陳家國

怎樣通過解題活動來培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心問題.在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中，教師思想認(rèn)識上存在著一種錯誤認(rèn)識，好像讓學(xué)生見的題型多，練的題目多，學(xué)生數(shù)學(xué)就掌握得好.所以常常以精講多練來訓(xùn)練學(xué)生，存在著過多過密的盲目解題.其結(jié)果是學(xué)生思維的靈活性逐漸降低，對外在事物的敏感度逐漸淡化，捕捉問題的能力逐漸下降，對于一些新題、變式題感覺到無從下手.只有“聞一以知十”解題，才能激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)他們思維品質(zhì)的發(fā)展.而正確引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解則是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，開拓思路，培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)和應(yīng)變能力的一種有效方法.

一、“一題多解”能鞏固知識，提高實效

對于同一道題，從不同的角度去分析研究，可能會得到不同的啟示，從而引出不同的解法.在復(fù)習(xí)過程中，教師要充分發(fā)揮例題的教學(xué)功能，不失時機地通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“一題多解”的訓(xùn)練，盡量從多方面多角度去思考問題，達(dá)到以少勝多的目的.筆者在復(fù)習(xí)三角函數(shù)時，選取了如下問題，給學(xué)生討論.

例1已知等腰三角形ABC一腰上的中線長為3，求△ABC面積的最大值.

學(xué)生經(jīng)過分析，得到了如下幾種情況的解答：

分析一如圖，由條件可知AB=AC，BD=3，

設(shè)腰長為2a，則AD=DC=a，在△ABD中，

由余弦定理得：3=4a2+a2-4a2cosA(*)，

∴a2=35-4cosA.

消去a，得S△ABC=12×2a×2a×sinA=6sinA5-4cosA.

接下來通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到三角形面積的最大值.

分析二在分析一當(dāng)中，部分學(xué)生是將(*)式變成cosA=5a2-34a2.再由平方關(guān)系，得sinA=-9a4+30a2-94a2，∴S△ABC=12·2a·2a·sinA=12-9a4+30a2-9.

這樣，根式里面可以認(rèn)為是以a2為變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特點求解面積的最大值.

分析三作三角形的高AD，設(shè)腰長為2a，則AD=2asinC，

BC=2×2acosC=4acosC.

在△BCD中，由余弦定理，

得3=a2+16a2cos2C-2·a·4acosC·cosC，

即a2=38cos2C+1.

∴S△ABC=12·4acosC·2asinC=12sinCcosC8cos2C+1.

∴S△ABC=12sinCcosCsin2C+9cos2C=12tanCtan2C+9=12tanC+9tanC≤2，

當(dāng)且僅當(dāng)tanC=3時面積取得最大值2.

分析四如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點A(0，h)，B(-a，0)，C(a，0)，則Da2，h2.

由BD=3得：94a2+h24=3，∴9a2+h2=12，

由基本不等式得：ah≤2.∴S△ABC=12·h·2a≤2，當(dāng)且僅當(dāng)h=3a時面積取得最大值.

通過本例的探究，既促使學(xué)生鞏固了所學(xué)基礎(chǔ)知識（如基本不等式、二次函數(shù)、正余弦定理等）的應(yīng)用，又溝通了知識點間的聯(lián)系，使得學(xué)生頭腦中的知識網(wǎng)絡(luò)更加豐滿；通過對解題過程的反思，學(xué)生學(xué)會多視角、多方法去思考問題和發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)一步感受了“轉(zhuǎn)化策略、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程”等基本的數(shù)學(xué)思想在解題過程中的作用，既培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，又提高了復(fù)習(xí)實效.

二、“一題多解”能提高興趣，突破難點

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解題量很大，每天復(fù)習(xí)的知識點必須通過適當(dāng)?shù)念}目來鞏固.在復(fù)習(xí)過程中，教師要善于把枯燥的解題活動組織得生動活潑，就必須堅持“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的教學(xué)原則，切不可讓復(fù)習(xí)課成為展示自己解題“絕活”的表演秀.每一模塊復(fù)習(xí)結(jié)束時，教師不妨展示一兩道有價值的數(shù)學(xué)題，師生共同探究，讓學(xué)生在積極主動的探索活動中提高能力，展示才華.

如在向量復(fù)習(xí)結(jié)束時，筆者給學(xué)生展示了如下問題：

例2給定兩個長度為1的向量OA，OB，它們的夾角為120°，如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，求x+y的最大值.

學(xué)生甲經(jīng)過思考，認(rèn)為由于題目條件中知道了OA，OB，OC的模，并且OA，OB的夾角也是已知，因此兩邊平方就可以將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從而得到了下面的第一種解法：

解法1（不等式法）∵OC=xOA+yOB，由已知得x≥0，y≥0，

從而OC2=x2OA+2xyOA·OB+y2OB2.

