顧曉偉

■ 1. 問題的提出

如圖1所示，一人站在高處用一根輕繩通過定滑輪牽拉一置于水平地面上的物體，地面離人高度為h=20 m，人以v1=■ m/s的速度勻速收繩子，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)至離滑輪水平距離為L(zhǎng)=20■ m時(shí)，物體的速度為多少？

■ 解析物體向左的運(yùn)動(dòng)是實(shí)際運(yùn)動(dòng)，即為物體運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，沿繩和垂直于繩的運(yùn)動(dòng)為兩個(gè)效果運(yùn)動(dòng)，即為兩個(gè)分運(yùn)動(dòng).

將物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)沿繩和垂直繩方向分解，如圖2所示. 沿繩方向的速度為v1、垂直于繩方向的速度為v2，且v=v1/cosα，根據(jù)幾何知識(shí)可知cosα=■，代入可得物體的運(yùn)動(dòng)速度v=2 m/s

■ 2. 物理模型的構(gòu)建

上題是運(yùn)動(dòng)的合成和分解中常見的題目，也是一種典型的題型，學(xué)生在求解此問題時(shí)很容易出現(xiàn)分運(yùn)動(dòng)和合運(yùn)動(dòng)的混淆. 而且此問題也可以和其他物理知識(shí)結(jié)合，編制成力學(xué)綜合題，是各類試卷中經(jīng)常出現(xiàn)的熱門考點(diǎn). 本文就此問題的求解方法作簡(jiǎn)單分析，希望能給同學(xué)們歸納出分析思路.

本問題可以構(gòu)建成如下的物理模型：物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)可以分解成沿繩方向和垂直于繩方向的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，如圖2所示. 假設(shè)牽拉物體的細(xì)繩與水平方向的夾角不變，則在物體運(yùn)動(dòng)過程中細(xì)繩將變短，即物體沿繩的縮短方向做直線運(yùn)動(dòng)；假設(shè)牽拉物體的細(xì)繩的長(zhǎng)度不變，則在物體運(yùn)動(dòng)過程中細(xì)繩與水平方向的夾角變化，即物體以定滑輪為圓心做圓周運(yùn)動(dòng). 而實(shí)際上，物體既參與沿繩的直線運(yùn)動(dòng)，又參與垂直于繩方向上的圓周運(yùn)動(dòng)，即物體的運(yùn)動(dòng)是由上述兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)合成的合運(yùn)動(dòng)，這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的物理模型分別是沿半徑方向的直線運(yùn)動(dòng)和垂直半徑方向的圓周運(yùn)動(dòng).

由以上分析可知：兩個(gè)物理模型合成一個(gè)實(shí)際運(yùn)動(dòng)，而此實(shí)際運(yùn)動(dòng)又是一個(gè)新的物理模型，即繩系模型. 由于從物體的運(yùn)動(dòng)形式上看，物體所做的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于將一個(gè)圓展開（或者收縮），呈螺旋狀運(yùn)動(dòng)軌跡. 所以，此模型也可以稱為“拓展圓運(yùn)動(dòng)”模型.

■ 3. 繩系模型的應(yīng)用

■ 3.1與幾何光學(xué)結(jié)合

■ 例1如圖3所示，一束光線垂直水面由A點(diǎn)從空氣射入水中，最后射到水下的平面鏡的O點(diǎn)上，A點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為d，現(xiàn)在使平面鏡以過O點(diǎn)且平行于平面鏡的直線為軸逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)水面上出現(xiàn)一個(gè)向左運(yùn)動(dòng)的光斑P. 若平面鏡轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω0，求：光斑P到A點(diǎn)的距離為d時(shí)，光斑P的速度.

■ 分析本題通過分析可以看出：光斑P沿水平面運(yùn)動(dòng)，即為光斑的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，由于它的存在產(chǎn)生兩個(gè)效果. 其一，假設(shè)反射線不轉(zhuǎn)動(dòng)，則反射線的長(zhǎng)度不斷增加，即相當(dāng)于P在沿著反射線方向做直線運(yùn)動(dòng)；假設(shè)反射線長(zhǎng)度不變，則反射線逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng). 顯然，P點(diǎn)所做的運(yùn)動(dòng)為“拓展圓運(yùn)動(dòng)”.

