白曉清， 韋 化

(廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院， 南寧 530004)

內(nèi)點(diǎn)半定規(guī)劃法求解含機(jī)組組合動(dòng)態(tài)最優(yōu)潮流

白曉清， 韋 化

(廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院， 南寧 530004)

考慮電力系統(tǒng)運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)性和安全性，建立了含機(jī)組組合的動(dòng)態(tài)最優(yōu)潮流問(wèn)題的半定規(guī)劃模型，并采用基于半定規(guī)劃的內(nèi)點(diǎn)法直接求解。所提算法采用修正策略處理模型中的離散變量，計(jì)算時(shí)不需要進(jìn)行模型分解，收斂性好，能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)完成。為提高計(jì)算效率，采用了半定規(guī)劃塊狀矩陣運(yùn)算的稀疏技術(shù)。通過(guò)對(duì)IEEE-118節(jié)點(diǎn)等4個(gè)測(cè)試系統(tǒng)24時(shí)段的仿真計(jì)算，驗(yàn)證了所提方法的正確性、有效性和優(yōu)越性，其研究和應(yīng)用前景廣闊。

動(dòng)態(tài)最優(yōu)潮流； 半定規(guī)劃； 機(jī)組組合； 內(nèi)點(diǎn)法

動(dòng)態(tài)最優(yōu)潮流問(wèn)題DOPF(dynamic optimal power flow)是在滿足線路容量、節(jié)點(diǎn)電壓以及運(yùn)行約束等條件下，求解一個(gè)調(diào)度周期的電力系統(tǒng)運(yùn)行計(jì)劃，并使得特定的目標(biāo)函數(shù)最小[1]。其中可以調(diào)整的電力系統(tǒng)控制變量一般包括機(jī)組有功出力、節(jié)點(diǎn)電壓、有載變壓器變比和無(wú)功電源的無(wú)功出力。由于對(duì)離散變量的處理有一定困難，傳統(tǒng)的DOPF問(wèn)題一般不考慮機(jī)組組合問(wèn)題UC(unit commitment)，因此獲得的運(yùn)行計(jì)劃不能保證目標(biāo)的最優(yōu)性。為實(shí)現(xiàn)總運(yùn)行成本最小或系統(tǒng)利潤(rùn)最大的目標(biāo)，且能滿足電網(wǎng)安全運(yùn)行約束條件，有必要將機(jī)組組合問(wèn)題與最優(yōu)潮流問(wèn)題同時(shí)考慮，通常稱其為考慮機(jī)組組合的動(dòng)態(tài)最優(yōu)潮流問(wèn)題DOPF-UC(dynamic optimal power flow with unit commitment)[2]。

從數(shù)學(xué)的角度看，DOPF-UC問(wèn)題是一個(gè)高維的、非凸的、離散的、非線性的優(yōu)化問(wèn)題，圍繞這一復(fù)雜的新問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了許多計(jì)算方法，如Benders分解法[2，3]、Lagrangian松弛法[4]、內(nèi)點(diǎn)割平面法[5]、動(dòng)態(tài)規(guī)劃[6]和智能優(yōu)化算法[7]等。

但由于現(xiàn)有算法的內(nèi)在限制，上述方法存在對(duì)離散變量處理不合理、算法求解效率不穩(wěn)定、需要對(duì)原問(wèn)題模型分層求解等問(wèn)題。本文所提內(nèi)點(diǎn)半定規(guī)劃法對(duì)離散變量采用半定松弛，不必對(duì)原模型分層求解，且算法能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)完成，具有良好的收斂性。

半定規(guī)劃SDP(semidefinite programming)[8，9]屬于凸規(guī)劃問(wèn)題，能有效處理模型中的整數(shù)變量。經(jīng)近10年發(fā)展，目前已成為數(shù)值最優(yōu)化領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。其理論研究已逐漸成熟，被成功應(yīng)用于系統(tǒng)控制理論[10～12]，信號(hào)處理和通訊[13，14]，組合優(yōu)化[15]等領(lǐng)域。同時(shí)，由于SDP具有良好的算法結(jié)構(gòu)，許多成熟算法已被開(kāi)發(fā)成接口清晰，易于調(diào)用的核心軟件包[16，17]。求解相應(yīng)問(wèn)題不再需進(jìn)行復(fù)雜的公式推導(dǎo)和計(jì)算，僅需按照對(duì)應(yīng)關(guān)系形成問(wèn)題的SDP模型，直接調(diào)用核心軟件包計(jì)算。

