劉繼宏

【摘要】 同學(xué)們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，一定遇到過(guò)這樣的情況：有一些題目，與我們頭腦中形成類(lèi)型的解題模式不同. 這時(shí)，我們必須擺脫慣用的思考方法、解題步驟的束縛，改變解題的思路方向，尋找新的途徑. 這種方法上的轉(zhuǎn)變反映了數(shù)學(xué)思維的靈活性，這就是思維轉(zhuǎn)換能力. 思維轉(zhuǎn)換降低了解題的難度，提高了解題速度和解題能力.

思維轉(zhuǎn)換能力是數(shù)學(xué)能力對(duì)思維品質(zhì)提出的要求. 轉(zhuǎn)換能力就是從一種心理運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N心理運(yùn)算. 一些題目與頭腦中形成類(lèi)型的解題模式不同時(shí)，必須擺脫慣用的思考方法、解題步驟的束縛，改變解題的思路方向，尋找新的途徑. 這種方法上的轉(zhuǎn)變反映了數(shù)學(xué)思維的靈活性. 如果新的方法獨(dú)特簡(jiǎn)便，解題思路新穎，則表現(xiàn)為某種程度的創(chuàng)造性.

例 ａ，ｂ，ｃ，ｄ均為正整數(shù)，求證：存在一個(gè)三角形，其三邊之長(zhǎng)分別為

分析 若用三角形三邊關(guān)系證明， 顯然很困難. 考慮到可看作以ｂ，ｃ為直角邊的直角三角形的斜邊， 類(lèi)似的，可看作以（ａ ＋ ｂ）和ｄ為直角邊的直角三角形的斜邊， 可看作以ａ和（ｃ ＋ ｄ）為直角邊的直角三角形的斜邊. 我們構(gòu)造出如圖1的矩形，顯然△ＣＥＦ的三邊即為題中的三個(gè)式子.

思維轉(zhuǎn)換降低了解題的難度，提高了解題速度和解題能力. 培養(yǎng)思維轉(zhuǎn)換能力應(yīng)從以下幾方面入手：

一、廣泛聯(lián)想

聯(lián)想是從一事物想到另一事物的心理過(guò)程，按聯(lián)想的方向途徑來(lái)分，有以下幾種：

１. 接近聯(lián)想

根據(jù)問(wèn)題中的某一方面與已經(jīng)熟悉的問(wèn)題的某些方面比較接近而引起的聯(lián)想. 例如解方程組 += a， = b，可聯(lián)想方程組x + y = m，xy = n的解法.

２. 類(lèi)比聯(lián)想

根據(jù)問(wèn)題與某一問(wèn)題相似性而展開(kāi)的聯(lián)想. 例如，已知ｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ２Ａ ＝ １，求證：ｃｏｓ２Ａ ＋ ｃｏｓ４Ａ ＝ １. 啟發(fā)學(xué)生觀察已知條件與關(guān)系式ｓｉｎ２Ａ ＋ ｃｏｓ２Ａ ＝ １相似，可得解法.

∵ ｓｉｎ Ａ ＝ １ － sｉｎ２Ａ ＝ ｃｏｓ２Ａ，

∴ ｃｏｓ２Ａ ＋ cos４Ａ ＝ ｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ２Ａ ＝ １.

３. 逆向聯(lián)想

數(shù)學(xué)中的逆定理的發(fā)現(xiàn)和存在，啟發(fā)人們一種聰明的思維方法——逆向聯(lián)想. 這種思維是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)不可少的重要思維方式，然而不少學(xué)生對(duì)顯而易見(jiàn)的逆向思維問(wèn)題看不出來(lái). 例如對(duì)于式子（x ＋ ２）（x２ － ２x ＋ ４）常逐項(xiàng)相乘，不知它就是立方和公式的逆用. 在教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)其間的可逆關(guān)系，不但可以加深對(duì)知識(shí)的理解，而且會(huì)提高應(yīng)用時(shí)的靈活性、深刻性. 例如：若方程x２ ＋ ４ｍｘ － ４ｍ ＋ ３ ＝ ０，x２ ＋ ２ｍｘ － ２ｍ ＝ ０，x２ ＋ （ｍ － １）ｘ ＋ ｍ２ ＝ ０中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)ｍ的范圍. 注意這里的關(guān)鍵詞語(yǔ)“至少”，它包含三層意思：三個(gè)方程都有實(shí)根；其中兩個(gè)方程有實(shí)根；其中一個(gè)方程有實(shí)根. 逐次討論ｍ的范圍是十分復(fù)雜的，于是引導(dǎo)學(xué)生考慮“至少”的反面是什么？學(xué)生很容易答出“三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根”，因而由三個(gè)判別式都小于零，得到不等式組，并解得－ ＜ ｍ ＜ －１，所以當(dāng) － ＜ ｍ ＜ －１時(shí)，三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根. 當(dāng)ｍ ≤ －或ｍ ≥ －１時(shí)，三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)根.

二、推廣引申

１. 把條件開(kāi)拓引申

條件在命題中居于主導(dǎo)地位，結(jié)論是條件決定的. 條件改變了，結(jié)論可能隨之變化. 改變條件有兩種：

（1）把特殊條件一般化

放寬對(duì)條件的限制，從而推得更為普遍性的結(jié)論. 例如切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等. 若把條件中的“兩條切線”減弱為“一條切線和一條割線”就得到“切割線定理”；如果再減弱為“兩條割線”就得到“割線定理”.

