劉亞敏

目前，高等學(xué)校的課程改革正在全面深入推進(jìn)，高等數(shù)學(xué)是高等學(xué)校的一門公共必修基礎(chǔ)課，它的改革也變得越來(lái)越迫切，隨著社會(huì)的進(jìn)步與科學(xué)的發(fā)展，對(duì)高等數(shù)學(xué)課程的要求越來(lái)越高，賦予的內(nèi)涵也越來(lái)越豐富。今日高等數(shù)學(xué)不僅要理論知識(shí)系統(tǒng)嚴(yán)謹(jǐn)，而且要有應(yīng)用性，要結(jié)合所有的科技領(lǐng)域、社會(huì)的各個(gè)行業(yè)、人們的日常生活和工作，大量增加高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用篇幅，為學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，同時(shí)，也為提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力提供豐富的素材。下面，筆者僅就導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用略做一些探討。

一、導(dǎo)數(shù)在邊際分析中的應(yīng)用

邊際分析研究的是經(jīng)濟(jì)函數(shù)的絕對(duì)改變量與絕對(duì)變化率，它所分析的是一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量改變一個(gè)單位時(shí)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量改變多少。在經(jīng)濟(jì)分析中，描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量y對(duì)于另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量x的變化通常要用到平均變化率和瞬時(shí)變化率這兩個(gè)概念，平均變化率就是函數(shù)增量與自變量增量之比，而瞬時(shí)變化率就是函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，即當(dāng)自變量增量趨于零時(shí)平均變化率的極限。如果函數(shù)y=f(x)在x0處可導(dǎo)，則在(x0，x0+Δx)內(nèi)的平均變化率為ΔyΔx；在x=x0處的瞬時(shí)變化率為limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=f′(x0)，此式表示y關(guān)于x在“邊際上”x0處的變化率。經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱達(dá)到x=x0前或后一個(gè)單位時(shí)y的變化為邊際變化。實(shí)際上，“邊際”就是導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的代名詞。即經(jīng)濟(jì)函數(shù)y=f(x)對(duì)自變量x的一階導(dǎo)數(shù)f′(x)稱為f(x)的邊際函數(shù)，記作My。邊際函數(shù)My=f′(x)的經(jīng)濟(jì)意義：在自變量x水平上，當(dāng)自變量改變一個(gè)單位時(shí)經(jīng)濟(jì)函數(shù)y=f(x)改變量的近似值。當(dāng)然，隨著經(jīng)濟(jì)變量x和y的具體含義的不同，邊際函數(shù)經(jīng)濟(jì)意義的具體含義也有所不同。比如:設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品q單位時(shí)所需要的總成本函數(shù)為C=C(q)，則稱MC=C′(q)為邊際成本。邊際成本的經(jīng)濟(jì)含義是：當(dāng)產(chǎn)量為q時(shí)，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總成本為C′(q)。

在經(jīng)濟(jì)分析中涉及的不僅有邊際成本，還有邊際收益、邊際利潤(rùn)、邊際需求，等等，它們?cè)跀?shù)學(xué)上都可以表達(dá)為各自總函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

例如:某企業(yè)對(duì)利潤(rùn)及產(chǎn)品的產(chǎn)量情況進(jìn)行大量統(tǒng)計(jì)分析后，得出總利潤(rùn)L=L(x)（元）與每月產(chǎn)量x（噸）的關(guān)系為：L(x)=250x-5x2，試確定每月生產(chǎn)10噸，25噸，30噸的邊際利潤(rùn)，并作出經(jīng)濟(jì)解釋。

顯然，邊際利潤(rùn)L′(x)=250-10x，則L′（10）=150，L′（25）=0，L′（30）=-50，上述結(jié)果表明:當(dāng)每月產(chǎn)量為10噸時(shí)再增加一噸，利潤(rùn)將增加150元；當(dāng)每月產(chǎn)量為25噸時(shí)再增加一噸，利潤(rùn)不變；當(dāng)每月產(chǎn)量為30噸時(shí)再增加一噸，利潤(rùn)將減少50元。這說(shuō)明：對(duì)于一個(gè)企業(yè)來(lái)說(shuō)，并非生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量越多，利潤(rùn)就越高。

