楊火根

(江西理工大學(xué)理學(xué)院，江西贛州341000)

過等參測地線的B樣條曲面重構(gòu)

楊火根

(江西理工大學(xué)理學(xué)院，江西贛州341000)

基于一般正則曲面上測地線的幾何特征以及B樣條乘積和升階理論，構(gòu)造了一類B樣條曲面插值預(yù)先給定的B樣條曲線,使這些曲線成為所構(gòu)造曲面的邊界等參測地線.該方法顯式地計(jì)算了插值曲面上與插值條件相關(guān)的控制頂點(diǎn)，并且測地線插值條件中自由參數(shù)對(duì)曲面形狀的影響具有局部性，插值曲面內(nèi)部的自由控制頂點(diǎn)可作為曲面形狀調(diào)整一種手段.與傳統(tǒng)Coons超限插值方法不同，該方法所構(gòu)造的插值曲面表示成標(biāo)準(zhǔn)的張量積B樣條形式，與當(dāng)今主流CAD系統(tǒng)的內(nèi)在要求一致.計(jì)算實(shí)例表明該方法可行.

B樣條曲面；B樣條乘積；插值；測地線

0 引言

測地線，曲面上測地曲率處處為零的曲線，因其優(yōu)美的內(nèi)蘊(yùn)幾何性質(zhì)，使得它在工業(yè)設(shè)計(jì)與加工等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-3].例如在制鞋和成衣加工中，Wang等[4]對(duì)這一問題作了研究，他們以足背線和身腰線為測地線，給出了過這些公共測地線的非多項(xiàng)式形式曲面束的設(shè)計(jì)方法.然而當(dāng)今主流CAD系統(tǒng)曲線曲面大多以多項(xiàng)式形式表示[5]，所以構(gòu)造多項(xiàng)式形式的曲面成為后續(xù)研究主流.在非相交等參測地線插值曲面構(gòu)造中，主要采用Hermite插值法[6-7]和二步法[8-10]等.而在相交測地線插值中，則一般采用Coons超限插值法[11-12].然而受測地線插值條件約束和構(gòu)造方法所限，自由參數(shù)對(duì)曲面形狀的影響往往帶有整體性.并且曲面若以Bézier形式表示，其次數(shù)將達(dá)到13×13次[11].

目前，測地線插值中的曲線曲面主要還集中在一般多項(xiàng)式和Bézier形式上，而基于CAD系統(tǒng)中另一種曲線曲面表示形式(即B樣條形式)的研究還未發(fā)現(xiàn).文中考慮基于B樣條方法的測地線插值問題，可利用B樣條所特有的一些性質(zhì)來解決上述測地線插值中的一些缺陷，如形狀參數(shù)影響的整體性，相交測地線插值中曲線曲面次數(shù)過高問題等.由于測地線插值條件中包含測地線的一階和二階導(dǎo)矢向量積，為滿足某些高品質(zhì)曲面C2連續(xù)需要(如汽車行業(yè)、消費(fèi)類產(chǎn)品中的A級(jí)曲面)，文中假定測地線為5次C4連續(xù)B樣條曲線.

1 預(yù)備知識(shí)

為顯式表示插值曲面控制頂點(diǎn)，首先簡要介紹B樣條乘積和升階理論（具體細(xì)節(jié)可參考文獻(xiàn)[13]）.設(shè)兩B樣條函數(shù)系數(shù)，Nj1，k1（t）和Nj2，k2（t）分別為定義在節(jié)點(diǎn)向量Γ1,Γ2上的k1和k2次B樣條基函數(shù).記k=k1+k2，節(jié)點(diǎn)向量Γ={…，ti，ti+1，…，ti+k，ti+k+1，…}，且節(jié)點(diǎn)ti∈Γ1或ti∈Γ2，其重?cái)?shù)m滿足：