文獻(xiàn)[18，19]首次將半定規(guī)劃應(yīng)用于求解電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度問(wèn)題，效果令人滿意。文獻(xiàn)[20]采用內(nèi)點(diǎn)半定法求解最優(yōu)潮流，結(jié)果表明其全局最優(yōu)性能可以得到保證。因此，將內(nèi)點(diǎn)半定規(guī)劃法引入DOPF-UC問(wèn)題的求解中是一種有益的嘗試。54機(jī)IEEE-118節(jié)點(diǎn)等4個(gè)測(cè)試系統(tǒng)24時(shí)段的仿真計(jì)算表明：所提方法能有效求解連續(xù)變量和離散變量，算法收斂性好，是一種應(yīng)用前景廣闊的方法。

1 內(nèi)點(diǎn)半定規(guī)劃法

1.1 半定規(guī)劃的定義

半定規(guī)劃是指線性函數(shù)在對(duì)稱矩陣的仿射組合半正定約束下的極值問(wèn)題，是特殊的錐優(yōu)化問(wèn)題，可視為線性規(guī)劃的推廣[9]。

另一方面，半定規(guī)劃與線性規(guī)劃也有重大區(qū)別。其一，線性規(guī)劃具有強(qiáng)對(duì)偶性，而半定規(guī)劃具有弱對(duì)偶性，即具有非負(fù)的對(duì)偶間隙。其二，線性規(guī)劃的向量分量不等式約束是線性和光滑的，而半定規(guī)劃的線性矩陣不等式約束可以是非線性和非光滑的，但卻是凸的。因此，對(duì)于某些混合整數(shù)非線性規(guī)劃問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換成半定規(guī)劃問(wèn)題。

半定規(guī)劃問(wèn)題有多種表達(dá)方式[9]。其中標(biāo)準(zhǔn)形式如下，分別稱半定規(guī)劃的原問(wèn)題(Primal)和對(duì)偶問(wèn)題(Dual)。

(1)

1.2 內(nèi)點(diǎn)法解半定規(guī)劃

解半定規(guī)劃問(wèn)題(1)等價(jià)于求解其原問(wèn)題的對(duì)數(shù)障礙函數(shù)問(wèn)題[8]：

(2)

(3)

可導(dǎo)出其一階最優(yōu)性條件如下：

(4)

引入對(duì)稱矩陣Y，可以獲得如下非線性系統(tǒng)：

(5)

對(duì)系統(tǒng)(5)可導(dǎo)出其修正方程：

(6)

(7)

其中：

B是一個(gè)m×m的矩陣，且

Bij=(X-1AiY)·Aj，(i，j=1，…，m)；r是一個(gè)m維縱向量，且ri=-di+Ai·[X-1(R-PY)]，(i=1，…，m)。其中P，di，R分別定義為：

di=bi-Ai·Y，(i=1，…，m)

R=μI-XY

修正當(dāng)前點(diǎn)為(X+αpΔX，y+αdΔy，Y+αdΔY)，其中αp和αd是步長(zhǎng)因子，以保證更新后的X+αpΔX和Y+αdΔY仍在正定錐中。如此反復(fù)迭代，直到互補(bǔ)間隙μ=X·Y/n足夠小。

當(dāng)μ→0時(shí)，(X(μ)，y(μ)，Y(μ))將沿著中心路徑γ(μ)≡{X(μ)，y(μ)，Y(μ)∈Rn×n×Rm×Rn×n∶μ>0}精確收斂到最優(yōu)解(X*，y*，Y*)。

可以證明，內(nèi)點(diǎn)法求解半定規(guī)劃模型能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)完成，具有超線性收斂[16]。

2 擬求解問(wèn)題的半定規(guī)劃模型

首先根據(jù)DOPF-UC問(wèn)題的混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，采用對(duì)離散變量進(jìn)行半定松弛的方法[21]導(dǎo)出其凸規(guī)劃模型，然后直接建立其半定規(guī)劃模型。

2.1DOPF-UC的混合整數(shù)非線性模型

DOPF-UC問(wèn)題可以用混合整數(shù)非線性模型表示。為方便建立其半定規(guī)劃模型，本文采用如下直角坐標(biāo)數(shù)學(xué)模型表示。

不失一般性，目標(biāo)函數(shù)為煤耗最小的火電機(jī)組組合FCost。

(8)

同時(shí)必需滿足如下約束：

1)功率平衡約束(潮流方程)

(9)

i∈SB，t∈T

2)線路約束

(10)

其中：

ij∈SL，t∈T

3)旋轉(zhuǎn)備用約束

(11)

4)機(jī)組爬坡約束

(12)

(13)

