吳 超，沈如林

(湖北民族學(xué)院 數(shù)學(xué)系，湖北 恩施 445000)

1 引言與引理

眾所周知，Sylow定理是有限群理論中的最重要的定理之一.根據(jù)這個(gè)定理，對(duì)于任意的pam階有限群G，這里p和m互素，總是存在pa階子群，這個(gè)子群稱之為群G的Sylowp-子群，且群G的Sylowp-子群的個(gè)數(shù)np(G)滿足np(G)≡1(modp).稱np(G)是群G的Sylowp-數(shù)(或Sylow數(shù)).在文獻(xiàn)[1]中，P.Hall研究了可解群的Sylow數(shù)，在文獻(xiàn)[2]中,M.Hall利用有限群的模表示理論給出了自然數(shù)n成為Sylow數(shù)的一個(gè)充分條件.之后，張繼平在文獻(xiàn)[3]中系統(tǒng)地研究了Sylow數(shù)的算術(shù)性質(zhì)對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響并解決了解決了Huppert猜想(參見文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]).令sn(G)={np(G)|p∈π(G)}，這里π(G)是|G|的素因子集合，在文獻(xiàn)[3]中提出了下面的問題：sn(G)對(duì)群結(jié)構(gòu)有何影響？本文考慮了交錯(cuò)單群A6，得到如下定理：

定理1 設(shè)G是有限群且Z(G)=1.如果sn(G)=sn(A6)，那么A6≤G≤Aut(A6).

本文中所考慮的群均是有限群，p表示一個(gè)素?cái)?shù).群G·2表示群G被2階循環(huán)群的擴(kuò)張；G·22表示群G被4階初等交換2-群的擴(kuò)張.稱群G是一個(gè)Kn-群，如果|π(G)|=n.

引理1[1]設(shè)G是有限可解群且|G|=mn，這里m=p1α1，p2α2…，prαr,(m,n)=1.令π={p1,p2,…,pr}，再令hm=q1β1，q2β2，…，qsβs是G的π-Hall子群的個(gè)數(shù)，那么對(duì)任意的i∈{1,2,…,s},hm滿足下面兩個(gè)條件：

(i)對(duì)某個(gè)pj，qiβi≡1(modpj)；

(ii)G的某個(gè)主因子的階被qiβi整除.

引理2[5]設(shè)G是一個(gè)K3-單群，那么G同構(gòu)于下列群之一：A5,A6,PSL(2,7),PSL(2，8),PSL(2，17),PSL(3,3),PSU(3，3)或者PSU(4,2).

引理3[6]設(shè)G是有限群且H,K≤K，那么[H,K]≤K當(dāng)且僅當(dāng)H≤NG(K).

引理4[3]設(shè)G是有限群且M是G的正規(guī)子群，那么np(M)和np(G/M)均整除np(G)，并且np(M)np(G/M)|np(G).

引理5[2]有限群G的Sylowp-數(shù)是下列兩種類型的數(shù)的乘積：

(i)單群的Sylowp-數(shù)；

(ii)素?cái)?shù)冪qt≡1(modp).

引理6[2]若n=1+rp,13是費(fèi)馬素?cái)?shù).

引理7[6]設(shè)P∈Sylp(G)，H≥NG(P)，則H=NG(H).

引理8[7]如果下列條件之一滿足，則有限群G可解.

(i)|sn(G)|=2；

(ii)sn(G)={1,a,b}；

(iii)sn(G)={pr,a,b}，其中p為素?cái)?shù)，并且或者(a,b)=1，或者p不整除ab.

引理9 數(shù)36不是某個(gè)有限群G的Sylow 7-數(shù).

2 定理1的證明

首先證明π(G)=π(A6)={2,3,5}且np(G)=np(A6)，對(duì)所有的p∈π(G).已知|A6|=360=23·32·5，根據(jù)A6子群的結(jié)構(gòu)不難計(jì)算n2(A6)=45，n3(A6)=10，n5(A6)=36，所以sn(G)=sn(A6)={45,10,36}，由np(G)≡1(modp)可得G的階可能含有2,3,5,7,11這些素因子，下面排除7和11這兩個(gè)素因子，若G含有7和11這兩個(gè)素因子，由np(G)≡1(modp)可得n7(G)=36，n11(G)=45，分別由引理9和引理6知這是不可能的，于是π(G)=π(A6)={2,3,5}，從而此時(shí)又由np(G)≡1(modp)易得np(G)=np(A6)，對(duì)所有的p∈π(G).這樣就證明了π(G)=π(A6)={2,3,5}且np(G)=np(A6)，對(duì)所有的p∈π(G).