因此，在經(jīng)濟(jì)工作中，邊際分析尤為重要，對(duì)邊際問(wèn)題的正確分析，對(duì)于企業(yè)的決策者作出正確的決策起著十分重要的作用。

二、導(dǎo)數(shù)在彈性分析中的應(yīng)用

邊際分析所研究的是經(jīng)濟(jì)函數(shù)的絕對(duì)改變量與絕對(duì)變化率。在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，我們還需要研究經(jīng)濟(jì)函數(shù)的相對(duì)改變量與相對(duì)變化率——彈性分析。

在經(jīng)濟(jì)工作中，彈性分析所研究的是經(jīng)濟(jì)函數(shù)的相對(duì)改變量與相對(duì)變化率，它所分析的是一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變動(dòng)百分之一會(huì)使另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變動(dòng)百分之幾。它所反映的是一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量對(duì)另一個(gè)相關(guān)經(jīng)濟(jì)變量變化的敏感程度。在經(jīng)濟(jì)分析中，彈性分析的應(yīng)用也非常廣泛，許多現(xiàn)實(shí)生活中的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象都要用彈性來(lái)解釋和分析。通常有“弧彈性”和“點(diǎn)彈性”——彈性系數(shù)。

設(shè)函數(shù)y=f(x)可導(dǎo)，則稱ΔyyΔxx，即因變量變動(dòng)的百分比與自變量變動(dòng)的百分比之比為“弧彈性”。而稱EyEx=limΔx→0ΔyyΔxx=y′y?x為“點(diǎn)彈性”，即“點(diǎn)x處的彈性”?！包c(diǎn)x處的彈性”的經(jīng)濟(jì)意義：在點(diǎn)x處，當(dāng)自變量改變1%時(shí)，函數(shù)f(x)近似地改變EyEx%。它反映的是：自變量變化時(shí)函數(shù)變化的靈敏度。

在經(jīng)濟(jì)分析中通常有：需求價(jià)格彈性、供給彈性、收益彈性，等等。需求價(jià)格彈性，簡(jiǎn)稱需求彈性，把握好需求價(jià)格彈性，對(duì)市場(chǎng)分析預(yù)測(cè)和定價(jià)策略具有重要的參考價(jià)值。

若需求函數(shù)：Q=Q(p)，則需求彈性：EQEp=Q′Q?p。

①若EQEp＞1，則該商品的需求為高彈性或富有彈性。此時(shí)，商品需求量的變化幅度大于價(jià)格的變化幅度。此時(shí)，適當(dāng)降價(jià)，商品的需求量將有較大幅度的增加，從而總收入就會(huì)增加。

②若EQEp=1，則該商品的需求為單位彈性。此時(shí)，商品需求量的變化幅度等于價(jià)格的變化幅度。此時(shí)，無(wú)論降價(jià)還是漲價(jià)，對(duì)總收入基本沒(méi)有影響。

③若EQEp＜1，則該商品的需求為低彈性或缺乏彈性。此時(shí)，商品需求量的變化幅度小于價(jià)格的變化幅度。此時(shí)，降價(jià)將使總收入減少。反之，適當(dāng)漲價(jià)，需求量雖然減少，但減少的幅度小于漲價(jià)的幅度，總收入將會(huì)增加。

根據(jù)需求彈性的經(jīng)濟(jì)意義，當(dāng)商品需求有較高彈性時(shí)，商品的需求量對(duì)價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)較為敏感，經(jīng)營(yíng)者如采用適當(dāng)降價(jià)銷售，能促進(jìn)消費(fèi)者消費(fèi)，較大地增加銷售量，薄利多銷，可明顯增加經(jīng)濟(jì)收益，當(dāng)商品需求低彈性時(shí)，商品的需求量對(duì)價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)遲鈍，經(jīng)營(yíng)者若適當(dāng)提高商品的價(jià)格，銷售量減少不大，經(jīng)營(yíng)者不會(huì)因銷售量減少而影響總的經(jīng)濟(jì)收益。

隨著信息化的到來(lái)，許多領(lǐng)域越來(lái)越多地應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)，因此，高等數(shù)學(xué)課程也應(yīng)與時(shí)俱進(jìn)，也要信息化、應(yīng)用化，增加應(yīng)用案例的篇幅，這樣，高等數(shù)學(xué)課程改革與建設(shè)的道路才會(huì)越走越寬。