《考試說(shuō)明》對(duì)各項(xiàng)數(shù)學(xué)能力提出了可測(cè)性的要求，高考試題是各項(xiàng)要求的具體體現(xiàn)，要理解、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，透徹地分析一些高考試題是一個(gè)不錯(cuò)的途徑.數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)中最重要的思想方法之一.下面先解讀《2011年福建數(shù)學(xué)考試說(shuō)明》對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的考查要求.
　　數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面.
　　數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、形象化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題思路，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程.
　　實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，通常有以下途徑：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②有序數(shù)組與坐標(biāo)平面（空間）上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；③函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系；④曲線(xiàn)與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；⑤以幾何元素和幾何條件為背景建立起來(lái)的概念，如向量、復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑥所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義.
　　運(yùn)用數(shù)形結(jié)合研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，加強(qiáng)了知識(shí)的橫向聯(lián)系和綜合應(yīng)用，對(duì)于溝通代數(shù)與幾何的聯(lián)系，具有指導(dǎo)意義.縱觀多年來(lái)的高試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起事半功倍的效果.數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，這在解選題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，做到心中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野.
　　《考試說(shuō)明》明確提出數(shù)形結(jié)合思想，包含：（1）“以形助數(shù)”（即代數(shù)問(wèn)題幾何化）：借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì).（2）“以數(shù)輔形”（即幾何問(wèn)題代數(shù)化）：借助數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線(xiàn)的方程來(lái)精確地闡明曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，立體幾何中常見(jiàn)的探究滿(mǎn)足條件的線(xiàn)段AB上的點(diǎn)P時(shí)可設(shè)=λ或AP∶PB=k，等等.（3）數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”.
　　對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的考查，考綱精神怎樣在具體的高考試題中得以體現(xiàn)呢？我?guī)е@樣的疑問(wèn)通覽了近幾年各地高考，發(fā)現(xiàn)近幾年各地高考對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查堪稱(chēng)完美.在近幾年各地高考中涉及的集合與邏輯、函數(shù)、方程、不等式、向量、數(shù)列、解析幾何、立體幾何都可舉到“以形助數(shù)”的例子；而且數(shù)形結(jié)合的“常用公式”有：兩點(diǎn)間的距離公式（“平方和”）、斜率坐標(biāo)公式（“分式”）、二元變量的等式（函數(shù)與方程）、一（二）元一次不等式等；結(jié)合的“常用圖”有：Venn圖、數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系（函數(shù)的圖像、平面區(qū)域、直線(xiàn)與曲線(xiàn)等）、平面向量、三角函數(shù)、直線(xiàn)、圓、圓錐曲線(xiàn)、立體圖形等.下面分析“以形助數(shù)”的幾個(gè)應(yīng)用例子.
　　例1.（2008湖北卷）方程2+x＝3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為.
　　分析：針對(duì)方程的“超越性”，無(wú)法直接求解，可考慮方程變形.
　　將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，有幾種變形方法？方程變形為3-x＝2，令y＝3-x，y＝2，由圖像可知有2個(gè)交點(diǎn).
　　例2.（2009山東卷文14理14，若函數(shù)f（x）=a-x-a（a＞0，a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
　　分析：求函數(shù)的零點(diǎn)的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求方程的根.針對(duì)方程的“超越性”，無(wú)法直接求解.借助圖形作出定性判斷是相關(guān)問(wèn)題的唯一思路.
　　將已知條件轉(zhuǎn)化為“函數(shù)y=a與y=x+a的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)”，從而可利用“數(shù)形結(jié)合”通過(guò)“觀察法”得出結(jié)論：其中對(duì)函數(shù)y=a的圖像，以及對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論是求解的關(guān)鍵.
　　故a＞1
　　例3.（2008全國(guó)卷Ⅰ理9）設(shè)奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（1）=0，則不等式＜0的解集為（D）.
　　A.（-1，0）∪（1，+∞）B.（-∞，1）∪（0，1）C.（-∞，-1）∪（1，+∞）D.（-1，0）∪（0，1）
　　分析：如圖，作出函數(shù)的圖像，由奇函數(shù)f（x）可知=＜0，由圖可知原不等式解集為（-1，0）∪（0，1）.
　　小結(jié)：在選擇題或填空題中給出一個(gè)函數(shù)的某些特征或性質(zhì)時(shí)，常利用圖像求解之.利用函數(shù)圖像解決有問(wèn)題的基本思路：研究函數(shù)的基本性質(zhì)→（借助特征點(diǎn)（線(xiàn)））作出函數(shù)的圖像→利用函數(shù)圖像解決有關(guān)問(wèn)題.
