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Gorenstein FCn-投射模

2022-01-27 02:10張文匯高華云
關(guān)鍵詞:閉環(huán)結(jié)論定理

張文匯,高華云

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

0 引言

文中提到的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán),模均指酉模.20世紀(jì)90年代,Enochs等[1-2]引入了Gorenstein投射模(Gorenstein內(nèi)射模, Gorenstein平坦模)及模的Gorenstein投射維數(shù)(Gorenstein內(nèi)射維數(shù), Gorenstein平坦維數(shù)),這是Gorenstein同調(diào)理論的核心.近年來,Gorenstein同調(diào)代數(shù)的研究已經(jīng)取得了很多重要成果,研究范圍也從模范疇擴(kuò)充到Abel范疇(例如模的復(fù)形范疇)以及非Abel范疇(例如三角范疇, E-三角范疇等).2012年,Gao等[3]引入了Gorenstein FP-內(nèi)射模.稱左R-模M是Gorenstein FP-內(nèi)射模,如果存在FP-內(nèi)射左R-模的正合列

E: …→E1→E0→E0→E1→…,

P: …→P1→P0→P0→P1→…,

使得M?Ker(P0→P1),并且對任意內(nèi)射維數(shù)有限的有限余表示右R-模Q,序列HomR(P,Q)正合.受以上文獻(xiàn)的啟發(fā),本文引入FCn-投射模和Gorenstein FCn-投射模,并討論這兩類模的同調(diào)性質(zhì).

以下除非特別說明,模均指左R-模.我們用id(M)表示R-模M的內(nèi)射維數(shù),P(R)表示所有投射R-模構(gòu)成的類,N表示自然數(shù)集,Z表示整數(shù)集.文中沒有介紹的符號和術(shù)語請參考文獻(xiàn)[6].

設(shè)n是一非負(fù)整數(shù).稱R-模M是有限n-余表示模[7],如果存在R-模的正合列

0→M→E0→…→En-1→En,

其中Ei(i=0,1,2,…,n)是有限余生成內(nèi)射模;稱上述正合序列為模M的有限n-余表示.記FCn為有限n-余表示模類.特別地,F(xiàn)C0是有限余生成模類,F(xiàn)C1是有限余表示模類.稱環(huán)R是左n-余凝聚環(huán)[7],如果任意有限n-余表示左R模是有限(n+1)-余表示的.特別地,左0-余凝聚環(huán)就是余Notherian環(huán)[8];左1-余凝聚環(huán)就是余凝聚環(huán).稱R-模類X是投射可解類[9],如果P(R)?X,并且在任意短正合序列0→A→B→C→0中,若C∈X,則A∈X當(dāng)且僅當(dāng)B∈X.

1 FCn-投射模

作為FC-投射模的推廣,我們引入FCn-投射模,并在左n-余凝聚環(huán)上討論這類模的同調(diào)性質(zhì).以下總假定n是正整數(shù).

特別地,F(xiàn)C1-投射模就是FC-投射模.

注1由定義1可知,投射模和FC-投射模都是FCn-投射模;FCn-投射模關(guān)于擴(kuò)張、直和及直和項都封閉.

引理1設(shè)R是左n-余凝聚環(huán),則以下結(jié)論成立:

(2)在R-模的任意短正合序列

0→A→B→C→0

0→G→E0→…→En-1→En→…,

(2)對任意有限n-余表示模G,由長正合列引理可知存在正合列

推論1設(shè)R是左n-余凝聚環(huán),則FCn-投射模類是投射可解類.

2 Gorenstein FCn-投射模

定義2稱R-模M是Gorenstein FCn-投射模,如果存在FCn-投射模的正合列

P:…→P-2→P-1→P0→P1→…,

使得M?Ker(P0→P1),并且對任意內(nèi)射維數(shù)有限的有限n-余表示模G,序列HomR(P,G)正合.

注2( i )由對稱性,若M是Gorenstein FCn-投射模,則序列P中各同態(tài)的像、核和余核都是Gorenstein FCn-投射模;

( ii )投射模、FC-投射模、FCn-投射模都是Gorenstein FCn-投射模;

例1任意Gorenstein投射模是Gorenstein FCn-投射模.

證明若M是Gorenstein投射模,則存在投射模的正合列

P: …→P-2→P-1→P0→P1→…,

并且M?Ker(P0→P1).因此只需證對任意內(nèi)射維數(shù)有限的有限n-余表示模G,序列HomR(P,G)正合,但這由模G的內(nèi)射維數(shù)有限可得.故M是Gorenstein FCn-投射模. 】

命題1設(shè)R是左n-余凝聚環(huán),M是R-模,則M是Gorenstein FCn-投射模當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立:

(1)存在FCn-投射模的正合列

P: …→P-2→P-1→P0→P1→…,

使得M?Ker(P0→P1);

證明必要性.設(shè)M是Gorenstein FCn-投射模,則存在R-模的正合列

P: …→P-2→P-1→P0→P1→…,

定理1設(shè)R是左n-余凝聚環(huán),M是R-模,則M是Gorenstein FCn-投射模當(dāng)且僅當(dāng)存在FCn-投射模的正合列

P: …→P-2→P-1→P0→P1→…,

使得M?Ker(P0→P1).

