楊甲山

(邵陽學院理學與信息科學系,湖南 邵陽 422004)

關于中立型時滯泛函微分方程定性理論的研究，在理論上和實際應用中均有非常重要的意義。例如， 中立型時滯微分方程在高速計算機連接開關電路的無損耗傳輸網(wǎng)絡以及彈性體上質(zhì)點振動問題中都有著其實際應用背景。因此，在這一領域出現(xiàn)了許多研究成果[1-13]。近年來，在計算機科學研究中出現(xiàn)了一些同時具有正負系數(shù)的中立型時滯微分方程的數(shù)學模型，使得這類方程的研究日益受到重視[9-13]。但我們注意到關于具有正負系數(shù)的一階方程或線性方程的研究成果較多[9-13]，而對同時具有正負系數(shù)和阻尼項的高階微分方程的研究尚未涉及。本文考慮如下一類同時具有正負系數(shù)和阻尼項的高階非線性變時滯泛函微分方程

[A(t)φ(x(n-1)(t))]′+B(t)φ(x(n-1)(t))+

(1)

其中t≥t0，t0≥0為常數(shù)；n≥2為偶數(shù)；m≥1,l≥1為整數(shù)；φ(u)=|u|γ-1u(γ>0為常數(shù))；A(t)∈C([t0,+∞),R)，B(t),Qi(t),Rj(t)∈C([t0,+∞),[0,+∞))，i=1,2,…,m,j=1,2,…,l(下同，略)；fi(u)，gj(u)∈C(R,R)，且ufi(u)>0(u≠0)，ugj(u)>0(u≠0)。

本文只討論方程(1)的非平凡解。方程(1)的解x(t)稱為是最終正解(或最終負解)，如果存在常數(shù)μ>t0， 使得當t≥μ時，x(t)>0(或x(t)<0)；方程(1)的解x(t)稱為是振動的，如果它既不最終為正也不最終為負，否則稱它是非振動的；方程(1)稱為是振動的，如果它的所有解都是振動的。為了方便，在本文中假設關于t的不等式(如未說明的)是對一切充分大的實數(shù)t成立的。并考慮如下假設：

1 若干引理

引理1[1]設u在[t0,+∞)上是正的n次可微函數(shù)，u(n)(t)最終定號，則存在t*≥t0和整數(shù)l(0≤l≤n)，當u(n)(t)≥0時，n+l為偶數(shù)；當u(n)(t)≤0時，n+l為奇數(shù)，使得

當l>0時，有u(k)(t)>0，t≥t*，k=0,1,…,l-1；且當l≤n-1時，有(-1)l+ku(k)(t)>0，t≥t*，k=l,l+1,…,n-1。

引理2[2]設u滿足引理1的條件，且u(n-1)(t)u(n)(t)≤0(t≥t*)，則對任何θ∈(0,1)，存在常數(shù)M>0，使得對一切充分大的t有u′(θt)≥Mtn-2u(n-1)(t)。

引理3[3]設a,b為非負實數(shù)，則aλ-λabλ-1+(λ-1)bλ≥0(λ>1)，等號成立當且僅當a=b。

引理4 設(H1)-(H4)成立，x(t)是方程(1)的最終正解，則存在t1≥t0，使得當t≥t1時，x(n-1)(t)>0，x(n)(t)≤0，x′(t)>0。

證明因為x(t)是方程(1)的最終正解，故存在t1≥t0，使得當t≥t1時，x(t)>0,x(σ(t))>0。由方程(1)并注意到條件(H2)和(H3)，得

[A(t)φ(x(n-1)(t))]′+B(t)φ(x(n-1)(t))≤

-Φ(t)φ(x(σ(t)))<0

(2)

所以

{[A(t)φ(x(n-1)(t))]′+B(t)φ(x(n-1)(t))}·

(3)

x(n-1)(t)>0,t≥t1

(4)