　　例4.（2010年江蘇卷）若函數(shù)f（x）=x+1，x≥0，1，x＜0，則滿(mǎn)足不等式f（1-x）＞f（2x）的x的范圍是.
　　分析：觀察圖像可知：不等式f（1-x）＞f（2x）?圳2x≥01-x＞2x或2x＜01-x＞0，解得-1＜x＜-1.
　　例5.（2011年全國(guó)卷文12）已知函數(shù)y=f（x）的周期為2，當(dāng)x∈［-1，1］時(shí)，f（x）=x，那么函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=|lgx|的圖像的交點(diǎn)共有（）.
　　A.10個(gè)B.9個(gè)C.8個(gè)D.1個(gè)
　　分析：本題考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)，屬于難題.本題可用圖像法解，易知共10個(gè)交點(diǎn).
　　例6.已知acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=c（ab≠0，α-β≠kπ，k∈Z），則cos=（A）.
　　A. B. C. D.
　　方法一（特值法）：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）是直線(xiàn)l：ax+by=c與單位圓x+y=1的兩個(gè)交點(diǎn)，如圖.若取α=，β=，則有cos=，-a+b=ca+b=c，解得a=0，b=c.
　　方法二：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（cosα，sinα）B（cosβ，sinβ）是直線(xiàn)l：ax+by=c與單位圓x+y=1的兩個(gè)交點(diǎn)，如圖.
　　從而|AB|=（cosα-cosβ）+（sinα-sinβ）=2-2cos（α-β）.
　　∵單位圓的圓心到直線(xiàn)l的距離d=|OM|=，
　　由平面幾何知識(shí)知|OA|=|OM|+（|MA|），
　　即1-=d=，∴cos=.
　　方法三：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（cosα，sinα）B（cosβ，sinβ）是直線(xiàn)l：ax+by=c與單位圓x+y=1的兩個(gè)交點(diǎn)，如圖.根據(jù)三角函數(shù)的定義，可知OA，OB分別是角α，β的終邊，α-β=2kπ±∠AOB，k∈Z，所以=kπ±∠AOB=kπ±∠AOM，k∈Z，cos=cos（kπ±∠AOM）=cos∠AOM，cos∠AOM==d=
　　∴cos=.
　　小結(jié)：數(shù)形結(jié)合的相關(guān)知識(shí)有：三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)線(xiàn)、三角函數(shù)的圖像、（cosθ，sinθ）是圓x+y=1上的點(diǎn)等.
　　例7.（2010福建省質(zhì)檢文21）已知函數(shù)f（x）=xe.
　?。á瘢┣骹（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
　?。á颍┦欠翊嬖趯?shí)數(shù)a使得對(duì)于任意的x，x∈（a，+∞），且x＜x，恒有＞成立？若存在，求a的范圍；若不存在，說(shuō)明理由.
　　解法一：（見(jiàn)質(zhì)檢卷參考答案）
　　解法二：（Ⅰ）略；（Ⅱ）如圖，設(shè)P（x，y），P（x，y）則k=，k=由圖可知，要使對(duì)于任意的x，x∈（a，+∞），且x＜x，恒有k＜k成立，只需滿(mǎn)足k（x）=f′（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，故有k′（x）=e（x+2）≥0對(duì)x＞a恒成立，解不等式得x≥-2，要使k′（x）=e（x+2）≥0對(duì)x＞a恒成立，只需滿(mǎn)足（a，+∞）?哿［-2，+∞），解不等式得x≥-2，所以a≥-2.
　　解法三：（Ⅰ）略；
　?。á颍┤鐖D，設(shè)P（x，y），P（x，y）則k=，k=，由圖可知，要使對(duì)于任意的x，x∈（a，+∞），且x＜x，恒有k＜k成立，只需函數(shù)y=f（x）的圖像在P，P處的切線(xiàn)斜率k，k滿(mǎn)足k＜k即k（x）＜k（x），故k（x）=f′（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，故有k′（x）=e（x+2）≥0對(duì)x＞a恒成立，解不等式得x≥-2，要使k′（x）=e（x+2）≥0對(duì)x＞a恒成立，只需滿(mǎn)足（a，+∞）?哿［-2，+∞），所以a≥-2.
　　
　　例8.（2010湖北文卷21）設(shè)函數(shù)f（x）=x-x+bx+c，其中a＞0.曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線(xiàn)方程為y=1.
