李愛君

【摘要】偶數(shù)能被2（抽象意義下自然）整除，奇數(shù)不能被2（抽象意義下自然）整除,奇數(shù)（包括素?cái)?shù)）卻能被2（抽象意義下）相對(duì)整除，因?yàn)樾?shù)0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……絕對(duì)值的小數(shù)單位均為最大的小數(shù)單位0。5，最大的小數(shù)單位0。5決定著小數(shù)0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5，…的絕對(duì)值擁有相對(duì)整性質(zhì)，相對(duì)整性質(zhì)又為奇數(shù)能被2相對(duì)整除提供科學(xué)的理論依據(jù)，因此，1+1=2或者說(shuō)2是數(shù)學(xué)首要公理。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)單位；最大的分?jǐn)?shù)單位是12；分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)；小數(shù)單位；最大的小數(shù)單位是0。5；小數(shù)單位的個(gè)數(shù)；相對(duì)整性質(zhì)；為什么1+1=2

1。序 言

為什么1+1=2，欲想回答如此數(shù)學(xué)矛盾，初等數(shù)學(xué)需要引進(jìn)新概念、定義，譬如小數(shù)單位、最大的小數(shù)單位是0。5、小數(shù)單位的個(gè)數(shù)、相對(duì)整性質(zhì)，等等新概念，如此新的數(shù)學(xué)概念、定義與內(nèi)涵既簡(jiǎn)單又深?yuàn)W，如果不引進(jìn)一些數(shù)學(xué)新概念,如果不去辯證認(rèn)識(shí)，如果不去辯證理解，無(wú)論如何那還是無(wú)法理解接受數(shù)學(xué)理論為什么1+1=2，這就是數(shù)學(xué)矛盾為什么1+1=2的焦點(diǎn)和難點(diǎn)與阻力點(diǎn)，同時(shí)亦明確指出為什么1+1=2絕對(duì)不是質(zhì)疑算術(shù)公理1+1=2的正確性、而是科學(xué)回答算術(shù)公理1+1=2蘊(yùn)含著的基本原理與哲理，希望數(shù)學(xué)教師率先轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維觀念，正視數(shù)學(xué)真理。

2敝匚路質(zhì)概念與定義

稍有數(shù)學(xué)知識(shí)的人們都曉得分?jǐn)?shù)、份數(shù)（分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)）、分?jǐn)?shù)單位，關(guān)于什么是分?jǐn)?shù)、什么是分?jǐn)?shù)單位、什么是份數(shù)、什么是小數(shù)計(jì)數(shù)單位，不妨重溫分?jǐn)?shù)概念，把一個(gè)單位“1”分成若干等份，表示這樣一份或幾份的數(shù)稱為分?jǐn)?shù)，如12，15，26，73，分?jǐn)?shù)的一般形式為mn(m，n為正整數(shù))，n是把一個(gè)單位“1”平均分成的份數(shù)，稱為這個(gè)分?jǐn)?shù)的“分母”，1n是表示其中一份的數(shù)，稱為“分?jǐn)?shù)單位”，m表示其份數(shù)，即m個(gè)分?jǐn)?shù)單位，稱為這一分?jǐn)?shù)的“分子”，中間的橫線（本文中是斜線）稱為“分?jǐn)?shù)線”，分母n規(guī)定不能為零。當(dāng)上述m為負(fù)數(shù)時(shí)mn為負(fù)分?jǐn)?shù)，正分?jǐn)?shù)與負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)單位1n，當(dāng)n=1，2，3，4，5，6，7，8，9,10……則12，13，14，15，16，17，18，19，110……，分別是分?jǐn)?shù)單位，當(dāng)n=1時(shí)，1n=11=1是特殊情況，屬于整數(shù)分?jǐn)?shù)，應(yīng)另當(dāng)別論。很顯然，最大的分?jǐn)?shù)單位是12。

