巴哈爾古力,劉 洋

(伊犁師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 伊寧 835000)

近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微分方程是研究的熱點(diǎn)方向之一，它在材料工程等領(lǐng)域得到了重要的應(yīng)用.例如：已成功應(yīng)用于粘彈力學(xué)、信號(hào)處理、控制等領(lǐng)域.因此研究分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題有著重要的意義.

本文討論非線性分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)階微分方程：

u(0)-u′(0)=0，u(1)+u′(1)=0.

1 基本概念

定義1[1]函數(shù)h:(0,)→R的α>0階Riemann-liouville積分是指：

其中Γ(·)為Gamma函數(shù).

定義2[2-3]函數(shù)f:(0,)→R的α>0階Caputo導(dǎo)數(shù)是指：

其中Γ(·)為Gamma函數(shù),n=[α]+1([α]表示小于α的最大整數(shù)).

其中ci∈R，i=0,1,2,…,n-1.

1)T存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；

2)存在x∈U，λ∈(0,1) 使得x=λTx.

定理3[6]若u∈C(0,1)，且1<α≤2，則分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題：

(1)

u(0)-u′(0)=0,u(1)+u′(1)=0,

(2)

唯一解可以表示為:

根據(jù)邊值條件(2)，可得：

2 主要結(jié)果

定義算子T:X→X[7-8]為:

則邊值問(wèn)題(1)有解等價(jià)于算子方程Tu=u有不動(dòng)點(diǎn).

引理1 若f:[0,1]×R→R是連續(xù)函數(shù)，則T是全連續(xù)算子.

證明易知T是連續(xù)的，定義u∈D={u∈X;‖u‖≤l,l>0},

所以，算子T一致有界.下證T等度連續(xù).

?u∈D,?ε>0,t1

因此，T是等度連續(xù)的，根據(jù)Arzela-ascoli定理，算子T是全連續(xù)算子.

3 例子

例1 討論分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題：

的解的存在性.其中0<θ≤1.

由定理4可以得到：

由定理4知：邊值問(wèn)題存在一個(gè)解.

[1] Zhang S Q.Existence of solution for a boundary value problem of fractional order[J].Acta Mathematica Scientica,2006,26B:220-228.

[2] Bai Z B,Lǘ H S.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation[J].Journal of Mathematical Analysis Applications,2005，311：495-505.

[3] J.I.Podlubny.Fractional Differential Equations[M].New York:Academic Press,1999.

[4] Tatom F B.The relationship between fraction calculus and fractals[J].Fractals,1995,3:217-229.

[5] Moustafa El-Shahed.Existence of a solution for a boundary value problem of fractional order[J].Advances in Applied Mathematical Analysis，2007，2(1)：1-8.

[6] 郭大鈞，孫經(jīng)先，劉兆理.非線性常微分議程泛函方法[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，1995.

[7] Erbe L H,Hu S and Wang H. Multiple positive solutions of some boundary value problems[J].J Math Anal Appl,1994,184:640-648.

[8] Jiang D Q.On the existence of positive solutions to a second order periodic BVP[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào):英文版，1998,18:31-35.