晁豐成

【摘要】從2005年開(kāi)始實(shí)施的蘇教版新教材必修3中有關(guān)概率計(jì)算問(wèn)題主要包括兩種概率模型：古典概型和幾何概型，掌握古典概型和幾何概型的概率計(jì)算是基本要求，在平時(shí)模擬考試及高考中均以中低檔題出現(xiàn)，但學(xué)生在平時(shí)解題或考試中仍然會(huì)出現(xiàn)各種各樣的問(wèn)題，筆者認(rèn)為有必要對(duì)學(xué)生存在的主要障礙作一些探討，以便指導(dǎo)平時(shí)教學(xué)并適應(yīng)新課改的需要。

【關(guān)鍵詞】概率；計(jì)算

結(jié)合平時(shí)教學(xué)，我認(rèn)為在平時(shí)的概率計(jì)算題中的常見(jiàn)錯(cuò)誤主要如下：

一、有序與無(wú)序不統(tǒng)一

例1 在一個(gè)盒中裝有15支圓珠筆，其中7支一等品、5支二等品和3支三等品，從中任取2支，問(wèn)：下列事件的概率有多大？

（1）恰有一支一等品；（2）恰有兩支一等品；（3）沒(méi)有三等品。

僅以第（1）問(wèn)為例，簡(jiǎn)單介紹主要錯(cuò)誤情況。

錯(cuò)解 記恰有一支一等品為事件A，則從15支圓珠筆中抽取兩支共包含15×14(個(gè))基本事件，事件A中共有7×8（個(gè)）基本事件，∴P(A)＝56210＝415。

我們現(xiàn)在重新審視這道題，從15支圓珠筆中抽取兩支可以理解為有序抽取，即逐一抽取，此時(shí)共有基本事件的總數(shù)可用分步原理解決：

第一次抽取共有15種結(jié)果，第二次抽取共14種結(jié)果。

∴從15支圓珠筆中抽取兩支共有15×14＝210(種)結(jié)果。

事件A為恰有一支一等品，研究它包含基本事件也必須理解為有序抽取，共包含兩種情況：

情況一：第一次取到一等品且第二次取到非一等品，共含有7×8＝56(個(gè))基本事件。

情況二：第一次取到非一等品且第二次取到一等品，共包含8×7＝56(個(gè))基本事件。

∴事件A中共包含基本事件的個(gè)數(shù)為56＋56＝112(個(gè))。

到此處，同學(xué)們錯(cuò)解本題的原因就真相大白了，在求基本事件總數(shù)時(shí)所用的抽取方式為有序抽取，而在求事件A基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)又用無(wú)序抽取，即在一個(gè)問(wèn)題中有序與無(wú)序不統(tǒng)一，此時(shí)必然出錯(cuò)。

正解一 記取到一支一等品為事件A。

從15支圓珠筆中抽取兩支共包含15×14＝210(個(gè))基本事件，事件A中共有7×8＋8×7(個(gè))基本事件。

∴P(A)＝112210＝815。

本題也可將抽取過(guò)程理解為無(wú)序抽取。

正解二 記取到一支一等品為事件A。

從15支圓珠筆中抽取兩支共有15×142＝105(種)結(jié)果，事件A中共有7×8＝56(種)結(jié)果。

∴P(A)＝56105＝815。

由此可知，無(wú)論從有序抽取還是無(wú)序抽取的角度處理古典概型的摸球問(wèn)題都是可以的，關(guān)鍵是有序與無(wú)序的統(tǒng)一。

二、實(shí)際背景理解不透

例2 從2008名學(xué)生中選取50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，若采用下面的方法選取：先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取50人，則在2008人中，每人入選的概率為