證明只需證明充分性.由定義2只需證明對任意內(nèi)射維數(shù)有限的有限n-余表示模G,序列HomR(P,G)正合.設(shè)id(G)=m<∞,我們對m進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納.

當(dāng)m=0時,結(jié)論自然成立.

現(xiàn)設(shè)m≥1,由R是左n-余凝聚環(huán)知G∈FC∞,故存在正合列0→G→N→L→0,其中N是有限余生成內(nèi)射模,L是有限n-余表示模并且id(L)≤m-1.在復(fù)形的短正合列

中,序列HomR(P,N)正合,且由歸納假設(shè)知序列HomR(P,L)正合,所以由文獻(xiàn)[10]定理6.3知,序列HomR(P,G)正合,故M是Gorenstein FCn-投射模. 】

推論2設(shè)R是左n-余凝聚環(huán),M是R-模,則以下結(jié)論等價:

(1)M是Gorenstein FCn-投射模;

(2)存在FCn-投射模的正合列

P: …→P-2→P-1→P0→P1→…,

(3)存在R-模的正合0→M→P→K→0,其中P是FCn-投射模,K是Gorenstein FCn-投射模;

(4)存在R-模的正合列

0→M→P0→P1→…,

其Pj(j∈N)是FCn-投射模.

證明(1)?(2),(1)?(3)?(4)易見.

(4)?(1).設(shè)…→P-2→P-1→M→0是M的投射分解,與(4)中正合列首尾相接可得正合列…→P-2→P-1→P0→P1→…,其中Pj(j∈Z)是FCn-投射模,且M?Ker(P0→P1).由定理1可知M是Gorenstein FCn-投射模. 】

命題2設(shè)R是左n-余凝聚環(huán),0→M→N→L→0是R-模的正合列,則以下結(jié)論成立:

(1)若N是FCn-投射模,L是Gorenstein FCn-投射模,則M是Gorenstein FCn-投射模;

(2)若L是FCn-投射模,M是Gorenstein FCn-投射模,則N是Gorenstein FCn-投射模.

證明(1)由推論2可得.

(2)由M是Gorenstein FCn-投射模知,存在正合列0→M→P→K→0,其中P是FCn-投射模,K是Gorenstein FCn-投射模.考慮推出圖

其中P,L是FCn-投射模,故Q是FCn-投射模.利用中間列由(1)可知,N是Gorenstein FCn-投射模. 】

定義3稱環(huán)R是左GFCnP-閉環(huán),如果Gorenstein FCn-投射左R-模類關(guān)于擴(kuò)張封閉.

定理2設(shè)R是左n-余凝聚環(huán),則R是左GFCnP-閉環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Gorenstein FCn-投射模類是投射可解類.

證明充分性易見.

必要性.設(shè)R是左GFCnP-閉環(huán),只需證明在R-模的任意正合列0→M→N→L→0中,若N,L是Gorenstein FCn-投射模,則M是Gorenstein FCn-投射模.

因為N是Gorenstein FCn-投射模,所以存在R-模的正合列0→N→F→Q→0,其中F是FCn-投射模,Q是Gorenstein FCn-投射模.考慮推出圖

因為L和Q都是Gorenstein FCn-投射模且R是左GFCnP-閉環(huán),所以E是Gorenstein FCn-投射模.對中間行應(yīng)用推論2可知,M是Gorenstein FCn-投射模. 】

由定理2和文獻(xiàn)[2]命題1.4易得如下推論.

推論3設(shè)R是左n-余凝聚的左GFCnP-閉環(huán),則Gorenstein FCn-投射模類關(guān)于直和項封閉.

以下討論FCn-投射模、Gorenstein FCn-投射模和其他模類間的關(guān)系.

定理3設(shè)R是左n-余凝聚環(huán),且任意有限n-余表示R-模的內(nèi)射維數(shù)有限,則以下結(jié)論等價:

(1)任意R-模是Gorenstein FCn-投射模;

(2)任意內(nèi)射R-模是FCn-投射模;

(3)任意Gorenstein內(nèi)射R-模是Gorenstein FCn-投射模;

(4)任意內(nèi)射R模是Gorenstein FCn-投射模;

(5)任意有限生成R-模是Gorenstein FCn-投射模;

(6)任意循環(huán)R-模是Gorenstein FCn-投射模;

(7)任意有限n-余表示R-模是內(nèi)射模;

(8)任意R-模是FCn-投射模.

