黃飛丹

(畢節(jié)學院數(shù)學與計算機科學學院,貴州 畢節(jié) 551700)

幾乎有限表現(xiàn)模

黃飛丹

(畢節(jié)學院數(shù)學與計算機科學學院,貴州 畢節(jié) 551700)

利用幾乎有限表現(xiàn)模來刻劃凝聚環(huán)和半遺傳環(huán).通過討論幾乎有限表現(xiàn)模和廣義有限表現(xiàn)模之間的關(guān)系,得出了幾個關(guān)于幾乎有限表現(xiàn)模和凝聚環(huán)、半遺傳環(huán)的等價條件,改進了已有的結(jié)論,把刻劃凝聚環(huán)的?？s小到幾乎有限表現(xiàn)模.

幾乎有限表現(xiàn)模;廣義有限表現(xiàn)模;凝聚環(huán);半遺傳環(huán)

1 引言

自文獻[1]對交換環(huán)定義了有限表現(xiàn)維數(shù)以來,有限表現(xiàn)性已得到了廣泛和深入的討論.文獻[2]給出了一般環(huán)上有限表現(xiàn)維數(shù)的定義,并深入討論了有限表現(xiàn)維數(shù)的一些重要性質(zhì),并運用有限表現(xiàn)維數(shù)刻劃了凝聚環(huán).

幾乎有限表現(xiàn)模是一種較特殊的模,且是非有限生成模,因一些常見的環(huán)(如凝聚環(huán)、半遺傳環(huán))很少用非有限生成模來刻劃,故對非有限生成模,特別是對幾乎有限表現(xiàn)模的研究比較少.文獻[3]給出了幾乎有限表現(xiàn)模的定義,并給出了幾乎有限表現(xiàn)模的一些性質(zhì),文獻[4]給出了廣義有限表現(xiàn)模的概念,并用廣義有限表現(xiàn)模的有限表現(xiàn)維數(shù)刻劃了凝聚環(huán).本文給出幾乎有限表現(xiàn)模的一些刻劃,討論了幾乎有限表現(xiàn)模和廣義有限表現(xiàn)模的關(guān)系,并用幾乎有限表現(xiàn)模來刻劃凝聚環(huán)和半遺傳環(huán).對凝聚環(huán)的刻劃(定理3.2)改進了文獻[3-4]中的結(jié)論,其中對文獻[4]中的結(jié)論,把刻劃凝聚環(huán)的?？s小到幾乎有限表現(xiàn)模.

本文所涉及的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán),模均指左酉模.

文中涉及的一些記號:

FGRM—左有限生成模范疇;FPRM—左有限表現(xiàn)模范疇;

GFPRM—左廣義有限表現(xiàn)模范疇;

fpd(M)—模M的(左)有限表現(xiàn)維數(shù);

fgd(M)—模M的(左)有限生成維數(shù).

f.g.模—有限生成模;f.p.?！邢薇憩F(xiàn)模.

文中的“非f.g.自由?！敝傅氖亲杂傻那也皇怯邢奚傻哪?

文中涉及的概念及記號可見參考文獻[2-6].

2 幾乎有限表現(xiàn)模的性質(zhì)

定義2.1[3]設(shè)R是環(huán),M是R-模,若M=M′⊕M′′,其中M′是f.p.的,M′′是非f.g.自由模,則稱M是幾乎有限表現(xiàn)的,記作a.f.p..

由定義可知,f.g.模不是a.f.p.模.

3 幾乎有限表現(xiàn)模與廣義有限表現(xiàn)模

定義3.1[4]設(shè)R是一個環(huán),M是左R-模,若存在投射模P及f.g.模A,使得M～=P/A,即有正合列:

則稱M為(左)廣義有限表現(xiàn)模,也記為M∈GFPRM.此時稱上面的正合列為M的廣義有限表現(xiàn)分解.特別當P是f.g.投射模時,M就是通常的f.p.模.當A=0時,M就是投射模,從而有FPRM?GFPRM,ProjRM?GFPRM.

定義3.2[7]設(shè)R是一個環(huán),M為左R-模,M的(左)有限生成維數(shù)記為fgdR(M),或簡記為fgd(M),定義如下:

fgdR(M)=Inf{n|如果存在這樣的正合列(*)Pn→Pn-1→…→P1→P0→M→0,其中Pi為投射左R-模,Pn是f.g.的},如果對于任意自然數(shù)n,如果沒有(*)這樣的正合列,則定義fgdR(M)=∞.

命題3.1設(shè)R是一個環(huán),則R上的a.f.p.模是廣義有限表現(xiàn)模.

