徐景實(shí)，周放軍

(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，中國(guó) 長(zhǎng)沙 410081)

Toeplitz算子是指如下形式的一種算子，

其中Tj,1和Tj,2是Calderón-Zygmund算子或±I(I是恒等算子)，Mbf(x)=b(x)f(x).由此可見，由Calderón-Zygmund算子和局部可積函數(shù)b所生成的交換子可以認(rèn)為是Toeplitz型算子的一種特殊情形.

當(dāng)b∈BMO時(shí)，Krantz和李松鷹[7-8]研究了Tb在齊次空間上的Lp有界性.當(dāng)b∈BMO時(shí)，邱道文[9]得到了廣義Toeplitz型算子在齊型空間X上是從Lp(X)到Lq(X)有界的.當(dāng)Tj,1和Tj,2是強(qiáng)奇異Calderón-Zygmund算子或±I(I是恒等算子)，且b∈BMO或b是Lipschitz函數(shù)時(shí)，林燕和陸善鎮(zhèn)[10]研究了算子Tb從Lp(n)到Lq(n)的有界性和Lp(n)到Triebel-Lizorkin空間的有界性.受文獻(xiàn)[6～10]等的啟發(fā)，我們考慮與Calderón-Zygmund算子相關(guān)的Toeplitz算子在變指數(shù)Lebesgue空間的有界性.

這里，上確界是對(duì)包含x的所有方體而取的.ρ-極大函數(shù)和尖銳極大函數(shù)分別定義如下：對(duì)ρ>0,

定義P(n)為滿足下列條件的可測(cè)函數(shù)p(·)：n→(1,∞)組成的集合：

p-=essinf{p(x):x∈n}>1,p+=esssup{p(x):x∈n}<∞.

記P°(n)為滿足下列條件的可測(cè)函數(shù)p(·)：n→(0,∞)組成的集合：

p-=essinf{p(x):x∈n}>0,p+=esssup{p(x):x∈n}<∞.

下面給出變指數(shù)Lebesgue空間的定義.設(shè)函數(shù)p(·)∈P°(n),對(duì)某個(gè)λ>0,函數(shù)f滿足

記B(n)是使得M在Lp(·)(n)上有界的屬于P(n)的所有函數(shù)p(·)的集合.本文主要結(jié)果如下：

定理1設(shè)Tj,i是Calderón-Zygmund算子或±I，并取p(·)∈B(n).若f∈Lp(·)，T1(f)=0,則對(duì)任意b∈BMO(n),f∈Lp(·)(n)，Tb(f)∈Lp(·)(n)，有

(1)

且對(duì)所有1

(2)

這里‖Tj,i‖表示算子Tj,i的范數(shù).

1 定理1的證明

定理1的證明方法來(lái)自[6],即先建立加權(quán)估計(jì)，然后由外推方法.權(quán)函數(shù)是非負(fù)的局部可積函數(shù).若存在常數(shù)C使得對(duì)n中的任意方體Q，

記有序非負(fù)可測(cè)函數(shù)對(duì)(f,g)所組成的集合為F.任取集合F中的一對(duì)(f,g)和ω∈Aq,稱不等式

成立，是對(duì)使得左邊有限的有序?qū)Χ?，并且常?shù)C僅依賴于p0和ω的Aq常數(shù).

引理1[6]給定集合F如上，對(duì)1

若p(·)∈P°(n)，存在0

引理2[11]設(shè)0

(3)

對(duì)所有左邊有限的函數(shù)f成立.

由參考文獻(xiàn)[7]中定理3.5的證明可得如下引理.

引理3對(duì)任意1

(4)

對(duì)任意具有緊支集的有界函數(shù)f和x∈n都成立.

引理4設(shè)1

(5)

成立.

證當(dāng)1

在(5)中，當(dāng)ω∈Ap0時(shí)，選取恰當(dāng)?shù)膔:1

(6)

這里最后一個(gè)估計(jì)用到了下面2個(gè)估計(jì)式：

這里T是Calderón-Zygmund算子，1

最后驗(yàn)證‖M(Tbf)‖Lp0(ω)<∞.實(shí)際上，因?yàn)棣亍蔄p0,所以有

定理的證明只剩下驗(yàn)證‖Tbf‖Lp0(ω)<∞.

對(duì)于I，由H?lder不等式和Tj,2的Lp0δ有界性,這里1<δ<∞，有

對(duì)于第2項(xiàng)，由核的性質(zhì)和函數(shù)b的有界性，當(dāng)|x|>2R時(shí)，有如下的點(diǎn)態(tài)估計(jì)，

因此，

對(duì)于一般情形，對(duì)函數(shù)b和權(quán)函數(shù)ω作如下截?cái)?給定一個(gè)函數(shù)g,對(duì)任一N∈,我們定義

因此

‖bN‖*≤C‖b‖*,

(7)

這里C>0是一個(gè)獨(dú)立于N的常數(shù)，類似地，考慮權(quán)函數(shù)ω的截?cái)嗪瘮?shù)：ωN=inf{ω,N},則有

|ωN|A∞≤C[ω]A∞.

(8)

由(6)～(8)得到

令N趨于無(wú)窮大，由Fatou引理得‖Tbf(x)‖Lp0(ω)<∞.從而引理4成立.

顯然，由引理4和引理1可以推得定理1.

參考文獻(xiàn)：

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[8] KRANTZ S,LI S.Boundedness and compactness of integral operators on spaces of homogeneous type and applications II[J].J Math Anal Appl,2001,258(2):642-657.

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