楊敏

【摘要】通過對高中數(shù)學(xué)新教材的教學(xué)，結(jié)合新教材的習(xí)題和高中研究性學(xué)習(xí)的開展，對如何加強高中生發(fā)散思維訓(xùn)練，如何開展教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力方面進行了探索.

【關(guān)鍵詞】發(fā)散思維；創(chuàng)新能力；發(fā)散求異；聯(lián)想轉(zhuǎn)化

科學(xué)上的新理論、新方法、新發(fā)現(xiàn)往往來源于發(fā)散思維，有人用“創(chuàng)新能力=知識量×發(fā)散思維”這個公式估計一個人的創(chuàng)新能力.可見，加強發(fā)散思維訓(xùn)練，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要方法.

發(fā)散思維是一種創(chuàng)新思維，指思維從同一信息源出發(fā)，運用獲取的信息沿著多種方向展開，以獲得不同的思維的結(jié)果.思維的積極性、求異性、廣闊性、聯(lián)想性等是發(fā)散思維的特性.在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識地抓住這些特性進行訓(xùn)練與培養(yǎng)，既可提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，也有利于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的靈活性與創(chuàng)新能力.

一、創(chuàng)設(shè)發(fā)散情境，激發(fā)創(chuàng)新意識

任何思維過程都受一定的情境所制約和激發(fā).因而教師在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)教材與學(xué)生的生活實際，創(chuàng)設(shè)激發(fā)探索新知識的發(fā)散問題情境，圍繞數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)的銜接、轉(zhuǎn)折、延伸，鼓勵學(xué)生多提問題、發(fā)現(xiàn)問題、捕捉問題，激起學(xué)生對問題探究的高漲情緒.

例1點P為△ABC所在平面α外一點，若∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，則點P在平面α內(nèi)的射影H是△ABC的（）.

A蓖廡

B蹦諦

C敝匭

D貝剮

本題運用線面垂直、線線垂直的判定與性質(zhì)容易選擇答案D.完成此題后提出問題：

（1）滿足怎樣的題設(shè)條件時，點P在平面α內(nèi)的射影Ｈ是△ABC的外心、內(nèi)心、重心呢？

（2）適當(dāng)改變題設(shè)條件還會有此結(jié)論嗎？如何改變題設(shè)條件呢？如三個側(cè)面PAB，PBC，PCA兩兩垂直.又如PA⊥BC，PB⊥AC等.

（3）保留原命題條件不變的前提下，還會有怎樣的結(jié)論呢？如△ABC為銳角三角形.又如設(shè)α，β，γ分別為高與各側(cè)棱所成的角（或底面與各側(cè)面所成二面角的平面角），則有cos2α+cos2β+cos2γ=1等.

二、發(fā)散求異，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

布魯納曾說“探索是數(shù)學(xué)的生命線”，發(fā)散求異思維過程就是探索過程，教學(xué)中教師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生多方位多角度地觀察問題，開闊視野，訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散求異思維的習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新熱情，培養(yǎng)創(chuàng)新能力.

例2求證：不等式a+b22≤a2+b22.

題目雖然簡單，但證法很多，綜合法、分析法、比較法、反證法皆可，但只滿足于上述方法，則失去了一次引導(dǎo)學(xué)生從不同角度審視問題的求異創(chuàng)新的機會.實際上，這道題還可用函數(shù)、三角、解析幾何等知識來解決.

（1）構(gòu)造函數(shù)：將原不等式移項變形，得a+b22-a2+b22≤0.

聯(lián)想到二次函數(shù)的判別式，于是構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2+a+b2x+a2+b28，變形得f(x)=12x+a22+12x+b22.因為f(x)≥0恒成立，所以Δ≤0，可證得此不等式.

（2）三角代換：注意到不等式中的a2+b22，令其為k2，則可設(shè)a=2kcosθ，b=2ksinθ，于是a+b22=2k(sinθ+cosθ)22=k222sinθ+π42≤k2，即a+b22≤a2+b22.

（3）構(gòu)造圖形：不等式等價變形，得|a+b|2≤a2+b2，把a2+b2看成點(a，b)到原點的距離，而|a+b|2聯(lián)想到點到直線的距離公式，可看成點(a，b)到直線y=-x的距離，于是從圖形易得原不等式成立.