證明設(shè)模M是a.f.p.模,則由推論2.1知有正合列0-→K-→F-→M-→0,其中K是f.g.的,F是非f.g.自由模.故M是廣義有限表現(xiàn)模.

由于f.p.模不是a.f.p.模,故廣義有限表現(xiàn)模不一定是a.f.p.模.

命題3.2設(shè)R是環(huán),則對R上的任意a.f.p.模M,有fgdR(M)=1.

直接從a.f.p.模和有限生成維數(shù)的定義也可得出以上結(jié)論.

命題3.3設(shè)R是局部環(huán),M是左R-模,若fgdR(M)=1,則M是a.f.p.模.

證明設(shè)fgdR(M)=1,則有正合列P1→P0→M→0,其中P1是f.g.投射模,P0是非f.g.投射模,由R是局部環(huán)知,P1,P0是自由模,故M是a.f.p.模.

引理3.1[4]設(shè)R為環(huán),M是左R-模,M為廣義有限表現(xiàn)模的充分必要條件是:存在投射模P0,自由模F*,f.p.模M0,使得M⊕P0=M0⊕F*.

引理3.1可加強為:

定理3.1設(shè)R為環(huán),M是左R-模,M為廣義有限表現(xiàn)模的充分必要條件是:存在投射模P0,非f.g.自由模F*,f.p.模M0,使得M⊕P0=M0⊕F*.

而Kerσ=i(K)?F0,所以F*～=F1,由于F為非f.g.自由模,F0為f.g.自由模,故F*～=F1為非f.g.自由模.

?:與引理3.1(文獻[4]中)的證明類似.

在定理3.1中,M0是f.p.模,F*為非f.g.模,從而M0⊕F*為a.f.p.模,故有:

推論3.1設(shè)R為環(huán),M是左R-模,M為廣義有限表現(xiàn)模的充分必要條件是:存在投射模P0,使得M⊕P0為a.f.p.模.

由定理3.1的證明過程可得:

推論3.2設(shè)R為一個環(huán)且R的每個投射模均為自由模,M是非f.g.模,則M為廣義有限表現(xiàn)模的充分必要條件是:存在非f.g.自由模F,f.p.模M0,使得M=M0⊕F.

由推論3.2直接得:

推論3.3設(shè)R為一個環(huán)且R的每個投射模均為自由模,M是非f.g.模,則M為廣義有限表現(xiàn)模的充分必要條件是M為a.f.p.模.

引理3.2[4]設(shè)R是一個環(huán),則下列條件等價:

(1)R為(左)凝聚環(huán);

(2)?M∈GFPRM,有fpdR(M)≤1;

(3)?M∈GFPRM,若M/∈FGRM,則fpdR(M)=1;

(4)設(shè)M∈GFPRM,M1為M的任一f.g.子模,則M1是f.p.的.

引理3.3[2]設(shè)R是環(huán),P是投射左R-模,M是左R-模,且fpdR(M)≥1,則

定理3.2設(shè)R是一個環(huán),則下列條件等價:

(1)R為(左)凝聚環(huán);

(2)?M∈GFPRM,若M/∈FGRM,則fpdR(M)=1;

(3)對任意a.f.p.模M,有fpdR(M)=1;

(4)對任意a.f.p.模M,有fpdR(M)≤1;

(5)設(shè)M∈GFPRM,M1為M的任一f.g.子模,則M1是f.p.的;

(6)設(shè)M是a.f.p.模,M1為M的任一f.g.子模,則M1是f.p.的.

證明由引理3.2可得(1)?(2)?(5).

(2)?(3):設(shè)M是a.f.p.模,則M是廣義有限表現(xiàn)模且M是非f.g.的,由假設(shè)知fpdR(M)=1.

(3)?(2):?M∈GFPRM,設(shè)M/∈FGRM.由推論3.1知,存在投射模P0,使得M⊕P0為a.f.p.模,由假設(shè)知fpdR(M⊕P0)=1.由于M是非f.g.的,故M不是f.p.模,即fpdR(M)/=0,從而fpdR(M)≥1.由引理3.3知fpdR(M)=fpdR(M⊕P0)=1.

(3)?(4):顯然.

(4)?(3):設(shè)M是a.f.p.模,則M是非f.g.模,故M不是f.p.模,從而fpdR(M)/=0,由假設(shè)知fpdR(M)=1.

(5)?(6):設(shè)M是a.f.p.模,M1為M的任一f.g.子模,由于M是廣義有限表現(xiàn)模,故由假設(shè)知M1是有限表現(xiàn)的.

