廖英英， 劉永強， 楊紹普， 魏紅梅

(1．石家莊鐵道大學(xué) 土木工程學(xué)院，河北 石家莊 050043;2．石家莊鐵道大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043;3．山東華宇職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山東 德州 253034)

0 引言

我國鐵路第六次大提速以后，干線客運列車的運營速度可以達(dá)到200 km/h，高速客運專線運營速度超過300 km/h，為人們的日常出行和經(jīng)濟提升提供了堅實的保障。但隨著運行速度的提高，車輛振動加劇，對鐵道車輛的運動穩(wěn)定性、運行平穩(wěn)性和安全性等產(chǎn)生了嚴(yán)重影響。半主動控制技術(shù)的提出為解決這一難題提供了思路，國內(nèi)外的眾多專家學(xué)者在理論上對半主動控制效果進行了分析［1-3］，結(jié)果表明:相對于被動控制，半主動控制技術(shù)可以提高鐵道車輛運行平穩(wěn)性20%以上。然而，在實際運用中半主動控制效果卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于這一數(shù)值［4］。究其原因，控制系統(tǒng)中存在的時滯是造成半主動控制效果差的重要因素之一。

時滯是指在控制系統(tǒng)的信號采集、傳輸，控制器規(guī)則形成和作動器輸出等過程中存在的時間滯后現(xiàn)象，最終表現(xiàn)為在系統(tǒng)不需要能量時作動器輸出能量，這就會造成控制效果變差和系統(tǒng)特性的改變，甚至?xí)斐上到y(tǒng)失穩(wěn)等。國內(nèi)外學(xué)者對懸掛系統(tǒng)中時滯造成的穩(wěn)定性問題進行了大量的研究。胡海巖和王在華［5-6］曾對帶時滯的天棚阻尼主動懸架和考慮司機反應(yīng)時滯的四輪驅(qū)動車輛系統(tǒng)的穩(wěn)定性轉(zhuǎn)換問題進行研究。張文豐［7］，翁建生［8］和陳龍［9］等討論了時滯對具有天棚阻尼控制的1/4 汽車懸架模型的頻響特性的影響，并計算了系統(tǒng)臨界時滯的大小。Jalili［10］根據(jù)穩(wěn)定性分析提出一種包含作動器時滯的車輛懸架系統(tǒng)優(yōu)化方法。Shin［11］利用定性和定量的方法分析了時滯對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

在目前的時滯穩(wěn)定性研究中，大多數(shù)都是針對汽車懸架系統(tǒng)進行的，而以更加復(fù)雜的鐵道車輛懸掛系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定性為研究對象的還很少見。本文對包含一系阻尼的鐵道車輛1/4 動力學(xué)模型中存在的時滯穩(wěn)定性問題進行分析，以期獲得含時滯的懸掛控制系統(tǒng)失穩(wěn)臨界時滯的情況。

1 磁流變阻尼器天棚阻尼控制

作為半主動控制的實現(xiàn)載體，磁流變阻尼器有很多優(yōu)點，如反應(yīng)時間短(約0．1ms)，抗剪切強度高，對溫度和外界環(huán)境不敏感，不存在明顯的時滯問題，調(diào)節(jié)方便等優(yōu)點［12］。磁流變阻尼器的力學(xué)模型有很多種，如Bingham 模型、Bouc-Wen 模型和多項式模型等。本文采用文獻［13］中的用速度的指數(shù)函數(shù)和線性函數(shù)擬合磁流變阻尼的特性曲線，當(dāng)電壓為最大時阻尼力可表示為

式中，sign(x)為符號函數(shù);V 為車體和懸掛之間的相對速度，即V = ˙x2- ˙x1;a 和b 為常數(shù)，反映了磁流變阻尼在高速時的飽和性以及在低速時的高阻尼性，可以通過實驗獲得。

在理想狀態(tài)下，天棚阻尼控制下的磁流變阻尼器輸出的可調(diào)阻尼系數(shù)為

式中，Cout為磁流變阻尼器輸出的可調(diào)阻尼系數(shù)。

但在實際中，磁流變阻尼器輸出的最小可調(diào)阻尼器系數(shù)并不能達(dá)到零值，而存在著所謂的基值阻尼C，即磁流變阻尼器實際輸出的最小可調(diào)阻尼器系數(shù)為C。本文為了分析方便，將基值阻尼C 看作一個單獨的阻尼器存在，而將磁流變阻尼器的輸出可調(diào)阻尼系數(shù)寫為

式中，Cr為調(diào)整后的磁流變阻尼器時實際輸出可調(diào)阻尼系數(shù)。

2 含時滯的鐵道車輛垂向模型

包括一系垂向阻尼的鐵道車輛1/4 模型如圖1 所示，速度通道內(nèi)含時滯τ 的運動微分方程寫為

根據(jù)λ2M + λC + K 得到系統(tǒng)特征方程為

圖1 1/4 車模型

系統(tǒng)失穩(wěn)的臨界條件是方程(6)有純虛根，設(shè)純虛根為λ = iω，帶入方程(6)，并將指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，然后分離實部和虛部，結(jié)果為

