陳文敏

（成都紡織高等專科學(xué)校電子信息與電氣工程系，四川 成都 611731）

一種混沌電路的設(shè)計(jì)與仿真

陳文敏

（成都紡織高等?？茖W(xué)校電子信息與電氣工程系，四川 成都 611731）

研究一種混沌電路，對(duì)其數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析；設(shè)計(jì)電路原理圖，并利用EWB軟件平臺(tái)進(jìn)行仿真，理論分析仿真結(jié)果得到證實(shí)。

混沌；仿真；奇怪吸引子

混沌現(xiàn)象揭示了自然界和人類社會(huì)中普遍存在復(fù)雜性，有序性和無(wú)序性的統(tǒng)一、確定性和隨機(jī)性的統(tǒng)一，它既涉及到自然科學(xué)又涉及到社會(huì)科學(xué)，覆蓋面大，跨學(xué)科廣，綜合性強(qiáng)，發(fā)展前景和影響之深都是空前的，改變著幾乎所有科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域［1］。長(zhǎng)期以來(lái)，人們?cè)谡J(rèn)識(shí)和描述運(yùn)動(dòng)時(shí)，大多只局限于線性動(dòng)力學(xué)描述方法，即確定的運(yùn)動(dòng)有一個(gè)完美確定的解析解。但是自然界在相當(dāng)多情況下，非線性現(xiàn)象卻起著很大的作用。1963年美國(guó)氣象學(xué)家Lorenz在分析天氣預(yù)報(bào)模型時(shí)，首先發(fā)現(xiàn)空氣動(dòng)力學(xué)中的混沌現(xiàn)象，該現(xiàn)象只能用非線性動(dòng)力學(xué)來(lái)解釋。于是，1975年混沌作為一個(gè)新的科學(xué)名詞首次出現(xiàn)在科學(xué)文獻(xiàn)中［2］。從此，非線性動(dòng)力學(xué)迅速發(fā)展，成為有豐富內(nèi)容的研究領(lǐng)域。該學(xué)科涉及非常廣泛，從電子學(xué)到物理學(xué)，從氣象學(xué)到生態(tài)學(xué)，從數(shù)學(xué)到經(jīng)濟(jì)學(xué)等［3］。混沌通常具有下述主要特征：非線性、對(duì)初值極端敏感性、遍歷性、隨機(jī)性和分?jǐn)?shù)維特性［4］?；煦缤ǔＯ鄳?yīng)于不規(guī)則或非周期性，這是由非線性系統(tǒng)本質(zhì)產(chǎn)生的?；煦珉娐?，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是能夠產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的電路。

現(xiàn)代電路理論的一個(gè)重要的內(nèi)容就是研究非線性電路，而混沌電路的研究是非線性電路研究的重要分支之一［5］?；煦珉娐分饕芯康膬?nèi)容包括混沌電路概念、混沌電路數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、基本分析方法、基本設(shè)計(jì)方法和混沌電路應(yīng)用等方面。本文主要討論一種混沌電路的設(shè)計(jì)與仿真。

1 數(shù)學(xué)模型

幾十年來(lái)，研究者們已經(jīng)提出了很多種能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的三階非線性微分方程和其他方程，如李納德（Leonard）方程、杜芬（Doffing）方程、洛倫茲（Lorenz）方程［6］、蔡氏方程、陳氏方程等，這些方程都是相應(yīng)的混沌電路的數(shù)學(xué)模型。本文研究的混沌電路的數(shù)學(xué)模型為

這是一個(gè)三階常系數(shù)非線性微分方程，由于方程中不含時(shí)間t，所以是一個(gè)三階自治方程。為便于設(shè)計(jì)，可做如下變換，將方程（1）變成一個(gè)三階常微分方程組。

2 理論分析

解式（3）可得到系統(tǒng)的2個(gè)平衡點(diǎn)，O（1，0，0）和E（－1，0，0）。在平衡點(diǎn)O（1，0，0）處對(duì)（2）進(jìn)行線性化處理可得

由式（4）可知，其雅可比（Jacobi）矩陣為

為求得特征值λ，令

可解得在平衡點(diǎn)O（1，0，0）處的3個(gè)特征值為

由式（5）可知，3個(gè)特征值中，2個(gè)實(shí)部為負(fù)值，1個(gè)實(shí)部為正值，所以平衡點(diǎn)O（1，0，0）為鞍點(diǎn)［2］，其指標(biāo)為1，是不穩(wěn)定的。

同理可求得在平衡點(diǎn)E（－1，0，0）處的3個(gè)特征值為

由式（6）可知，平衡點(diǎn)E（－1，0，0）也是一個(gè)鞍點(diǎn)，其指標(biāo)為2，也是不穩(wěn)定的。另外，方程（1）的李雅普諾夫指數(shù)λL1＝0.105、λL2＝0和λL3＝ －0.545，系統(tǒng)具有一個(gè)正的李雅普諾夫指數(shù)，其吸引子是奇怪吸引子［2］，維數(shù)DL