3敝匚灤∈計(jì)數(shù)單位的概念與定義

小數(shù)計(jì)數(shù)單位是指小數(shù)計(jì)數(shù)方法中，小數(shù)點(diǎn)右邊十分位、百分位、千分位……上的最具代表性的小數(shù)單位，分別為：0。1110，0。011100，0。00111000……最大的小數(shù)計(jì)數(shù)單位是0。1，初等數(shù)學(xué)只引入小數(shù)計(jì)數(shù)單位這對(duì)于理性認(rèn)識(shí)還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，這是因?yàn)樾?shù)單位概念涵蓋著小數(shù)計(jì)數(shù)單位的含義與意義，而且最大的小數(shù)計(jì)數(shù)單位是0。1并非0。5，小數(shù)單位概念的意義更深刻、更廣泛，涵蓋著小數(shù)計(jì)數(shù)單位，并且小數(shù)的絕對(duì)值僅僅是小數(shù)內(nèi)涵的一部分內(nèi)容，因此說(shuō)，如果不引進(jìn)小數(shù)單位、小數(shù)單位的個(gè)數(shù)、最大的小數(shù)單位是0。5、相對(duì)整性質(zhì)，等等一些新概念，就不可能正確地回答數(shù)學(xué)真理為什么1+1=2，敬請(qǐng)數(shù)學(xué)教師斟酌、定奪！

4筆裁詞切∈單位

如果將分?jǐn)?shù)單位12，13，14，15，16，17，18，19，110……分別轉(zhuǎn)化為小數(shù)表達(dá)形式：0。5，0。3?，0。25，0。2，0。1 6?，0。1?4285 7?，0。125，0。1?，0。1……如果將小數(shù)0。5，0。 3?，0。25，0。2，0。1 6?，0。1?4285 7?，0。125，0。1?，0。1……界定為小數(shù)單位，那么就可以將小數(shù)0。5，0。3?，0。25，0。2，0。1 6?，0。142857?，0。125，0。 1?，0。1……統(tǒng)稱為小數(shù)單位，這是一個(gè)極其重要重大的不可缺少的認(rèn)識(shí)，分?jǐn)?shù)與小數(shù)互相對(duì)應(yīng)，小數(shù)單位的個(gè)數(shù)與分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)互相對(duì)應(yīng)，小數(shù)單位與分?jǐn)?shù)單位互相對(duì)應(yīng)，小數(shù)單位、分?jǐn)?shù)單位是一個(gè)相對(duì)整體。

5弊畬蟮男∈單位是0。5

因?yàn)?2是最大的分?jǐn)?shù)單位，那么0。5就是最大的小數(shù)單位，而且小數(shù)單位與分?jǐn)?shù)單位相互對(duì)應(yīng)、彼此相當(dāng)，因此，初等數(shù)學(xué)教科書公認(rèn)12是最大的分?jǐn)?shù)單位，那么初等數(shù)學(xué)教科書也需要而且務(wù)必公認(rèn)0。5是最大的小數(shù)單位，分?jǐn)?shù)與小數(shù)互相對(duì)應(yīng)、份數(shù)（分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)）與小數(shù)單位的個(gè)數(shù)互相對(duì)應(yīng)、最大的分?jǐn)?shù)單位12與最大的小數(shù)單位0。5互相對(duì)應(yīng)，務(wù)必互相聯(lián)系地看問(wèn)題，當(dāng)然無(wú)理數(shù)例外，因此，引進(jìn)小數(shù)單位、最大的小數(shù)單位是0。5、相對(duì)整性質(zhì)是正確的、切合實(shí)際的！需要人們轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)思維觀念，辯證認(rèn)識(shí)，辯證理解，正確看待。

6筆裁詞竅嘍哉性質(zhì)

