李猛

摘要： 建立數(shù)學模型對解決實際生活中的問題有著重要的意義，本文通過幾個生活中的問題，進一步闡述了數(shù)學建模的重要性。

關鍵詞： 數(shù)學模型數(shù)學建模生活問題

當一個數(shù)學結構作為某種形式語言（即包括常用符號、函數(shù)符號、謂詞符號等符號集合）解釋時，我們就把這個數(shù)學結構稱為數(shù)學模型。也就是說，數(shù)學模型是通過抽象、簡化的過程，使用數(shù)學語言對實際現(xiàn)象的一個近似的刻畫，以便于人們更深刻地認識所研究的對象。

數(shù)學模型并非是新生事物，自從有了數(shù)學的那一天起，數(shù)學模型也就誕生了。在實際生活中，能夠直接使用數(shù)學方法解決的問題并不多見。然而，應用數(shù)學知識解決實際生活問題的第一步就是通過實際生活問題本身，從形式上雜亂無章的現(xiàn)象中抽象出恰當?shù)臄?shù)學關系，也就是構建這個實際問題的數(shù)學模型，其過程就是數(shù)學建模的過程。

中學生學習數(shù)學的目的在于如何使用所學的數(shù)學知識解決生產、生活中的實際問題?！缎抡n程標準》也重點指出：通過有用的數(shù)學知識來解決實際生活中的應用題。因此，教師在中學數(shù)學課堂教學中，要培養(yǎng)中學生應用數(shù)學的意識，以及建立適當?shù)臄?shù)學模型分析、解決問題的能力。下面就我在中學數(shù)學課堂實踐中的做法，與大家一同探討。

一、利用二元一次方程組建模

例1：在2007年的暑假期間，小軍和他的爸爸媽媽一塊乘坐火車從A地到B地去旅游，在火車站的售票大廳看到了下表。媽媽對小軍說：“你能算出火車行駛的里程數(shù)和票價之間的關系嗎？”

請問：你能給出票價y與火車行駛里程x之間的關系式嗎？如果A地到某地的距離為75km，票價應該定價為多少元？

解析：設票價y與火車行駛里程x之間的函數(shù)關系為y=kx+b，當x=115時，y=25；當x=90時，y=20，所以有

115k+b=2590k+b=20

解得

k=0.2b=2

因此票價y與火車行駛里程x之間的函數(shù)關系式為y=0.2x+2。當x=75時，y=17。也就是說，A地到該地的票價應該定價為17元。

本題通過利用二元一次方程組建立數(shù)學模型，解決了在實際生活中遇到的問題，并將該問題進行了深化。

二、利用分式建模

例2：從A地到B地有兩條路，每條路都是3km，其中第一條路是平路，第二條路有1km的上坡路和2km的下坡路。小華在上坡路上的騎車速度為vkm/h，在平路上的騎車速度為2vkm/h，在下坡路上的騎車速度為3vkm/h，那么：

（1）當小華走第二條路時，他從A地到B地需要多長時間？

（2）從A地到B地他走哪條路花費的時間較少？少用多長時間？

解析：（1）走第二條路時，從A地到B地所需時間=走上坡路的時間+走下坡路的時間=+=。

（2）走第一條路時，從A地到B地所需時間為，-=，于是走第二條路花費的時間較少，少用h。

本題通過從實際生活問題中建立分式模型，既解決了生活問題，又培養(yǎng)了學生的建模能力。

三、利用不等式組建模

例3：2008年8月，北京奧運會帆船比賽在青島帆船中心舉行。觀看帆船比賽的船票分為兩種：Ａ種船票600元/張，B種船票120元/張。某旅行社要為一個旅行團代購部分船票，在購票費不超過5000元的情況下，購買A，B兩種船票共15張，要求Ａ種船票的數(shù)量不少于Ｂ種船票數(shù)量的一半。若設購買Ａ種船票ｘ張，請你解答以下問題。

（1）共有幾種符合題意的購票方案？

（2）根據計算判斷：哪種購票方案更省錢？

解析：（1）設購買B種船票y張，于是根據題意可得

x+y=15x≥y600x+120y≤5000

解得5≤x＜。因為x為整數(shù)，所以x可取5、6。

即有兩種購票方案：購買A種船票5張，B種船票10張；或購買A種船票6張，B種船票9張。

（2）5×600+10×120=4200，6×600+9×120=4680，所以購買A種船票6張，B種船票9張這種方案最省錢。

四、利用函數(shù)關系建模

例4：某市農村已經實行了農民新型合作醫(yī)療保險制度。享受醫(yī)保的農民可以在規(guī)定的醫(yī)院就醫(yī)并按規(guī)定標準報銷部分醫(yī)療費用。下表是醫(yī)療費用報銷的標準：

（說明：住院醫(yī)療費用的報銷分段計算。）

（1）設某農民一年中住院的實際醫(yī)療費用為x元（5000＜x≤20000），按標準報銷的金額為y元，試求出y與x的關系式。

（2）若某農民一年內本人自付住院醫(yī)療費17000元（自付醫(yī)療費=實際醫(yī)療費-按標準報銷的金額），則該農民當年實際醫(yī)療費用共多少元。

解析：（1）當5000＜x≤20000時，

y=5000×30%+（x-5000）×40%=0.4x-500

（2）由自付醫(yī)療費和報銷標準可以判斷，該農民當年實際醫(yī)療費應該在20000元以上。當x＞20000時，按標準報銷的金額

y=5000×30%+（20000-5000）×40%+（x-20000）×50%=0.5x-2500

根據題意還有

x-y=17000

聯(lián)解兩式可得，x=29000。也就是說該農民當年實際醫(yī)療費用共29000元。

以上是我在教學中讓學生完成的幾道生活中的問題，這些問題都可以通過建立數(shù)學模型進行解決。教師要不斷引導學生應用數(shù)學建模的思想去解決生活中的問題，讓學生養(yǎng)成應用數(shù)學知識去解決問題的方法和習慣，從而提高學生解決數(shù)學問題的能力。

參考文獻：

［1］韓中庚.數(shù)學建模方法及其應用［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［2］蔡鎖章.數(shù)學建模原理與方法［M］.北京：海洋出版社，2000.