5)最小啟停時(shí)間約束：

(14)

(15)

該約束為非線性的，為方便建立半定規(guī)劃模型，計(jì)及機(jī)組的初始狀態(tài)，可整理得與其等價(jià)的線性組合表達(dá)式如下：

(16)

(17)

6)機(jī)組有功出力上下限約束：

(18)

7)機(jī)組無(wú)功上下限約束：

(19)

8)電壓上下限約束

(20)

以上模型中各變量和下標(biāo)含義如下：

T為調(diào)度周期的時(shí)段總數(shù)。

SB、SG、SR、SL分別為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)集合，發(fā)電機(jī)機(jī)組集合，無(wú)功電源集合和系統(tǒng)的線路集合，其中各集合中元素有nB、nG、nR、nL個(gè)。

PGi、QRi分別為機(jī)組i∈SG的有功功率和無(wú)功電源i∈SR的無(wú)功功率。

SRt為系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)備用，取該時(shí)段負(fù)荷的10%。

FPi為燃料單價(jià)($/MBtu)。

CUi為機(jī)組i∈SG的起動(dòng)費(fèi)用。

URi、DRi為機(jī)組i∈SG的有功爬坡費(fèi)用和有功下降費(fèi)用。

δ(t-1)為脈沖函數(shù)：

2.2DOPF-UC問(wèn)題的凸優(yōu)化模型

目標(biāo)函數(shù)：

(21)

滿足以下10種約束：

1)功率平衡約束(潮流方程)共T×nB個(gè)

i∈SB，t∈T

(22)

2)線路共2×nL個(gè)

ij∈SL，t∈T

(23)

3)旋轉(zhuǎn)備用共T個(gè)

t∈T

(24)

4)機(jī)組爬坡共2×T×nG個(gè)

?

(25)

5)最小啟停時(shí)間共2×T×nG個(gè)：

分析式(15)和(16)，除t=1的算式不一樣，其他時(shí)段的可以用統(tǒng)一的算式表示。

當(dāng)t=1時(shí)，由于，

則有：

(26)

(27)

當(dāng)t=2～T時(shí)，由于

則有：

(28)

(29)

6)機(jī)組有功出力上下限共2×T×nG個(gè)：

(30)

(31)

7)機(jī)組無(wú)功上下限共2×T×nR個(gè)：

(32)

(33)

8)電壓上下限共2×T×nB個(gè)：

(34)

(35)

9)輔助變量約束共2×T×nG+2×T×nR個(gè)：

(36)

(37)

10)機(jī)組啟停狀態(tài)共2×T×nG+2×T×

nR個(gè)：

(38)

(39)

以上10種約束共有n=2nB+2nL+T(1+10nG+6nR+2nB)個(gè)。

2.3DOPF-UC問(wèn)題的半定規(guī)劃模型

首先定義矢量x：

t∈T

(40)

其中：①機(jī)組有功處理及其狀態(tài)變量為

②無(wú)功源及其狀態(tài)變量為

③節(jié)點(diǎn)電壓(直角坐標(biāo))為

④松弛變量為

另外：

定義矩陣變量X如下：

(41)

在矩陣變量X中的XG,G為

篇幅所限，且由于該矩陣變量是對(duì)稱正定的[20]，這里僅列出其中XG,G子塊中上三角元素以示說(shuō)明。由此，根據(jù)矩陣跡的定義，可直接導(dǎo)出DOPF-UC問(wèn)題的SDP模型原問(wèn)題形式如下：

minF=A0·X

s.t.Ai·X=bi，i=1，…，n

(42)

x0

值得注意的是，按以上矢量x分組方式形成的變量矩陣具有優(yōu)良的分塊特性，適合采用基于分塊矩陣運(yùn)算的半定規(guī)劃稀疏技術(shù)求解[22]，使得求解DOPF-UC問(wèn)題的計(jì)算和存儲(chǔ)效率能大幅度提高。

3 內(nèi)點(diǎn)半定規(guī)劃法求解DOPF-UC問(wèn)題

采用內(nèi)點(diǎn)半定規(guī)劃法求解DOPF-UC問(wèn)題的流程如圖1。內(nèi)點(diǎn)半定規(guī)劃法求解DOPF-UC問(wèn)題，其中離散變量存在少量非0/1解。采用一般的四舍五入處理，不能保證獲得可行解。因此，為保證解的質(zhì)量和可行性，本研究采用如下策略處理離散變量，列于圖2。圖2是對(duì)圖1中虛線部分的進(jìn)一步說(shuō)明。經(jīng)驗(yàn)表明，多數(shù)情況下用該策略修正不超過(guò)2次就可以獲得滿意的結(jié)果，解的質(zhì)量令人滿意。