(2)如果H/N?A6，證明同第(1)種情形，有：A6≤G/K≤Aut(A6)=PΓL(2,9)，這里|PΓL(2,9)|=1440.所以G/K?A6或者G/K?S6?A6·21或者G/K?PGU2(9)?A6·22或者G/K?M10?A6·23或者G/K?PΓL(2，9)?A6·22.所以n3(G/K)=n3(A6)，n5(G/K)=n5(A6)，這里G/K?A6或者G/K?S6?A6·21或者G/K?PGU2(9)?A6·22或者G/K?M10?A6·23或者G/K?PΓL(2，9)?A6·22，又由引理4可得，n2(A6)=45|n2(G/K)，而由Sylow定理又有n2(G/K)|45，所以：n2(G/K)=n2(A6)，這里G/K?A6或者G/K?S6?A6·21或者G/K?PGU2(9)?A6·22或者G/K?M10?A6.23或者G/K?PΓL(2，9)?A6·22，又由第一段已證明np(G)=np(A6)，對(duì)所有的p∈π(G)，所以np(G)=np(G/K)，對(duì)所有的p∈π(G)，這里這里G/K?A6或者G/K?S6?A6·21或者G/K?PGU2(9)?A6·22或者G/K?M10?A6·23或者G/K?PΓL(2，9)?A6·22，因此由引理10，K=1且G?A6或者G?S6?A6·21或者G?PGU2(9)?A6·22或者G?M10?A6·23，或者G?PΓL(2，9)?A6·22，即A6≤G≤Aut(A6).為使結(jié)論成立，下面僅需驗(yàn)證G?A6或者G?S6?A6·21或者G?PGU2(9)?A6·22或者G?M10?A6·23，或者G?PΓL(2，9)?A6·22的中心壩為1.由文獻(xiàn)[4]通過觀察PΓL(2，9)?A6·22的特征標(biāo)表有：PΓL(2,9)=A6∪(S6?A6·21)∪(PGU2(9)?A2.22)∪(M10?A6·22)，由于A6是單群，顯然Z(A6)=1，由PΓL(2，9)?A6·22的特征標(biāo)表，A6中存在2階元、3階元和5階元，若S6?A6·21，PGU2(9)?A6·22，M10?A6·23的中心均不等于1，那么必存在的非單位的2階元a,b,c是分別是它們的中心，那么S6?A6·21中存在10階元，PGU2(9)?A6·22中存在4階元，M10?A6·23中存在6階元，而由PΓL(2，9)?A6·22的特征標(biāo)表，S6?A6·21中不存在10階元，PGU2(9)?A6·22中不存在4階元，M10?A6·23中不存在6階元，矛盾，所以Z(S6?A6·21)=1，Z(PGU2(9)?A6·22)=1，Z(M10?A6·23)=1，又PΓL(2,9)=A6∪(S6?A6·21)∪(PGU2(9)?A2.22)∪(M10?A6·22)，所以：Z(PΓL(2,9))=1.這樣就證明了G?A6或者G?S6?A6·21或者G?PGU2(9)?A6·22或者G?M10?A6·23，或者G?PΓL(2，9)?A6·22，即：A6≤G≤Aut(A6).

綜上所述，A6≤G≤Aut(A6)，證畢.

注意，如果將定理1中的交錯(cuò)單群A6改為A5時(shí)，容易證明一個(gè)更強(qiáng)的結(jié)果，即G?A5.上面的兩個(gè)群都是比較特殊的交錯(cuò)單群，如果考慮一般的交錯(cuò)單群，問是否還有類似于A6的結(jié)果，即有如下問題：

問題1 設(shè)An是交錯(cuò)單群，這里n≥5，G是有限群且Z(G)=1.如果sn(G)=sn(S)，是否有An≤G≤ Aut(An)？

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