其中m1和m2為節(jié)點(diǎn)ti在Γ1,Γ2中的重?cái)?shù).集合Ik={1，2，…，k}，從Ik中任取k1個(gè)數(shù)組成集合p={p1，…，pk1}，剩下的k2個(gè)數(shù)組成集合Q={q1，…，qk2}，對(duì)給定的i，記節(jié)點(diǎn)向量ΓP={…，ti，ti+p1，…，ti+pk1，ti+k+1，…}，ΓQ={…，ti，ti+q1，…，ti+qk2，ti+k+1，…}，則有:

引理1[13]f1,f2，k及節(jié)點(diǎn)向量Γ1,Γ2,ΓP,ΓQ,Γ如上所述，則兩B樣條函數(shù)的乘積f1（t）f2（t）能被定義在節(jié)點(diǎn)向量Γ上的k次B樣條基函數(shù)表示，即

其中αj1，k1，Γ1，ΓP和αj2，k2，Γ2，ΓQ為離散B樣條，Ⅱ表示P的所有可能性選擇.

引理2[13]定義在節(jié)點(diǎn)向量Т1上的k1次B樣條被表示成定義在節(jié)點(diǎn)向量Т上的k（k〉k1）次B樣條函數(shù)

對(duì)任一空間曲線r（t），滿足r′（t）×r″（t）≠0，記曲線在任一點(diǎn)t處的單位切向量、主法向量和副法向量為e（t），n（t）和b（t），其這三個(gè)向量兩兩正交，構(gòu)成曲線在點(diǎn)r（t）處的Frenet局部坐標(biāo)架.

2 B樣條曲面插值測地邊界線

假設(shè)兩條給定的5次B樣條曲線如下：

不妨設(shè)曲面R（u，v）以ri（u）為u向邊界測地線，則ri（u）上任意點(diǎn)處的主法向量平行于曲面R（u，v）在該點(diǎn)的法向量，因此曲面在該點(diǎn)的切平面可由向，從而插值曲面在邊界線ri（u）上的跨界切矢Rv（u，vi）可表示為：

其中，當(dāng)i=1時(shí)，vi=0；當(dāng)i=2時(shí)，vi=1.由于′（u）×（u）為6次(因′（u）與ri″（u）的最高次系數(shù)向量平行)，考慮到曲面R（u，v）至少達(dá)到C2連續(xù)并且次數(shù)盡量較低，這里取yi（u）為非零常數(shù)bi，xi（u）為二次B樣條函數(shù)義在節(jié)點(diǎn)向量T0={0,0,0,1,1,1}上.

下面將式（2）表示成B樣條形式.記

和Nj2，3（u）分別定義在節(jié)點(diǎn)向量T′和T″上，且T″′，T″與節(jié)點(diǎn)向量U有相同的內(nèi)節(jié)點(diǎn).

根據(jù)引理1，fi（u）可以表示成如下6次B樣條曲線：

同理，利用矢量積的坐標(biāo)表達(dá)式和引理1，gi（u）可以表示為7次C2連續(xù)的B樣條曲線，不妨記其控制頂點(diǎn)為（j=0，1，…，5m-18），節(jié)點(diǎn)向量為，其中的相異內(nèi)節(jié)點(diǎn)值與U的內(nèi)節(jié)點(diǎn)值相同，但重?cái)?shù)為5.由于q次多項(xiàng)式曲線r（u）的矢量積r′（u）×r″（u）為2q-4次多項(xiàng)式曲線（因?yàn)閞′（u）和r″（u）最高次項(xiàng)的向量系數(shù)平行），ri（u）為分段5次多項(xiàng)式曲線，因此在節(jié)點(diǎn)向量的每個(gè)非零子區(qū)間上gi（u）實(shí)際次數(shù)為6，即gi（u）實(shí)際上為定義在節(jié)點(diǎn)向量T上的6次C2連續(xù)B樣條曲線，設(shè)其表達(dá)式為：

