點的實際值，即取兩個正值時，求出的內(nèi)部收益率會低于真正的內(nèi)部收益率。

當(dāng)取兩個凈現(xiàn)值的值同為負(fù)值時（參見表2中數(shù)據(jù)NPV為￡－195和￡－395，圖6中的J、K點）。

圖6 取兩個負(fù)值時求出的內(nèi)部收益率小于實際值

1%/（14%－IRR） ＝－ 220/－395

IRR＝12.025%（見圖6）。

圖6中I點的IRR＝12.025% 亦小于M點的實際值，即取兩個負(fù)值時，求出的內(nèi)部收益率會也低于真正的內(nèi)部收益率?？梢姴徽撊蓚€正值，還是取兩個負(fù)值，只要是兩個值的方向一致，求出的解都會是低于實際的內(nèi)部收益率的，這會使決策者作出保守的投資決策。

另外，運用內(nèi)部收益率法對投資方案進行貼現(xiàn)評價，還有個很重要的問題需要闡明。就是(1)式的年凈現(xiàn)金流量的發(fā)生是假設(shè)投資方案在其有效期內(nèi)，現(xiàn)金流量的方向只改變一次符號的方向，即年凈現(xiàn)金流值的符號為：（-）→（＋）→（＋）→（＋）→（＋）的形式，或者是：（-）→（-）→（-）→（＋）→（＋）→（＋）等的形式，這類形式的凈現(xiàn)值是資金成本的單調(diào)函數(shù)，內(nèi)部收益率值只有一個。但實際的情況有時比我們假設(shè)的復(fù)雜得多，現(xiàn)金流量的方向會多次改變符號的方向（投資項目開始后遇到追加投資或撤資等問題），即年凈現(xiàn)金流量的符號為：（-）→（＋）→（＋）→（-）→（-）→（＋）→（＋）的形式，或者是：（-）→（-）→（＋）→（＋）→（-）→（＋）→（＋）→（-）等的形式，這時的凈現(xiàn)值就不是資金成本的單調(diào)函數(shù)了，于是一個投資方案會產(chǎn)生多個內(nèi)部收益率值，一般改變幾次符號的方向，就會出現(xiàn)幾個內(nèi)部收益率值，以S投資項目（見圖7）為例：

圖7 現(xiàn)金流量多次改變方向的凈現(xiàn)值曲線

從圖7可見，現(xiàn)金流量多次改變方向條件下，繪制出的凈現(xiàn)值曲線會多次與橫坐標(biāo)相交于W、X、Y點，即S投資項目分別有W、X、Y三個內(nèi)部收益率值，分別為：IRRw＝30%、IRRx＝40%、IRRy＝60%，若S投資項目要求的內(nèi)部收益率需在20%以上，從圖7可知W、X、Y三個內(nèi)部收益率值均符合要求，這時若判斷S投資項目均可行，就錯了。細(xì)觀查圖7可知，NPV為正值時方案才可取，即可取的是弧VW（利率在20%～30%之間時）、弧XY（利率在40%～50%之間時）?？梢姂?yīng)審慎使用內(nèi)部收益率法，且應(yīng)與凈現(xiàn)值等方法配合使用。

總之，在運用內(nèi)部收益率法對投資方案進行折現(xiàn)評價時，應(yīng)盡可能地提高其計算的精確度，并注重其計算值與實際值的差異,避免決策的失誤。同時注重與凈現(xiàn)值法、凈現(xiàn)值率法（是投資項目的凈現(xiàn)值占現(xiàn)金流出量現(xiàn)值之和的百分比）、獲利指數(shù)法、等年值法（指按已知利率，將所有現(xiàn)金流量均折算為各年相等的金額，這個年相等的金額即為等年值，通過比較該等年值決策方案優(yōu)劣的一種方法）、約當(dāng)量法（把不確定的各年現(xiàn)金流量，按一定的系數(shù)，即約當(dāng)系數(shù)，折算為大約相當(dāng)于確定的現(xiàn)金流量的數(shù)量后，利用無風(fēng)險貼現(xiàn)率來評價風(fēng)險投資項目的決策分析方法）的配合使用，以提高企業(yè)投資決策中內(nèi)部收益率法運用的準(zhǔn)確性。

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