王 莉

(株洲職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課部，中國(guó) 株洲 412000)

近年來(lái)，對(duì)于非線性微分方程邊值問題多個(gè)正解的存在性研究引起眾多學(xué)者的關(guān)注，見文獻(xiàn)[1～9].但脈沖微分方程邊值問題多個(gè)正解的存在性結(jié)果還不多見.本文的主要目的是研究下列脈沖周期邊值問題多個(gè)正解的存性

(1)

(H1)f∈C([0,∞),[0,∞)),Ik∈C([0,∞),[0,∞));

(H2)h∈C([0,1],[0,∞))并存在x0∈(0,1)使得h(x0)>0.

1 預(yù)備工作

引理1問題(1)等價(jià)于下列積分方程

(2)

其中

證1)假設(shè)u(t)是(1)的解，其中t≠tk.

則

令t=1,由u(0)=u(1),得

因此

這就說(shuō)明了(1)的解就是(2)的解.

2)假設(shè)u(t)是(2)的解，則

注易見，對(duì)于t,s∈[0,1],g(t,s)≥δg(s,s)，其中δ=e-λ.

2 主要結(jié)果

設(shè)E是一個(gè)Banach空間，P是其中一個(gè)錐，泛函β:P→[0,+∞)，若β連續(xù)，且對(duì)所有的x,y∈P，t∈[0,1]，有β(tx+(1-t)y)≥tβ(x)+(1-t)β(y),則稱β是P上的一個(gè)非負(fù)連續(xù)凹泛函.

設(shè)a,b滿足0

Pa={x∈P:‖x‖

(i) 當(dāng)x∈P(β,a,b)，有{x∈P(β,a,b):β(x)>a}≠?且β(Tx)>a;

(ii)當(dāng)‖x‖≤d，有‖Tx‖

(iii)當(dāng)x∈P(β,a,c)且‖Tx‖>b,有β(Tx)>a；

現(xiàn)在，建立邊值問題(1)存在3個(gè)正解的充分條件.

定理1假設(shè)(Η1)～(Η2)成立且存在常數(shù)a和d，0

(3)

和

(4)

并假設(shè)下列條件之一成立：

那么邊值問題(1) 至少有3個(gè)正解.

證設(shè)E=(PC[0,1],‖·‖),P={u∈PC[0,1],u(t)≥0，t∈[0,1]}.定義算子T：PC[0,1]→PC[0,1]為

即

‖Tu‖

(5)

(6)

因此，由(4)得到

(7)

另一方面

(8)

參考文獻(xiàn)：

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