(6)?(5):設(shè)M∈GFPRM,由推論3.1知,存在投射模P0,使得M⊕P0為a.f.p.模,故M1為M⊕P0的f.g.子模,由假設(shè)知M1是f.p.的.

定理3.2的結(jié)論改進了文獻[3]中的結(jié)論:若R是左凝聚環(huán),M是a.f.p.左R-模,則fpdR(M)=1.同時也改進了文獻[4]中的結(jié)論(引理3.2),把刻劃凝聚環(huán)的模的范圍縮小到a.f.p.模.

定理3.3設(shè)R是一個環(huán),則下列條件等價

(1)R為左半遺傳環(huán),且任意f.p.左R-模是投射模;

(2)任意a.f.p.左R-模是投射模;

(3)對任意a.f.p.左R-模M,M的直和項是投射模;

(4)對任意a.f.p.左R-模M,M的廣義有限表現(xiàn)的直和項是投射模.

證明(1)?(2):設(shè)M是a.f.p.左R-模,則M=F⊕M′,其中F是非f.g.自由模,M′是f.p.的,由假設(shè)知M′是投射模,從而M是投射模.

(2)?(3):由于投射模的任意直和項是投射模,故M的直和項是投射模.

(3)?(4):顯然.

(4)?(1):設(shè)P是投射左R-模,K是P的f.g.子模,則有正合列:從而P/K是廣義有限表現(xiàn)模.由推論3.1,存在投射模P0,使得(P/K)⊕P0是a.f.p.模,由假設(shè)知P/K是投射模.故正合列0→K→P→P/K→0分裂正合,從而P～=K⊕(P/K),而P是投射模,因此K是投射模.所以R為左半遺傳環(huán).對任意f.p.模M,因為M是廣義有限表現(xiàn)模,且是某一個a.f.p.模的直和項,故由假設(shè)知M是投射模.

引理3.4[3]設(shè)R是一個環(huán),則R是VN正則環(huán)當且僅當每個左R-模是平坦模.

推論3.4設(shè)R是VN正則環(huán),則

(1)R為左半遺傳環(huán),且任意f.p.左R-模是投射模;

(2)任意a.f.p.左R-模是投射模;

(3)對任意a.f.p.左R-模M,M的直和項是投射模;

(4)對任意a.f.p.左R-模M,M的廣義有限表現(xiàn)的直和項是投射模.

證明由文獻[3]知R是左半遺傳環(huán).設(shè)M是f.p.左R-模,由引理3.4知,M是平坦模,而由文獻[3]知f.p.平坦模是投射模,故M是投射模,從而(1)成立.再由定理3.3,(2),(3),(4)成立.

[1]Ho Kuen Ng.Finitely p rensented dimension of commutative rings and modules[J].Pacif c.J.M aths., 1984,113(2):417-431.

[2]李元林.有限表現(xiàn)維數(shù)和凝聚環(huán)[J].數(shù)學雜志,1991,13(2):182-188.

[3]程福長,易忠.環(huán)的同調(diào)維數(shù)[M].桂林:廣西師范大學出版社,2000.

[4]李元林.廣義有限表現(xiàn)模[J].江蘇工業(yè)學院學報,1992,13(2):101-107.

[5]程福長.同調(diào)維數(shù)[M]．桂林:廣西師范大學出版社,1989.

[6]Anderson F W,Fuller K R.Ring and Categories of M odu les[M].New York:Sp ringer-Verlag,1974.

[7]丁南慶.模的有限生成維數(shù)[J].南京大學學報:數(shù)學半年刊,1989,6(1):107-111.

Almost finitely-presented modules

Huang Feidan
(Department of Mathematics and Computer Science, Bijie College, Bijie 551700, China)

Characterize coherent rings and semi-hereditary rings by using almost finitely-presented modules. By studying relations between almost finitely-presented modules and generalized finitely-presented modules, some equivalent conditions about almost finitely-presented modules and coherent rings and semi-hereditary are obtained. As a result, previous conclusions have been improved, and the modules using to characterize coherent rings is reduced to almost finitely-presented modules.

almost finitely-presented module, generalized finitely-presented module, coherent ring,semi-hereditary ring

O153.3

A

1008-5513(2012)02-0213-06

2011-09-10.

貴州省教育廳自然科學基金(20090068);貴州省科學技術(shù)基金(2012GZ10526);貴州省教育廳自然科學基金(黔教科2010072).

黃飛丹(1981-),碩士,講師,研究方向：環(huán)、模及自動機理論.

2010 MSC:16D 10,16E10