從上述理論分析可知，該模型具有2個(gè)平衡鞍點(diǎn)，這是與蔡氏電路通常具有3個(gè)平衡點(diǎn)的最大不同之處，同時(shí)該模型具有一個(gè)正的李雅普諾夫指數(shù)，說(shuō)明該模型能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，當(dāng)然這還需要后面的仿真試驗(yàn)來(lái)證實(shí)。

3 信號(hào)框圖

從上面的分析可知，系統(tǒng)具有2個(gè)不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。為了分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，利用EWB進(jìn)行仿真試驗(yàn)研究。為畫出系統(tǒng)的電路原理圖，先由式（2）可畫出與之對(duì)應(yīng)的信號(hào)框圖見圖1。

4 電路原理圖

由圖1可知，實(shí)現(xiàn)式（2）的電路應(yīng)該包括3個(gè)積分器、2個(gè)放大器、1個(gè)乘法器、一個(gè)加法器和相應(yīng)的反相器（圖1未畫出）。從實(shí)現(xiàn)的難易程度和成本的考慮，積分器、放大器、加法器和反相器可以用由集成運(yùn)算放大器構(gòu)成的單元電路來(lái)實(shí)現(xiàn)，例如集成運(yùn)算放大器可選用TL084CN，而乘法器可以選擇集成乘法器，如AD633AN四象限集成模擬乘法器。在EWB中的電路原理圖見圖2。

5 仿真試驗(yàn)

按圖2利用EWB軟件平臺(tái)進(jìn)行仿真試驗(yàn)。仿真結(jié)果見圖3～8，其中圖3～5分別為系統(tǒng)輸出X、Y和Z的時(shí)域波形，圖5～8分別為X－Y、Y－Z和X－Z的相圖。

由圖3～8可知，電路出現(xiàn)了奇怪吸引子，產(chǎn)生了混沌，證實(shí)了理論分析的結(jié)論。

圖1 式（2）的信號(hào)框圖Figure 1 Signal diagram

圖2 系統(tǒng)的電路原理圖Figure 2 Circuit principle diagram

6 結(jié)語(yǔ)

通過設(shè)計(jì)一個(gè)基于三階常系數(shù)非線性微分方程的混沌電路。①分析系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，得出了該系統(tǒng)的2個(gè)平衡點(diǎn)都是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)的結(jié)論；并計(jì)算了系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)和系統(tǒng)的維數(shù)，理論分析都指出由式（1）描述的系統(tǒng)是一個(gè)混沌系統(tǒng)。②對(duì)系統(tǒng)在EWB軟件平臺(tái)上進(jìn)行了設(shè)計(jì)和仿真，仿真結(jié)果證實(shí)了理論分析的正確性。本文提出的混沌電路具有簡(jiǎn)單的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)且僅僅只有2個(gè)平衡點(diǎn)，而該系統(tǒng)具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，這個(gè)系統(tǒng)可以用簡(jiǎn)單的非線性電路來(lái)實(shí)現(xiàn)，在保密通信、電子測(cè)量等方面具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。

1 李詳飛.混沌優(yōu)化理論在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的研究［D］.長(zhǎng)沙：中南大學(xué)，2003.

2 劉凌，蘇燕辰，劉崇新.一個(gè)新混沌系統(tǒng)及其電路仿真實(shí)驗(yàn)［J］.物理學(xué)報(bào)，2006，55（8）：3 933～3 937.

3 高金峰.非線性電路與混沌［M］.北京：科學(xué)出版社，2005.

4 王東生，曹磊.混沌、分形及其應(yīng)用［M］.合肥：中國(guó)科技大學(xué)出版社，1995.

5 黃潤(rùn)生.混沌及其應(yīng)用 ［M］.第二版.武漢：武漢大學(xué)出版社，2005.

6 楊志民.現(xiàn)代電路理論與設(shè)計(jì)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2009.

A chaos circuit design and simulation

CHEN Wen－min

（Electrical Department，Chengdu Textile College，Chengdu，Sichuan611731，China）

A chaotic circuit was studied，and the mathematical model was analyzed.According to the results of analysis，this conclusion is a chaotic circuit.Then design the circuit principle diagram，and EWB software platform was used to simulate，and the theoretical analysis simulation results was proved.

chaos；simulation；attractor

10.3969／j.issn.1003－5788.2011.04.033

陳文敏（1974－），男，成都紡織高等?？茖W(xué)校講師，工程碩士。E－mail：157547973＠qq.com

2011－04－11