（2）把一般條件特殊化

把條件加強(qiáng)來(lái)研究會(huì)有什么變化，從而獲得新的結(jié)論. 例如：順次連接任意四邊形四邊的中點(diǎn)，所得四邊形為平行四邊形. 把任意四邊形這個(gè)條件加強(qiáng)為平行四邊形、矩形、菱形、正方形，又會(huì)得出什么結(jié)論呢？

２. 把命題的結(jié)論推廣、引申，使命題深化

如“順次連接任意四邊形四邊的中點(diǎn)，所得四邊形為平行四邊形，其周長(zhǎng)之和等于原四邊形對(duì)角線之和”. 又如“三角形中位線定理”可引申為“以三條中位線為邊的三角形面積是原三角形面積的四分之一”.

３. 把題型推廣、引申

同一命題給予不同的提法，就可以變成不同的題型，但其證法相同或類(lèi)似，謂之“多題一解”. 如命題“四個(gè)連續(xù)自然數(shù)之積再加一，是一個(gè)完全平方數(shù)”推廣引申為

“ 是整數(shù)（ｎ為自然數(shù)）. ”

４. 把證明方法推廣引申

一個(gè)命題從不同角度考慮，可以有不同的思路，不同的證法，謂之“一題多解”. 例如：證明定理：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

分析一 要證明ＣＤ ＝ ＡＢ，只要證ＣＤ ＝ ＢＤ，即只要證Ｄ在ＢＣ的垂直平分線上.

方法一：作ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，只要證ＢＥ ＝ ＣＥ.

∵ ＤＥ∥ＡＣ，ＡＤ ＝ ＢＤ，

∴ ＢＥ ＝ ＣＥ（如圖2）.

∴ CD = BD = AB.

方法二：?。拢弥悬c(diǎn)Ｅ，連接ＤＥ，

由三角形中位線定理，得ＤＥ∥ＡＣ，

又∵∠ＡＣＢ ＝ ９０°，

∴ ＤＥ⊥ＢＣ（如圖2）.

∴ CD = BD = AB.

分析二 要證ＡＢ ＝ ２ＣＤ，延長(zhǎng)ＣＤ到Ｅ，使ＤＥ ＝ ＣＤ.

∵對(duì)角線互相平分的四邊形ＡＣＢＥ為平行四邊形，且∠ＡＣＢ ＝ ９０°，

∴ ＡＣＢＥ為矩形，

∴ ＡＢ ＝ ＣＥ，

∴ ＣＤ ＝ ＣＥ ＝ ＡＢ（如圖3）.

分析三 找出等于ＡＢ的線段，連接ＡＣ與ＢＣ的中點(diǎn)Ｅ，Ｆ，則ＥＦ等于ＡＢ，可證ＣＥＤＦ為矩形.

∴ ＣＤ ＝ ＥＦ ＝ ＡＢ（如圖4）.

分析四 找一線段等于ＡＢ，再證ＣＤ為這一線段的即可.

延長(zhǎng)ＢＣ到Ｅ，使ＣＥ ＝ ＢＣ，連接ＡＥ，

由三角形中位線定理知，ＣＤ ＝ ＡＥ.

又 ∵ Ｒｔ△ＡＢＣ ≌ Ｒｔ△ＡＥＣ，

∴ ＡＥ ＝ ＡＢ，

∴ ＣＤ ＝ ＡＥ ＝ ＡＢ（如圖5）.

通過(guò)一題多解的訓(xùn)練，能夠開(kāi)闊思路，增強(qiáng)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

５. 把條件和結(jié)論交換或部分交換或等價(jià)交換，推廣引申新的命題

例如平行線的性質(zhì)定理“兩直線平行，同位角相等（內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）”，把條件和結(jié)論交換，就得到平行線的判定定理. 又如垂直定理“垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧”，把條件或結(jié)論中的部分交換就可推出垂徑定理的推論.

推廣引申是一種較高的要求. 它有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，是培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明創(chuàng)造能力的有效途徑.

三、轉(zhuǎn)換化歸

轉(zhuǎn)換化歸的思維，反映了數(shù)學(xué)思維最本質(zhì)的特征. 它滲透到各個(gè)方面，如“形”與“數(shù)”的轉(zhuǎn)換，“已知”與“未知”的轉(zhuǎn)換，實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換等. 運(yùn)用轉(zhuǎn)換化歸的思想改變問(wèn)題的形式，使條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系明朗化、簡(jiǎn)單化. 觀察、聯(lián)想、類(lèi)比是實(shí)現(xiàn)化歸的根本途徑，變換、轉(zhuǎn)化是化歸思想的實(shí)質(zhì). 學(xué)生一旦形成了自覺(jué)化歸意識(shí)，就可熟練地、巧妙地作各種轉(zhuǎn)化，化繁為簡(jiǎn)，化隱為顯，化難為簡(jiǎn)，化未知為已知，化一般為特殊，化抽象為具體等. 例如，把減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算；把異分母分式轉(zhuǎn)化為同分母分式；把一元一次方程通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，最后轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)方程 x ＝ ａ；將多元方程組轉(zhuǎn)化為一元方程組；將高次方程化為低次方程；將無(wú)理方程化為有理方程等. 又如在平面幾何中，三角形是基本圖形，四邊形或多邊形的問(wèn)題多半要轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決.

在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，思維轉(zhuǎn)換能力是邏輯推理能力的重要部分. 在教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)教材特點(diǎn)，不失時(shí)機(jī)地培養(yǎng)學(xué)生這一方面的能力.