曾甲生

(湖南商學院信息學院,湖南 長沙 410205)

1 引言

Littlewood-Paley 算子作為分析數(shù)學中一個十分重要的積分算子,本文提出了Littlewood-Paley 算子相關(guān)聯(lián)的多線性交換子的概念,并將研究它們在Hardy型空間中的有界性．我們先給出一些記號和定義．

設B=B(x0,r)表示中心為x0半徑為r的球．給定B和局部可積函數(shù)f,令

稱f屬于BMO,若f#∈L∞并且定義‖f‖BMO=‖f#‖L∞．

設m為正整數(shù),bj(x)(j=1,…m)為可積函數(shù)，對任意的正整數(shù)1≤j≤m,我們記

本文將要研究的Littlewood-Paley算子定義如下：

令ε≥0以及確定一個函數(shù)φ，滿足如下條件：

(2)|φ(x)|≤C(1+|x|)-(n+ε)；

(3)|φ(x+y)-φ(x)|≤C|y|ε(1+|x|)-(n+1+ε)．

設m為正整數(shù)，bj(x)(j=1,…m)為可積函數(shù)，則由Littlewood-Paley算子和bj(x)生成的多線性交換子定義為：

定義1設m為正整數(shù),bj(x)(j=1,…m),w(x)為可積函數(shù)并且w(x)∈A1(即Mw(x)

(i)suppa(x)?B=B(x0,r);

有了這兩個定義,下節(jié)我們將敘述并證明本文的結(jié)論．

2 定理及其證明

定理1的證明我們只需證明存在常數(shù)C>0，使對任意(w,b)原子a(x)滿足

事實上，設a(x)為(w,b)原子，suppa(x)?B=B(x0,r),記

設給定q>1,運用H?lder’s不等式，以及Sφ,b(f)(x)的Lq-有界性[5]可得：

又可知

注意到2t+|x0-y|>2t+|x0-x|-|x-y|>t+|x0-x| 當|x-y|

由此可知

所以

對上面的估計，因為w∈A1，w滿足逆H?lder’s不等式，對于任意的球Q，和某個1

所以上式會小于或等于

定理1證畢．

在證明定理2之前，首先闡述一個引理[7]：

定理2的證明根據(jù)引理，只要證明存在一個常數(shù)C，對于任意的w-原子a，suppa(x)?B=B(x0,r)，有下式成立,

由

w({x∈(2B)c:Sφ,b(a)(x)>λ})≤w({x∈2B:Sφ,b(a)(x)>λ})+

w({x∈(2B)c:Sφ,b(a)(x)>λ})=Ⅰ+Ⅱ．

對于Ⅰ，根據(jù)Sφ,b(a)的Lq(q>1)有界性，可得：

因而，有

與定理1的證明類似，我們可以證得，

對于Ⅱ2，我們同理可得到：

對于Ⅱ3，由H?lder’s不等式，以及μΩ的Lq有界性，我們可得：

合并上述證明過程，可得：

定理2得證.

參考文獻：

[1] ALVAREZ J.Continuity properties for linear commutators of Calderon-Zygmund operators[J].Collect Math,1998,49(1):17-31.

[2] GARCIA-CUERRA J.Weighted norm inequalities and related topics[M].Amsterdan:North-Holland Math Studies,1985.

[3] KOMORI Y.Weighted hardy spaces estimates for commutators of singular integral operators[J].Far East J Math Sci,2001,3(6):889-898.

[4] LIU L Z.Weighted weak type (H1,L1) estimates for commutators of Littlewood-Paley operators[J].Indian J Math,2003,45(1):71-78 .

[5] LIU L Z.Continuity for commutators of Littlewood-Paley operators on certain Hardy spaces[J].J Korean Math Soc,2003,40(1):41-60.

[6] PEREZ C.Sharp weighted estimates for multilinear commutators[J].J London Math Soc,2002,65(4):672-692.

[7] STEIN E M.On convergence of poisson integrals[J].Trans Amer Math Soc,1969,140(1):35-54.