圖1 內(nèi)點(diǎn)半定規(guī)劃法求解DOPF-UC問(wèn)題流程

圖2 內(nèi)點(diǎn)半定規(guī)劃法離散變量處理策略

4 仿真計(jì)算及算例分析

本研究對(duì)4個(gè)規(guī)模從6到118的系統(tǒng)進(jìn)行仿真計(jì)算和研究，調(diào)度時(shí)間均為24 h。其中GX-98是廣西的一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)，有36臺(tái)機(jī)組和98個(gè)節(jié)點(diǎn)。各算例規(guī)模列于表1。

表1 算例規(guī)模

4.1TEST-6——六節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

本小節(jié)用一個(gè)6節(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)單電力系統(tǒng)說(shuō)明SDP求解DOPF-UC問(wèn)題的結(jié)果和優(yōu)越性，見(jiàn)圖3，其中含3臺(tái)發(fā)電機(jī)，5條傳輸線路和2臺(tái)有載調(diào)壓器。TEST-6中發(fā)電機(jī)、節(jié)點(diǎn)、有載調(diào)壓變壓器、線路參數(shù)及系統(tǒng)24時(shí)段負(fù)荷分別列于表2至表6。

圖3 六節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)——TEST-6

參數(shù)機(jī)組G1G2G3節(jié)點(diǎn)編號(hào)126機(jī)組A(MBtu)176．9129．9137．4費(fèi)用b(MBtu/MWh)13．532．632．6系數(shù)c(MBtu/MW2h)0．00040．0010．001有功出力上限(MW)22010020有功出力下限(MW)1001010無(wú)功出力上限(Mvar)2007050無(wú)功出力下限(Mvar)-80-40-40已開(kāi)機(jī)時(shí)間(h)422最小停機(jī)時(shí)間(h)422最小開(kāi)機(jī)時(shí)間(h)422爬坡速率(MW/h)1005020機(jī)組啟動(dòng)能量(MBtu)1002000燃料費(fèi)用(＄/MBtu)111

表3 節(jié)點(diǎn)電壓幅值數(shù)據(jù)(標(biāo)幺值)

表4 傳輸線路數(shù)據(jù)

表5 有載調(diào)壓變壓器數(shù)據(jù)

為詳細(xì)說(shuō)明所提方法的有效性，考慮以下2種情況：

1)UC-TEST-6：無(wú)任何網(wǎng)絡(luò)約束，相當(dāng)于傳統(tǒng)的機(jī)組組合問(wèn)題；

2)DOPF-TEST-6：考慮潮流方程、線路傳輸限制和節(jié)點(diǎn)電壓限制，為考慮機(jī)組組合的動(dòng)態(tài)最優(yōu)潮流問(wèn)題。以下分別予以說(shuō)明。

表6 每小時(shí)負(fù)荷

4.1.1 UC-TEST-6

運(yùn)用內(nèi)點(diǎn)半定規(guī)劃法求解機(jī)組組合問(wèn)題[21]，機(jī)組啟停計(jì)劃列于表7。其中0/1分別表示機(jī)組的啟停狀態(tài)。24 h運(yùn)行費(fèi)用為$84317.80?？煽闯觯跐M足有功功率與負(fù)荷平衡的情況下，為使運(yùn)行費(fèi)用最小，費(fèi)用較高的機(jī)組2和3在某些時(shí)段不開(kāi)機(jī)。

考察該機(jī)組運(yùn)行計(jì)劃，在時(shí)段10中僅有機(jī)組1和2投入運(yùn)行。檢查該時(shí)段的潮流分布情況，此時(shí)線路1-4的有功傳輸功率為102.38MW，存在線路傳輸功率越限；同時(shí)，節(jié)點(diǎn)2和4的電壓幅值分別為0.9464和0.9363，低于電壓幅值要求。很明顯，該機(jī)組運(yùn)行計(jì)劃不滿足實(shí)際運(yùn)行要求。

表7 機(jī)組啟停計(jì)劃(算例1)

4.1.2 DOPF-TEST-6

用本文所提方法求解計(jì)及電網(wǎng)靜態(tài)安全約束的機(jī)組組合問(wèn)題，機(jī)組啟停計(jì)劃列于表8。

表8 計(jì)及電網(wǎng)靜態(tài)安全約束的機(jī)組啟停計(jì)劃

按以上計(jì)劃運(yùn)行，UC-TEST-6中出現(xiàn)的線路傳輸功率越限和節(jié)點(diǎn)電壓越限問(wèn)題同時(shí)被消除。由于考慮了系統(tǒng)網(wǎng)損，且在第10時(shí)段為解決越限問(wèn)題，3臺(tái)發(fā)電機(jī)此刻同時(shí)投入運(yùn)行，造成總的運(yùn)行費(fèi)用比UC-TEST-6高，達(dá)$84317.90。