可以分別得到sin(ωτ)和cos(ωτ)的表達(dá)式

將式(8)帶入sin2(ωτ)+ cos2(ωτ)= 1 中可以得到僅含未知數(shù)ω 的方程

可以通過求解方程(9)得到ω 的實根，帶入式(8)可得臨界時滯τ。如果方程(9)的根中沒有實根，則系統(tǒng)進入全時滯穩(wěn)定。

3 臨界時滯穩(wěn)定性分析

采用300 km 級高速動車組拖車車輛的參數(shù)進行計算，參數(shù)見表1。

表1 車輛系統(tǒng)參數(shù)

根據(jù)上述方法，可以繪得系統(tǒng)失穩(wěn)臨界時滯隨可調(diào)阻尼變化的情況，如圖2 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)可調(diào)阻尼cr= 2 113 N·s/m 時，系統(tǒng)失穩(wěn)臨界時滯達(dá)到最大，為0．882 s。當(dāng)可調(diào)阻尼cr＜2 113 N·s/m 時，方程(9)無實根，系統(tǒng)進入全時滯穩(wěn)定狀態(tài)。經(jīng)過改變基值阻尼c2的大小，可以得到不同基值阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)達(dá)到臨界失穩(wěn)時的可調(diào)阻尼和臨界時滯的大小。計算表明，取任意基值阻尼時，只要滿足cr-c2=113 N·s/m，系統(tǒng)就會達(dá)到臨界失穩(wěn)狀態(tài)，如圖3 所示。

圖2 系統(tǒng)臨界時滯隨可調(diào)阻尼變化情況

圖3 系統(tǒng)臨界時滯隨阻尼差值變化情況

以虛線為界，虛線左側(cè)為系統(tǒng)全時滯區(qū)域，在此區(qū)域內(nèi)無論時滯取多大的值，理論上系統(tǒng)均為穩(wěn)定狀態(tài)。虛線右側(cè)為非全時滯區(qū)域，臨界時滯曲線下方區(qū)域為系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域，臨界時滯曲線上方為系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)域。

4 數(shù)值仿真分析

4．1 時滯對系統(tǒng)頻響特性的影響

對特征矩陣(λ2M + λC +K)求逆，可以得到傳遞函數(shù)矩陣G(λ)，那么λG(λ)則代表¨x2到˙xr的傳遞特性，將λ = iω 帶入，即可得到其復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)矩陣，即

根據(jù)式(10)，可以繪出時滯對幅頻特性和相頻特性的影響情況，選取可調(diào)阻尼系數(shù)cr= 8 000 N·s/m，此時的系統(tǒng)失穩(wěn)臨界時滯為0．474 6 s，任意選取時滯τ = 0．1 s，τ = 0．3 s 和τ = 0．5 s 的情況下進行說明，如圖4 所示。從圖中可以看出，時滯對系統(tǒng)一階共振峰值(f = 0．537 Hz 處)的影響很大，而對系統(tǒng)二階共振峰值(f = 4．965 3 Hz 處)的影響卻很小。當(dāng)時滯超過系統(tǒng)失穩(wěn)臨界時滯時，一階共振峰值趨于無窮大，系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)。

圖4 時滯對系統(tǒng)頻響特性的影響

4．2 仿真分析

分別考察在確定性激勵和軌道不平順隨機激勵作用下，時滯對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。根據(jù)方程(4)設(shè)計Simulink 框圖，如圖5 所示。參數(shù)根據(jù)表1 選取，取cr= 18 000 N·s/m，此時系統(tǒng)失穩(wěn)臨界時滯為0．371 9 s。

考察隨機激勵作用下的情況。本文采用基于頻域功率譜采樣的數(shù)值模擬方法生成德國高干譜軌道不平順曲線［14］，如圖7 所示。仿真車輛以250 km/h 的速度行駛在德國高干擾軌道上，考察軌道不平順隨機激勵作用下的車體分別在時滯τ = 0 s，τ = 0．3 s 和τ = 0．5 s 時的振動加速度情況，如圖8 所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，隨著時滯量的增加，車體振動加速度增大，當(dāng)時滯超過系統(tǒng)失穩(wěn)臨界時滯量時，車體振動加速度曲線發(fā)散，系統(tǒng)失穩(wěn)。

5 結(jié)論

本文基于含時滯的線性常微分方程臨界時滯理論分析，采用數(shù)值方法討論了時速300 km 級高速動車組的失穩(wěn)臨界時滯大小，分析了不同區(qū)域的穩(wěn)定性狀態(tài)，然后分析了不同時滯狀態(tài)下的系統(tǒng)頻響特性，并對確定性激勵和軌道不平順隨機激勵作用下的車體振動情況進行了仿真分析。研究結(jié)果表明，時滯對系統(tǒng)一階共振的影響較大，當(dāng)時滯超過理論計算臨界時滯時，車體振動加劇，系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)。

圖5 時滯系統(tǒng)Simulink 框圖

圖6 正弦激勵下時滯對振動的影響

圖7 生成的德國高干擾隨機不平順

圖8 隨機激勵下時滯對振動的影響

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