相對(duì)整性質(zhì)：其他小數(shù)的絕對(duì)值對(duì)比小數(shù)0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的絕對(duì)值更零散，換言之，小數(shù)0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的絕對(duì)值對(duì)比其他小數(shù)的絕對(duì)值相對(duì)整裝，在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中，將這一相比較而言得到的相對(duì)整裝性質(zhì)統(tǒng)稱為小數(shù)0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的相對(duì)整性質(zhì)，為什么小數(shù)0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的絕對(duì)值會(huì)擁有相對(duì)整性質(zhì)，因?yàn)樗鼈兊男?shù)單位都是最大的小數(shù)單位0。5，最大的小數(shù)單位0。5決定著小數(shù)0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的絕對(duì)值擁有相對(duì)整性質(zhì)，因此，唯獨(dú)小數(shù)0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5，……的絕對(duì)值擁有相對(duì)整性質(zhì)，一次全部確定下來(lái)，無(wú)須逐一驗(yàn)證，這是規(guī)律，其他小數(shù)不具備相對(duì)整性質(zhì)，因?yàn)槠渌?shù)的小數(shù)單位0。3?，0。25，0。2，0。1 6?，0。1?4285 7?，0。125，0。 1?，0。1……均小于最大的小數(shù)單位0。5，一次全部排除，無(wú)須逐一驗(yàn)證，這是規(guī)律，相對(duì)整性質(zhì)是算術(shù)公理的“彎彎繞”，需要運(yùn)用辯證邏輯辯證分析，辯證理解，正確看待，再次強(qiáng)調(diào)說(shuō)明，千萬(wàn)莫誤解，并非所有的小數(shù)都具有相對(duì)整性質(zhì)，更不是小數(shù)的絕對(duì)值越大才具有相對(duì)整性質(zhì)，只有小數(shù)0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的絕對(duì)值擁有相對(duì)整性質(zhì)，否則就是對(duì)相對(duì)整性質(zhì)的誤讀，誤解。

7。為什么1+1=2

偶數(shù)能被2在抽象意義下自然整除，奇數(shù)不能被2在抽象意義下自然整除，奇數(shù)（包括素?cái)?shù)）卻能被2在抽象意義下相對(duì)整除，因?yàn)樾?shù)0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的絕對(duì)值擁有相對(duì)整性質(zhì)，為奇數(shù)能被2相對(duì)整除提供科學(xué)的理論依據(jù)（亦可以理解成為奇數(shù)能被2哲理整除提供科學(xué)的理論根據(jù)），1+1=2或者說(shuō)2是數(shù)學(xué)首要公理；偶數(shù)能被2在抽象意義下自然整除，奇數(shù)不能被2在抽象意義下自然整除、奇數(shù)卻著實(shí)能被2在抽象意義下相對(duì)整除，傳統(tǒng)意義的偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除是指奇數(shù)與偶數(shù)二者的排斥性、對(duì)立性、差異性，偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除、奇數(shù)卻能被2在抽象意義下相對(duì)整除是指奇數(shù)和偶數(shù)的異中之同、差異中的共性與同一性，二者與哲學(xué)的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律相吻合，有比較有鑒別方知奇數(shù)與偶數(shù)存在著“差異性”“差異中的共性與同一性”，因此說(shuō)，奇數(shù)與偶數(shù)相反相成對(duì)立統(tǒng)一，蘊(yùn)含著哲學(xué)的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律，哥德巴赫猜想——數(shù)論的“1+1”是數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中偶環(huán)節(jié)上的算術(shù)公理?yè)碛锌陀^存在性，以上所談就是算術(shù)公理1+1=2蘊(yùn)含著的基本原理與哲理，哲學(xué)（自然辯證法）以對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律為切入點(diǎn)注入數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、注入初等數(shù)學(xué)，為算術(shù)公理為什么1+1=2、初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論指明了正確的前進(jìn)方向！務(wù)必要突破傳統(tǒng)數(shù)學(xué)觀念的嚴(yán)重束縛！

【參考文獻(xiàn)】

［1］M?克萊因。古今數(shù)學(xué)思想［M］。北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯。上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1981。

［2］谷超豪。數(shù)學(xué)詞典［M］。上海：上海辭書出版社，1993。