表9對(duì)UC-TEST-6和DOPF-TEST-6計(jì)算出的各時(shí)段發(fā)電機(jī)有功出力進(jìn)行比較。結(jié)果表明，由于DOPF-TEST-6考慮了網(wǎng)絡(luò)約束，機(jī)組有功出力和運(yùn)行費(fèi)用均有所增加。同時(shí)，也正是由于同時(shí)考慮了系統(tǒng)安全運(yùn)行約束，DOPF-TEST-6計(jì)算得出的機(jī)組運(yùn)行計(jì)劃能滿足實(shí)際運(yùn)行需要。

表9 機(jī)組調(diào)度有功出力比較

4.2 算法性能及其收斂性

采用內(nèi)點(diǎn)半定規(guī)劃法能有效地求解DOPF-UC問(wèn)題。針對(duì)少數(shù)離散變量的微小偏差采取修正策略，能獲得滿意的整數(shù)解。表10 顯示了四個(gè)算例中關(guān)于離散變量處理的計(jì)算情況，其中離散變量值大于0.9的認(rèn)定為1，小于0.05 的認(rèn)定為0。門(mén)檻值γ從0.5遞減。從表中可以看出，隨著系統(tǒng)規(guī)模的增加，離散變量解的質(zhì)量也隨著提高，用于修正非整數(shù)解的計(jì)算代價(jià)因此降低。

表10 離散變量處理

互補(bǔ)間隙是判斷是否達(dá)到最優(yōu)解的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)，它的變化趨勢(shì)能反映算法特點(diǎn)。一般來(lái)說(shuō)，判斷一個(gè)算法優(yōu)秀與否的標(biāo)準(zhǔn)是其互補(bǔ)間隙能否快速單調(diào)遞減至0。圖4表明，內(nèi)點(diǎn)半定規(guī)劃法求解DOPF-UC問(wèn)題核心計(jì)算的互補(bǔ)間隙在給定誤差范圍內(nèi)均能于有限次迭代步快速單調(diào)收斂趨于0。

圖4 互補(bǔ)間隙收斂曲線

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于內(nèi)點(diǎn)半定規(guī)劃模型求解考慮機(jī)組組合的動(dòng)態(tài)最優(yōu)潮流問(wèn)題的新方法，并系統(tǒng)討論了如何建立其半定規(guī)劃模型、相關(guān)核心算法步驟和算例仿真分析。仿真結(jié)果表明，所提方法能有效處理離散變量，不必對(duì)原問(wèn)題模型分層求解，且算法性能穩(wěn)定，研究和應(yīng)用前景廣闊。但該方法目前還無(wú)法計(jì)算超大規(guī)模的系統(tǒng)，因此，深入研究相關(guān)稀疏技術(shù)和并行計(jì)算將是以后研究的重點(diǎn)。實(shí)際上，這正是數(shù)值最優(yōu)化領(lǐng)域當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。

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SDP-basedMethodforDynamicOptimalPowerFlowwithUnitCommitment

BAI Xiao-qing， WEI Hua

(College of Electric Engineering, Guangxi University, Nanning 530004, China)

Considering the economy and security of the operation of power system,a semidefinte programming(SDP) model for dynamic optimal power flow(DOPF) problem with unit commitment(UC),named as DOPF-UC,is set up in this paper,which is directly solved by the interior-point method(IPM) on the base of the SDP.The proposed method is applied for the DOPF-UC problems due to its excellent convergence and the ability in handling the discrete variables by a modification strategy and no requirement of the model decomposition,which can be finished within polynomial time.In order to increase the calculation speed,the sparse technology of block matrix operation of SDP is adopted.Four different size test cases from 6 to 118 buses over 24 hours are used to simulate,and the result verifies the accuracy,effectiveness and superiority of the proposed method.Therefore,the research and application of the SDP-based method for DOPF-UC has a good prospect.

dynamic optimal power flow； semidefinite programming； unit commitment； interior point method

2010-01-21；

2010-06-17

TM71

A

1003-8930(2011)06-0067-09

白曉清(1969-)，女，博士研究生，副教授，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)最優(yōu)化。Email:baixq@gxu.edu.cn 韋 化(1954-)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樽顑?yōu)化理論及其在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用。