又|OA|=|OB|=|OC|=1，∠AOB=120°，故OA·OB=-12，

∴1=x2+y2-xy=(x+y)2-3xy≥(x+y)2-34(x+y)2.

∴x+y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時取等號.

學(xué)生乙認(rèn)為本例圖形比較特殊，聯(lián)想到向量的坐標(biāo)運算，從而得到了如下解法：

解法2（坐標(biāo)法）以O(shè)A所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系.則OA=(1，0)，OB=-12，32，設(shè)OC=(cosα，sinα)，(0°≤α≤120°)，

∴OC=(cosα，sinα)=x(1，0)+y-12，32，

∴x-12y=cosα，32y=sinα，

則x=cosα+13sinα，y=23sinα.

故x+y=2cos(α-60°)≤2，(0°≤α≤120°).

學(xué)生參與解題的積極性被調(diào)動以后，不斷提出一些新的設(shè)想，通過嘗試，又得到了如下解法：

解法3（三角法）作CD∥OB交OA于D，設(shè)∠AOC=α，(0°≤α≤120°，

∠ODC=60°，∠OCD=120°-α.在△ABC中，CDsinα=ODsin(120°-α)=23，故y=CD=23sinα，x=OD=23sin(120°-α)，∴x+y=cosα+33sinα=cosα+3sinα=2sinα+π6≤2.

解法4（向量的數(shù)量積）設(shè)∠AOC=α.

由OA·OC=xOA2+yOA·OB，

OB·OC=xOA·OB+yOB2

得cosα=x-12y，

cos(120°-α)=-12x+y.

∴x+y=2［(cosα+cos(120°-α)］=2sinα+π6≤2.

解法5（幾何法）連接AB交OC于D，設(shè)OC=mOD，

則mOD=xOA+yOB，∴OD=xmOA+ymOB.

∵A，B，D共線，則xm+ym=1，

∴x+y=m.

而|OC|=1，∴|OD|=1m.

要使x+y最大，則|OD|最短，即OD⊥AB，此時|OD|=12，m=2.∴x+y取最大值2.

通過教師的啟發(fā)引導(dǎo)、學(xué)生之間的相互補充，本題得到了多種解法.在探究過程中，整個課堂充滿靈感，充滿激情.學(xué)生根據(jù)題設(shè)中的具體情況，及時提出新的設(shè)想和解題方案，不固執(zhí)己見，不拘泥于陳舊的方案.既能讓學(xué)生充分挖掘自身的潛能，感受成功的喜悅和增強自信心，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和濃厚的興趣，也養(yǎng)成了良好的思維習(xí)慣，達(dá)到了優(yōu)化解題的效果.

三、“一題多解”能提煉通法，拓展思維

高三復(fù)習(xí)過程中，要想提高復(fù)習(xí)效果，做到“輕負(fù)擔(dān)、高質(zhì)量”，教師就該研究復(fù)習(xí)方法，注意題型的一般解題方法的指導(dǎo)，即“通法”的指導(dǎo).學(xué)生學(xué)會問題的“通法”，就能用一種方法解決一類問題.而“通法”提煉，往往可以通過一題多解來歸納.

比如說，反思例題1的求解過程，我們發(fā)現(xiàn)，盡管四種解法在求最值時，使用的工具不一，但是學(xué)生在入手時，都是抓住三角形中的邊角關(guān)系來構(gòu)建模型.這主要是因為三角形中的基本量就是三角形中的邊和角.因此，我們總結(jié)出解決這一類問題的通法是：選定三角形中的某個角或邊長為變量，通過三角形中的邊角關(guān)系，把其他未知的量用所設(shè)變量來表示，從而進(jìn)一步構(gòu)建合適的函數(shù)模型，最后再選用恰當(dāng)?shù)姆椒▉砬蠼?如果是特殊的圖形，有時候可以建立坐標(biāo)系，用解析法來求解.同樣，例題2的幾種解法給我們的啟示是，向量問題實數(shù)化是解決向量問題的基本思路，處理方式主要有利用向量數(shù)量積的運算或者通過坐標(biāo)運算，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解，當(dāng)然在涉及兩個變量的問題的時候，通常要進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化為一個變量來處理.

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不是在同一個水平上的簡單重復(fù)，需要創(chuàng)造性地將知識、能力和思想方法在更多的新情境、更高的層次中不斷地反復(fù)滲透，才能達(dá)到螺旋式的再認(rèn)識、再深化乃至升華的結(jié)果.因此，在復(fù)習(xí)過程中教師適當(dāng)?shù)剡x擇一些例題，通過一題多解，既讓學(xué)生鞏固了所學(xué)知識，又增加了學(xué)生解題的靈活性，培養(yǎng)和提高了學(xué)生的思維能力.