命題1：在數(shù)列{a}中a，已知首項(xiàng)a，且n≥2時(shí)，a=pa+q（p≠1，q≠0），則稱方程x=px+q為數(shù)列{a}的一階特征方程，其特征根為x=，數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為a=（a-x）p+x.
　　由以上命題可知，對于遞推關(guān)系形如a=pa+q（p≠1，q≠0）的數(shù)列可以通過解特征方程x=px+q，構(gòu)造等比數(shù)列{a-x}，求{a}的通項(xiàng).
　　當(dāng)p=1時(shí)，數(shù)列{a}為等差數(shù)列，當(dāng)q=0（p≠0）時(shí)，數(shù)列{a}為等比數(shù)列.
　　例1：（2007.全國Ⅱ.21）設(shè)數(shù)列{a}的首項(xiàng)a∈（0，1），a=，n=2，3，4…，
　?。?）求{a}的通項(xiàng)公式x=；
　　（2）設(shè)b=a，證明b＜b，其中n為正整數(shù).
　　解：（1）解方程x=，得x=1，
　　所以a=，
　　可化為a=-（a-1），
　　于是a=（-）（a-1），
　　a=-（）（a-1）+1（n≥2）
　　當(dāng)n=1時(shí)，a=（a-1）+1=a.
　　所以數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為a=（-）（a-1）+1.
　?。?）證明：由（1）可知0＜a＜，故b＞0.
　　那么，b-b=a（3-2a）-a（3-2a）
　　=（）?（3-2×）-a（3-2a）
PSzmk6y0oyjbJDL7SvbYyKInm+xLKz7nZbd3QdEZc74=　　=（a-1）.
　　又由（1）知a＞0且a≠1，故b-b＞0，
　　因此b＜b，n為正整數(shù).
　　命題2：在數(shù)列{a}中，a、a均已知，當(dāng)n≥3時(shí)，a=pa+qa，（p，q為非零常數(shù)）則該方程x=px+q為數(shù)列{a}的二階特征方程，其根x，x（x，x均不為零）稱為特征根，此時(shí)有以下結(jié)論：
　?。?）當(dāng)x=x時(shí)，有a=［a+（n-1）d］x；
　?。?）當(dāng)x≠x時(shí)，有a=cx+cx.
　　其中c，c，d由初始條件中a，a來確定.
　　由以上命題可知，對于遞推關(guān)系形如a=pa+qa，（p，q為非零常數(shù)）的數(shù)列可以通過解特征方程x=px+q，構(gòu)造等比數(shù)列{a-xa}，把問題轉(zhuǎn)化為命題1的形式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
　　例2：已知數(shù)列{a}中，a=0，a=1，且n≥3時(shí)，a=2a-a，求a.
　　解：數(shù)列{a}的特征方程為x=2x+1，特征根為x=x=1.
　　所以a=［a+（n-1）d］x
　　=a+（n-1）d，
　　將a=0，a=1代入上式得d=1，
　　所以a=n-1，
　　于是a=2007.
　　例3：已知數(shù)列中，a=a=1，且a＞2時(shí)，a=a+a，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式.
　　解：由特征方程x=x+1解得
　　x=，x=
　　∵x≠x
　　∵通項(xiàng)a=c（）+c（）
　　把a(bǔ)=a=1代入上式得
　　c=-，c=
　　于是a=［（）-（）］.