韓平

在機(jī)械能與圓周運(yùn)動(dòng)的綜合問(wèn)題中，常常會(huì)遇到有關(guān)臨界條件的判斷. 求解此類(lèi)問(wèn)題，在正確應(yīng)用機(jī)械能守恒定律的同時(shí)，要注意物體做圓周運(yùn)動(dòng)約束特征的分析. 例如，當(dāng)物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，若為輕繩約束，物體能通過(guò)最高點(diǎn)的臨界速度為■；若為輕桿約束，物體能通過(guò)最高點(diǎn)的臨界速度則趨近于零. 有時(shí)，還需考慮外力提供向心力的約束條件，如繩子所能承受的最大張力等.

■ 例1如圖1所示，長(zhǎng)為l的輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球，另一端有固定轉(zhuǎn)軸O，桿可在豎直平面內(nèi)繞軸O自由轉(zhuǎn)動(dòng). 若在最低點(diǎn)P處給小球一沿切線(xiàn)方向的初速度■，不計(jì)空氣阻力，則以下判斷正確的是（）

A. 小球不能到達(dá)最高點(diǎn)

B. 小球能到達(dá)最高點(diǎn)，且在Q點(diǎn)的速度小于■

C. 小球能到達(dá)最高點(diǎn)，且在Q點(diǎn)受到輕桿向上的彈力

D. 小球能到達(dá)最高點(diǎn)，且在Q點(diǎn)受到輕桿向下的彈力

■ 解析對(duì)于輕桿約束，物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)能通過(guò)最高點(diǎn)的臨界速度趨近于零. 假設(shè)小球能到達(dá)最高點(diǎn)Q點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，■mv2P=mg·2l+■mv2Q，而vP=■，可得小球在Q點(diǎn)的速度為vQ=■＜■. 小球在Q點(diǎn)所需向心力F=m■=■mg＜mg，故小球在Q點(diǎn)受到輕桿向上的彈力. 本題正確選項(xiàng)為BC.

本題若混淆了輕桿與輕繩的約束條件，則會(huì)誤選A.

■ 例2一根內(nèi)壁光滑的細(xì)圓鋼管，形狀如圖2所示，處于豎直平面內(nèi). 一粒小鋼球被彈簧槍從與鋼管圓心O處于同一水平面上的A處正對(duì)管口射入，射擊時(shí)無(wú)機(jī)械能損失. 第一種情況使小鋼球恰能到達(dá)最高點(diǎn)C處；第二種情況使小鋼球經(jīng)最高點(diǎn)C處后平拋，恰好又落回到A處. 這兩種情況下彈簧槍的彈性勢(shì)能之比為多少？

■ 解析小鋼球在豎直細(xì)圓鋼管內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，屬于雙面約束，類(lèi)似輕桿約束. 在第一種情況下，小鋼球恰能到達(dá)最高點(diǎn)C處，說(shuō)明到C處的速度為零. 在第二種情況下，小鋼球從C處開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)，又恰好落回A處，說(shuō)明平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移與豎直位移大小相等，且x=y=R. 選小鋼球、地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，因只有重力做功，故兩種情況下系統(tǒng)的機(jī)械能均守恒. 取鋼管圓心O所處的水平面為重力勢(shì)能的參考平面，由機(jī)械能守恒定律可得

第一種情況Ep1=mgR，

第二種情況Ep2=mgR+■mv2，

又R=vt=■gt2，

聯(lián)立以上兩式解得Ep2=■mgR，

故彈簧槍的彈性勢(shì)能之比為■=■.

■ 例3如圖3所示，質(zhì)量為m的小球由長(zhǎng)為l的細(xì)線(xiàn)系住，細(xì)線(xiàn)的另一端固定在A點(diǎn)，AB是過(guò)A的豎直線(xiàn)，E為AB上的一點(diǎn)，且AE=■l，過(guò)E作水平線(xiàn)EF，在EF上釘鐵釘D，若線(xiàn)能承受的最大拉力是9mg，現(xiàn)將小球懸線(xiàn)拉至水平，然后由靜止釋放，若小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求釘子位置在水平線(xiàn)上的取值范圍（不計(jì)線(xiàn)與釘子碰撞時(shí)的能量損失）.

■ 解析設(shè)在D點(diǎn)時(shí)繩剛好承受最大拉力，DE=x，則AD=■.

懸線(xiàn)碰到釘子后，繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=l-AD=l-■.

當(dāng)小球落到D點(diǎn)正下方時(shí)，繩受的拉力為F，此時(shí)小球的速度為v，由牛頓第二定律有

F-mg=m■，

因F=9mg，故有m■=8mg，

由機(jī)械能守恒定律得mg■+r=■mv2，

即v2=2g■+r，

由以上三式聯(lián)立解得x=■l.

設(shè)在D′點(diǎn)，小球剛能繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)圓周的最高點(diǎn)，ED′=x′，則

ED′=■，

故r′=l-AD′=l-■，

在最高點(diǎn)mg=m■，

由機(jī)械能守恒定律得mg■-r′=■mv′2，

由以上三式聯(lián)立解得x′=■l.

可見(jiàn)，在水平線(xiàn)EF上釘子的位置范圍是x′≤DE≤x，即■l≤DE≤■l.