證明(1)?(3)?(4),(8)?(1)?(5)?(6)易見.

(4)?(2).任取內(nèi)射模E,由(4)知E是Gorenstein FCn-投射模,故存在可裂的短正合列

0→E→P→L→0,

其中P是FCn-投射模,L是Gorenstein FCn-投射模.因為FCn-投射模類關(guān)于直和項封閉,所以E是FCn-投射模.

(2)?(1).對任意R-模M,設(shè)其投射分解和內(nèi)射分解分別為

首尾相接可得正合列

P: …→P1→P0→E0→E1→…,

其中Pj(j∈N)是投射模,Ei(i∈N)是內(nèi)射模,且M?Im(P0→E0).由條件(2)知,Ei(i∈N)是FCn-投射模,故序列P是FCn-投射模的正合列.由定理1即知M是Gorenstein FCn-投射模.

3 Gorenstein FCn-投射維數(shù)

定義4定義R-模M的Gorenstein FCn-投射維數(shù)GFCn-pd(RM)為:GFCn-pd(RM)=inf{m∈N|存在正合列0→Qm→Qm-1→…→Q0→M→0,其中Qi(i=0,1,2,…,m)是Gorenstein FCn-投射模}.若上述集合為空,則規(guī)定GFCn-pd(RM)=∞.

注意到,投射模是Gorenstein FCn-投射模,于是由注記2(iii)和推論3易得如下結(jié)論.

引理2設(shè)R是左n-余凝聚的左GFCnP-閉環(huán),M是R-模,考慮R-模的正合列

其中Qi,Pi(i=0,1,2,…,m-1)是Gorenstein FCn-投射模,則K是Gorenstein FCn-投射模當(dāng)且僅當(dāng)K′是Gorenstein FCn-投射模.

定理4設(shè)m是一非負(fù)整數(shù),R是左n-余凝聚的左GFCn-P閉環(huán),則以下結(jié)論等價:

(1)GFCn-pd(RM)≤m;

(2)存在R-模的正合列

0→Qm→Qm-1→…→Q0→M→0,

其中Qi(i=0,1,2,…,m)是Gorenstein FCn-投射模;

(3)在R-模的任意正合列

0→K→Qm-1→…→Q0→M→0

中,若Qi(i=0,1,2,…,m-1)是Gorenstein FCn-投射模,則K是Gorenstein FCn-投射模.

證明(1)?(2).設(shè)GFCn-pd(RM)=t≤m,則存在R-模的正合列

0→Qt→Qt-1→…→Q0→M→0,

其中Qi(i=0,1,2,…,t)是Gorenstein FCn-投射模.由于Qt是Gorenstein FCn-投射模,故存在正合列

0→Km→Pm-1→…→Pt→Qt→0,

其中Pm-1,…,Pt是FCn-投射模.因為Gorenstein FCn-投射模類是投射可解類,故Km是Gorenstein FCn-投射模,將上述兩序列首尾相接即可得所需正合列.

(2)?(3),(3)?(1)由引理2及定義5即得. 】

命題3設(shè)R是左n-余凝聚環(huán),在R-模的任意正合列0→N→Q→M→0中,若Q是Gorenstein FCn-投射模,則GFCn-pd(RM)≤GFCn-pd(RN)+1.進(jìn)而,當(dāng)R是GFCnP-閉環(huán)時,等號成立.

證明當(dāng)GFCn-pd(RN)=∞時,結(jié)論自然成立.現(xiàn)設(shè)GFCn-pd(RN)=m<∞,則存在R-模的正合列0→Qm→…→Q0→N→0,其中Qi(i=0,1,2,…,m)是Gorenstein FCn-投射模.因此有正合列

0→Qm→…→Q0→Q→M→0,

其中Q,Qi(i=0,1,2,…,m)是Gorenstein FCn-投射模.故

GFCn-pd(RM)≤m+1=GFCn-pd(RN)+1.

進(jìn)一步,若R是GFCn-P-閉環(huán),要使等號成立只需證明GFCn-pd(RN)≤GFCn-pd(RM)-1.當(dāng)GFCn-pd(RM)=∞時,結(jié)論自然成立.現(xiàn)設(shè)GFCn-pd(RM)=m<∞,且

0→K→Pm-2→…→P0→N→0

是模N的部分FCn-投射分解.將此正合列與已知短正合列首尾相接可得正合列

0→K→Pm-2→…→P0→Q→N→0,

其中Q,Pi(i=0,1,2,…,m-2)是Gorenstein FCn-投射模.由定理4可知K是Gorenstein FCn-投射模,因此GFCn-pd(RN)≤m-1. 】

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