三、變式引申，強化創(chuàng)新能力

“數(shù)學(xué)題是永遠做不完的”，多做題固然可以積累經(jīng)驗，但如果善于變題，在變式引申中掌握一類題的解法，則會以少勝多，既訓(xùn)練了發(fā)散思維的廣闊性與深刻性，同時強化了學(xué)生的探索精神與創(chuàng)新才能.

例3在橢圓x245+y220=1上求一點，使它與兩個焦點連線互相垂直.

大多數(shù)學(xué)生能直接設(shè)出點的坐標(biāo)，再結(jié)合斜率公式，列方程組解題.也有學(xué)生運用橢圓的參數(shù)方程，引參設(shè)點求解.還有學(xué)生能根據(jù)焦點三角形為直角三角形這一特征，這個點也在以焦點為直徑的圓x2+y2=25上，通過求兩曲線的交點法解題.如果解完這題就此罷手，這樣學(xué)生只學(xué)會了解一道題，達不到解決一類變式創(chuàng)新題的目的.此時教師要從改變題設(shè)特征條件出發(fā)，引申變式.如：

變式1在橢圓x245+y220=1上求一點，使它與兩焦點連線的夾角為60°.

提問：上例的解題方法還適用嗎？此題中的焦點三角形已成為一個角為60°的斜三角形了，解題思路也隨之改變，結(jié)合橢圓的定義及余弦定理，再列式求解.促使學(xué)生對解題思路進行探索與靈活拓展，再讓學(xué)生進行變式探索設(shè)計出創(chuàng)新試題.如：

變式2在橢圓x216+y236=1上求一點，使它到兩焦點距離之比為1∶3.

變式3設(shè)P為橢圓x29+y24=1上任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，求∠F1PF2的最大值，并求此時△F1PF2的面積.

變式4已知橢圓x29+y24=1的兩個焦點F1，F(xiàn)2，點P為其上的一動點，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時，求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍.

變式5設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F1，F(xiàn)2.若橢圓上存在點P使PF1垂直PF2，求證：離心率e≥22.

變式6設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F1，F(xiàn)2.（1）求|PF1|·|PF2|的最大值、最小值；（2）求△F1PF2的面積.

此處還可以引申到雙曲線的相關(guān)問題等等.從而溝通了解幾與代數(shù)、三角間的聯(lián)系，迫使學(xué)生思維從不同方向發(fā)散，深化創(chuàng)新思維.

四、聯(lián)想轉(zhuǎn)化，發(fā)展創(chuàng)新能力

聯(lián)想思維是以已知為基礎(chǔ)，通過觀察、類比、創(chuàng)新思考把待解決的問題轉(zhuǎn)化成易于解決或已經(jīng)解決的問題，從而發(fā)現(xiàn)解題途徑，制定解題策略.聯(lián)想轉(zhuǎn)化能優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生自覺地調(diào)整思維方向，再創(chuàng)造出新的獨特的解題思路，使創(chuàng)新能力得到發(fā)展.

例4已知(x-2)2+(y-1)2=1，試確定y-3x+1的取值范圍.

從所求問題的外部特征來看，與解幾中的斜率公式k=y2-y1x2-x1類比，通過數(shù)形結(jié)合聯(lián)想，問題可轉(zhuǎn)化為：求圓(x-2)2+(y-1)2=1上一動點P與定點A（-1，3）連線斜率的取值范圍.另一方面，令u=x-2，

v=y-1，原命題即為已知u2+v2=1，試確定v-2u+3的取值范圍.命題的條件顯然得到簡化.再聯(lián)想到圓的參數(shù)方程，可采用引參消元法，設(shè)u=sinθ，v=cosθ，問題可轉(zhuǎn)化為：求s=cosθ-2sinθ+3的取值范圍.常見解題思路是將此式轉(zhuǎn)化為sin(θ+φ)=f(s)形式，再由|f(s)|≤1可求得S的取值范圍.還有其他解法嗎？再次深層聯(lián)想，設(shè)tanx2=t，則sinθ=2t1+t2，cosθ=1-t21+t2，問題又可轉(zhuǎn)化為：求函數(shù)s=-3t2-13t2+2t+3的值域.再運用判別式法可得出解答.

以上事例說明，只要我們有意識地加強發(fā)散思維能力的訓(xùn)練，克服思維定式，鍛煉思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生孜孜以求的探索精神，才能培養(yǎng)出有創(chuàng)新能力的學(xué)生.

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