進一步有

x(n-2)(t)≤x(n-2)(t1)-

由(2)知

[A(t)φ(x(n-1)(t))]′={A(t)[x(n-1)(t)]γ}′=

A′(t)[x(n-1)(t)]γ+γA(t)[x(n-1)(t)]γ-1x(n)(t)≤0

由此推得

x(n)(t)≤0,t≥t1

(5)

再由(5)和引理1，因為n是偶數(shù)，所以l為奇數(shù)，故x′(t)>0，t≥t1。引理證畢。

2 主要結(jié)果和證明

定理1 設(H1)-(H4)成立，如果存在函數(shù)ρ(t)∈C1([t0,+∞),(0,+∞))使得

ρ(s)[Φ(s)-

(6)

其中

(7)

常數(shù)θ∈(0,1)和M>0如引理2。則方程(1)是振動的。

證明設方程(1)存在非振動解x(t)，不失一般性，設x(t)>0,x(σ(t))>0，t≥t1≥t0。由引理4知，x(n-1)(t)>0,x(n)(t)≤0,x′(t)>0。定義廣義的Riccati變換

則V(t)>0(t≥t1)，且由(2)式和引理2，可以得到

(8)

由引理3，有

λabλ-1-aλ≤(λ-1)bλ,a>0,b>0,λ>1

(9)

現(xiàn)取

將其代入(9)式，并注意到(7)式，得

(10)

將(10)式代入(8)式，對于t≥t1，有

兩邊從t1到t積分得

V(t1)-V(t)≤V(t1)

上式取上極限，則得到與(6)式矛盾！定理證畢。

定理2 設(H1)-(H4)成立，如果存在常數(shù)k>γ及函數(shù)ρ(t)∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，使得

ρ(s)·

(11)

其中常數(shù)θ∈(0,1)和M>0如引理2，Ψ(t)定義如(7)式。則方程(1)是振動的。

證明設方程(1)存在非振動解x(t)，不失一般性，設x(t)>0,x(σ(t))>0，t≥t1≥t0。同定理1的證明，得到(8)式，即當s≥t1時，有

上式兩邊同乘以(t-s)k，并從t1到t(t≥t1)積分，由分部積分法得

(12)

現(xiàn)取

將其代入(9)式，并注意到(7)式，得

(13)

綜合(12)式、(13)式，得

ρ(s)[Φ(s)(t-s)γ+1-Ψ(s)·

注：若方程(1)中n=2,m=l=1，B(t)≡0,R(t)≡0,f(u)=u,σ(t)=t，并在定理2中取ρ(t)=1，于是由定理2，可得如下結(jié)果。

則方程[A(t)φ(x′(t))]′+Q(t)φ(x(t))=0(t≥t0)是振動的。

推論1就是文獻[3]中的定理4.7.5，也是Li等[4]于1995年推廣了Kamenev的結(jié)果所得到的結(jié)論,本文將其推廣到了同時具有正負系數(shù)和阻尼項的高階非線性變時滯泛函微分方程(1)。

例1 考慮如下同時具有正負系數(shù)和阻尼項的變時滯高階微分方程

[A(t)φ(x(n-1)(t))]′+

B(t)φ(x(n-1)(t))+Q(t)f(φ(x(σ(t)))-

R(t)g(φ(x(σ(t))))=0, (t≥1)

(14)

這是方程(1)的特殊情形:m=l=1,t0=1。

≥6=α(u≠0),

即條件(H1)-(H4)是成立的。為了簡單，在定理1中我們?nèi)ˇ?t)=1，并注意到(7)式，則

因此定理1的條件全部滿足，于是由定理1知此時方程(14)是振動的。

Φ(t)=αQ(t)-βR(t)=

即條件(H1)-(H4)是成立的。現(xiàn)在定理2中取ρ(t)=1，k=2>γ，并注意到當n=2時M=θ=1，則

+∞ (t→+∞)

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