　　（Ⅰ）確定b，c的值；
　　（Ⅱ）設(shè)曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（x，f（x））及（x，f（x））處的切線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)（0，2）.證明：當(dāng)x≠x時(shí)，f′（x）≠f′（x）；
　?。á螅┤暨^(guò)點(diǎn)（0，2）可作曲線(xiàn)y=f（x）的三條不同切線(xiàn)，求a的取值范圍.
　　解：（Ⅰ）由f（x）=x-x+bx+c得：f（0）=c，f′（x）=x-ax+b，f′（0）=b.
　　又由曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線(xiàn)方程為y=1，得f（0）=1，f′（0）=0.
　　故b=0，c=1.
　?。á颍ゝ（x）=x-x+1，f′（x）=x-ax.
　　由于點(diǎn)（t，f（t））處的切線(xiàn)方程為y-f（t）=f′（t）（x-t），
　　而點(diǎn)（0，2）在切線(xiàn)上，所以2-f（t）=f′（t）（-t），化簡(jiǎn)得t-t+1=0，
　　即關(guān)于t的方程為t-t+1=0.
　　下面用反證法證明.
　　假設(shè)f′（x）=f′（x），由于曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（x，f（x））及（x，f（x））處的切線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)（0，2），則下列等式成立.
　　x-x+1=0（1）x-xx+1=0（2）x-ax=x-ax（3）
　　由（3）得x+x=a.
　　由（1）-（2）得x+xx+x=a（4）
　　又x+xx+x=（x+x）-xx=a-x（a-x）=x-ax+a=（x-）+a≥a.
　　故由（4）得x=，此時(shí)x=與x≠x，矛盾.
　　∴假設(shè)不成立即f′（x）≠f′（x）成立.
　?。á螅┯桑á颍┲^(guò)點(diǎn)（0，2）可作y=f（x）的三條切線(xiàn)，等價(jià)于方程2-f（t）=f′（t）（0-t）有三個(gè)相異的實(shí)根，即等價(jià)于方程t-t+1=0有三個(gè)相異的實(shí)根.
　　設(shè)g（t）=t-t+1.g′（t）=2t-at=2t（t-），由于a＞0，故有
　　作出函數(shù)y=g（t）的圖像，如圖.
　　由圖可知，要使g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)根，
　　當(dāng)且僅當(dāng)1-＜0，a＞2.
　　∴a的取值范圍是（2，+∞）.
　　小結(jié)：利用函數(shù)圖像解決有問(wèn)題的基本思路：研究函數(shù)的基本性質(zhì)→（借助特征點(diǎn)（線(xiàn)））作出函數(shù)的圖像→利用函數(shù)圖像解決有關(guān)問(wèn)題.
　　例9.（“伯樂(lè)馬”數(shù)學(xué)思想方法（二））已知函數(shù)f（x）=x+ax+2bx+c，函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)取得極大值，函數(shù)f（x）在（1，2）內(nèi)取得極小值.
　　（Ⅰ）求a+b的取值范圍；（Ⅱ）求u=的取值范圍；（Ⅲ）求a-2a+b的取值范圍.
　　解：f′（x）=x+ax+2b，∵函數(shù)f（x）在（0，1）取得極大值，在（1，2）取得極小值.
　　∴f′（x）=x+ax+2b=0有兩根，一根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)
　　∴有f′（0）＞0f′（1）＜0f′（2）＞0，即b＞0a+2b+1＜0a+b+2＞0
　　作出可行域，如圖所示，
　　D（-2，0），B（-1，0），A（-3，1）
　?。á瘢┝頰+b=t，則由圖可知
　　a+b的取值范圍為（-2，-1）
　?。á颍﹗=可以看作是點(diǎn)（a，b）和點(diǎn)C（1，2）
　　所在的直線(xiàn)的斜率，則u=∈（k，k），
　　k=，k=1∴u=的取值范圍為（，1）.
　?。á螅゛-2a+b=（a-1）+b-1.
　　可以看作是點(diǎn)（a，b）和點(diǎn)M（1，0）間的距離，|MB|＜＜|MA|
　　|MA|=，|MB|=2，∴a-2a+b的取值范圍為（3，16）.
　　以上幾個(gè)例子都是充分利用幾何圖形的性質(zhì)直觀、簡(jiǎn)捷地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓我們感受數(shù)形結(jié)合思想求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的“數(shù)學(xué)美”，再次體會(huì)著名數(shù)學(xué)家華羅庚的詩(shī)句：“數(shù)形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛.數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”