由式（3）、式（4）、式（5）可得Rv（u，vi）的B樣條表示為：

為確定插值曲面相關(guān)控制頂點(diǎn)，再將兩條測地邊界線表示成式(6)的形式，由引理2有：

因插值曲面v向邊界線無約束，不妨設(shè)為3次B樣條曲線，其節(jié)點(diǎn)向量為V={v0，…，v3，v4，…，un，un+1，…，un+4}，uk＜vk+1（k=3，…，n），v0=…=v3=0，un+1=…=un+4=1記：

由式

對(duì)R（u，v）關(guān)于v求偏導(dǎo)，分別令v=0和1，聯(lián)合式（6）、式（8）得：

從式（9）可知，測地線插值條件（2）僅與曲面邊界線的控制頂點(diǎn)及鄰接邊界線的控制頂點(diǎn)有關(guān)，其他控制頂點(diǎn)是自由的.也就是說，若曲面R（u，v）以ri（u）為u向邊界線，當(dāng)其兩條u向邊界線的控制頂點(diǎn)由式（8）決定，鄰接邊界線的那兩排控制頂點(diǎn)由式（9）確定，其他內(nèi)部控制頂點(diǎn)自由選擇，則曲面R（u，v）必以ri（u）為u向邊界測地線.

按上述方法，基于OpenGL用C語言編程,6×3次C2連續(xù)B樣條曲面R（u，v）插值兩條給定的空間B樣條曲線為曲面等參邊界測地線的實(shí)例見圖1.圖1（a）表示由式(1)定義的兩條B樣條曲線（m=7）及其控制多邊形，圖1（b）表示由式（8）、式（9）確定的插值曲面兩條邊界線的30個(gè)控制頂點(diǎn)（紅色）、鄰接邊界線的30個(gè)控制頂點(diǎn)（藍(lán)色）及其控制多邊形.

圖1 B樣條曲面插值等參測地線

3 結(jié)論

文中給出了構(gòu)造一類B樣條曲面插值給定曲線為曲面邊界測地線的方法，當(dāng)給定的邊界線為5次C4連續(xù)B樣條曲線時(shí)，插值曲面顯式地表示為6×3次C2連續(xù)的張量積B樣條曲面.與插值條件相關(guān)的曲面控制頂點(diǎn)的顯式表示說明測地線插值僅與曲面邊界線和鄰接邊界線的那排控制頂點(diǎn)有關(guān)，與曲面內(nèi)部其他控制頂點(diǎn)無關(guān)，這使得插值條件中的自由參數(shù)僅影響曲面的局部形狀，其他區(qū)域形狀可通過內(nèi)部自由的控制頂點(diǎn)來調(diào)整.插值曲面表示為標(biāo)準(zhǔn)的張量積B樣條形式，符合當(dāng)今CAD系統(tǒng)的表示要求.該方法可推廣到相交測地線的插值曲面構(gòu)造，以解決目前插值曲面次數(shù)偏高等缺陷.

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Reconstruction of B-spline surfaces through isoparametric geodesics

YANG Huo-gen
（Faculty of Science,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China）

Based on the geometric features of geodesic on regular surface and the theory of products and degree raising of B-spline,a B-spline surface interpolating the given space B-spline curves is constructed.The curves are isoparametric boundary geodesics of the constructed surface.The control points associating with interpolation conditions are computed explicitly.The free parameters of the geodesic interpolation conditions only affect the local shape of surface,and the shape of the interpolating surface can be adjusted by its free inner control points.Being different from the traditional Coons interpolation scheme,the constructed surface is presented as standard tensor-product B-spline form,which is compatible with modern CAD systems.The method is illustrated with computational examples.

B-spline surfaces;products of B-spline;interpolation;geodesic

O241.5

A

2012-07-05

江西省自然科學(xué)青年基金項(xiàng)目(2009GQS0047)；江西理工大學(xué)科研基金項(xiàng)目計(jì)劃（jxxj11062）

楊火根(1975-)，男，副教授，主要從事CAGD和反向工程等方面的研究，E-mail:yanghuogen@126.com.

2095-3046（2012）05-0093-04