■ 解析將光斑P的運(yùn)動(dòng)沿反射光線和垂直反射光線分解如圖3所示，則：

v=■①

而AP=OA=d，所以有：α=45°，反射線的長(zhǎng)度為■d. 依據(jù)v=ωR解得：

v′=2ω0·■d②

聯(lián)立①②解得：v=4dω0 .

■ 3.2與機(jī)械能守恒定律結(jié)合

■ 例2如圖4所示，兩個(gè)光滑桿ab、cd相交于O點(diǎn)，其中ab水平固定，cd豎直固定，兩個(gè)帶有小孔質(zhì)量為ml、m2的小球分別套在cd、ab桿上，且用一根不能伸縮、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的輕繩連接在一起，現(xiàn)在將兩個(gè)小球在同一高度從相距L釋放，求兩小球與O點(diǎn)等距離時(shí)的速度大小.

■ 解析依據(jù)題意可知，兩個(gè)小球所做的運(yùn)動(dòng)都是“拓展圓運(yùn)動(dòng)”，且沿繩的分速度相等.

兩小球與O點(diǎn)等距離時(shí)它們與桿的夾角都為45°. 則對(duì)m1有v′=v1cos45°①

對(duì)m2有v′=v2cos45°②

聯(lián)立①②解得v1=v2

對(duì)系統(tǒng)利用機(jī)械能守恒得

■m1gL=■m1v21+■m2v22

可以解得v1=v2=■.

■ 3.3與動(dòng)能定理結(jié)合

■ 例3如圖5所示的裝置中，輕繩將A、B相連，B置于光滑水平面上，拉力F使物體B以5 m/s速度勻速地由P運(yùn)動(dòng)到Q. P、Q處繩子與豎直方向的夾角分別為α1=37°，α2=53°. 滑輪離光滑水平面高度h=2 m，已知mA=6 kg，mB=20 kg，不計(jì)滑輪質(zhì)量和摩擦，求在此過程中拉力F做的功（sin37°=0.6，g=10 m/s2）.

■ 分析物體B的運(yùn)動(dòng)是實(shí)際運(yùn)動(dòng)，因?yàn)锽的運(yùn)動(dòng)，而使連接B物體的繩子既伸長(zhǎng)又繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，所以B物體在做“拓展圓運(yùn)動(dòng)”. 對(duì)B物體分析可知，物體B勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能不變，拉力F做的正功等于繩子拉力對(duì)物體B做的負(fù)功，也等于繩子拉力對(duì)物體A做的功，通過對(duì)物體A分析，利用動(dòng)能定理即可計(jì)算拉力做的功.

■ 解析對(duì)物體B分別在P、Q點(diǎn)分析，得到在P點(diǎn)時(shí)沿繩子方向的分速度v1為：v1=vsinα1=3 m/s，在Q點(diǎn)時(shí)沿繩子方向的分速度v2為：v2=vsinα2=4 m/s.

利用幾何知識(shí)可得：物體A上升的距離為Δh=■-■=■ m

對(duì)物體A分析，利用動(dòng)能定理可得：

WF-mgΔh=■mv22-■mv21

解得：WF=71 J

■ 3.4與運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)結(jié)合

■ 例4如圖6（a）所示，物體A、B的質(zhì)量均為m，且分別用輕繩連接跨過定滑輪（不計(jì)繩子與滑輪、滑輪與軸之間的摩擦）. 用水平變力拉物體B沿水平方向向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)的過程中，下列說法正確的是（）

A. 物體A也做勻速直線運(yùn)動(dòng)

B. 繩子拉力始終大于物體A所受的重力

C. 物體A的速度小于物體B的速度

D. 地面對(duì)物體B的支持力逐漸增大

■ 解析設(shè)物體B的速度為v，物體B的運(yùn)動(dòng)可以分解為兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)：沿繩方向向右下方的分運(yùn)動(dòng)和垂直繩指向繩子擺動(dòng)方向的分運(yùn)動(dòng). 物體A的速度等于沿繩方向的分速度v1，如圖6（b）. 根據(jù)矢量合成法則可得：v1=vcosθ，由于v不變，在物體B向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，θ減小，故v1增大，物體A處于超重狀態(tài)，再由牛頓第二定律可知繩的拉力F=mg+ma，所以F大于mg；對(duì)物體B分析容易得出地面對(duì)B的支持力的變化情況. 綜合上面分析，最后可以知道本題的正確答案為BCD.