周光照 佟亞軍 陳 燦 任玉琦 王玉丹 肖體喬

1)(中國科學院上海應用物理研究所，上海 201204)

2)(中國科學院研究生院，北京 100049)

(2009年11月11日收到;2010年4月12日收到修改稿)

相干X射線衍射成像的數(shù)字模擬研究*

周光照1)2)佟亞軍1)2)陳 燦1)2)任玉琦1)2)王玉丹1)2)肖體喬1)?

1)(中國科學院上海應用物理研究所，上海 201204)

2)(中國科學院研究生院，北京 100049)

(2009年11月11日收到;2010年4月12日收到修改稿)

相位重建是實現(xiàn)X射線相干衍射成像的關(guān)鍵，它利用遠場采集的樣品傅里葉相干衍射花樣、結(jié)合過采樣理論，再采用迭代算法復原樣品的相位信息.文中采用數(shù)字模擬的方法，利用小尺寸二維非周期性圖形作為物場，研究了過采樣比對重構(gòu)結(jié)果的影響，研究發(fā)現(xiàn)，迭代次數(shù)為1000次時最佳過采樣比的范圍是3—7之間.利用噪聲模擬方法，研究了噪聲對相位重建的影響，找到了完成相位重建的噪聲限是信噪比不能低于10.分析了重構(gòu)結(jié)果中孿生像以及隨機平移的產(chǎn)生原因，并給出了相應的解決辦法，結(jié)果表明，此方法可有效地提高重構(gòu)圖像的質(zhì)量.

相干X射線衍射成像，過采樣，相位重建算法，顯微成像

PACS:87.59.－ e，42.30.Rx，42.30.Wb

1.引 言

近一個世紀以來，科學家們不斷探索測定物質(zhì)三維結(jié)構(gòu)的方法，希望能夠看到物質(zhì)內(nèi)部的原子是如何排列的.傳統(tǒng)的 X射線晶體衍射成像方法(XRD)能夠?qū)崿F(xiàn)物質(zhì)的高分辨三維測定，但是需要的樣品是晶體.然而在實際應用中，有許多材料不能得到足夠好的結(jié)晶體，甚至根本無法結(jié)晶，因此對于這些非周期性樣品來說，不能通過傳統(tǒng)的XRD的方法來測定它們的結(jié)構(gòu).X射線相位襯度成像(X-ray phase contrast imaging，XPCI)可以實現(xiàn)高分辨率的二維及三維成像［1—3］，分辨率可達到 1μm，但是對于無序納米材料、量子點和量子線、生物單細胞以及單個復雜大蛋白等，這樣的分辨率顯然還不能滿足要求.無透鏡傅里葉變換(LLFT)X射線全息術(shù)雖然可以實現(xiàn)非周期樣品的二維及三維成像，但是由于實驗光路中使用波帶板，分辨率受到了波帶板的嚴格限制.X射線熒光全息術(shù)(X-ray fluorescence holography，XFH)能夠達到原子尺度的分辨率，然而該方法要求樣品是晶體［4］.目前其他一些比較成熟的顯微成像方法中，諸如掃描電子顯微鏡(SEM)，掃描隧道顯微鏡(STM)以及原子力顯微鏡(AFM)等，雖然有很高的分辨率，但是只能觀察到樣品表面的顯微結(jié)構(gòu)，無法看到樣品內(nèi)部的結(jié)構(gòu)信息.

X射線相干衍射成像(coherent X-ray diffractive imaging，CXDI)［5］是一種新型衍射顯微術(shù)，不僅成像分辨率高(目前最好的分辨率可達到10 nm左右)［6］，而且可以實現(xiàn)三維重構(gòu)觀察樣品內(nèi)部的結(jié)構(gòu)信息，同時也不要求樣品是結(jié)晶體.CXDI也可稱為X射線相干衍射顯微術(shù)(coherent X-ray diffraction m icroscopy，CXDM)或者稱為無透鏡成像(lensless imaging).早在 1952 年 Sayre［7］就提出了 CXDI的設(shè)想，并于1980年開始非晶樣品的成像實驗［8］，但是都沒有得到樣品的重建結(jié)果，F(xiàn)ienup等［9—10］不斷完善了相位重建算法，直到1999年，由Miao等完成首個驗證實驗，成功地獲得了直徑約100 nm金顆粒非周期性排列點陣的重構(gòu)圖像.從此該領(lǐng)域取得快速發(fā)展，在材料學和生物科學領(lǐng)域獲得了很好的實驗結(jié)果［11—17］.

本文采用數(shù)字模擬的方法，克服了實驗裝置的局限性，較為系統(tǒng)地研究了過采樣比和噪聲對于重構(gòu)結(jié)果的影響，較深入地分析了重構(gòu)結(jié)果中孿生像以及隨機平移的產(chǎn)生原因以及消除其影響的解決辦法.

2.物理模型

2.1.實驗原理

當一束相干或者部分相干的X射線穿透樣品時，其波前受到調(diào)制在不同厚度或者折射率突變的地方發(fā)生傳播方向的改變，透過樣品后X射線在遠場區(qū)域遵循夫瑯和費衍射原理，像面上探測到的衍射花樣的強度連續(xù)分布，結(jié)合過采樣理論采集衍射場分布，然后將采樣得到的連續(xù)強度分布代入相位重建算法，重建丟失的相位信息就可以獲得樣品的重構(gòu)圖像，基本原理如圖1所示.

圖1 相干X射線衍射成像原理示意圖

2.2.相位重建算法

在物空間，假定物函數(shù)為 f(x，y)，其傅里葉變換為

φ(u，v)是傅里葉頻譜的相位分布函數(shù).在實驗中，只有衍射場的強度可以被探測到，即|F(u，v)|2，而相位信息φ(u，v)丟失了，這就是所謂的相位問題.

最早提出的相位重建算法是Gerchberg-Saxton［18］迭代算法，這種算法要求衍射場強度與物函數(shù)振幅分布已知，運用傅里葉變換及逆變換在空域和頻域之間反復運算逐步重建丟失的相位信息.對于僅僅已知衍射場強度的情況，F(xiàn)ienup［9］進一步改進 Gerchberg-Saxton算法，提出了誤差遞減算法(error-reduction algorithm，ER)和混合輸入-輸出算法(hybrid Input-output algorithm，HIO)，其中 HIO 算法不僅大大增加了收斂的速度，而且還可以避免迭代過程中相位停滯問題的出現(xiàn).

圖2 誤差遞減迭代算法的流程示意圖

如圖2是ER算法的流程示意圖，F(xiàn)FT表示快速傅里葉變換，F(xiàn)FT－1表示快速傅里葉逆變換.迭代算法的初始輸入為隨機振幅估計g或者是隨機相位估計φ.如果采取隨機振幅估計 g作為初始輸入，對于二維情況，接下來第j次迭代的幾個步驟如下:

式中 gj(x，y)是對 f(x，y)的近似估計，|F(u，v)|是探測得到的已知傅里葉頻譜振幅分布，γ表示物場約束邊界，(3)和(5)式分別是傅里葉頻譜和物場的邊界約束條件.對于HIO算法，一次迭代過程中前面三個步驟與ER算法相同，不同的是最后一步物場邊界約束條件由下式給出:

β是0到1之間的某一常數(shù)，即在物場邊界約束以內(nèi)，下一次迭代的輸入是上一次迭代運算的輸出g′j(x，y)，而邊界以外則是上一次迭代的輸入 gj(x，y)與輸出g′j(x，y)的線性組合.迭代算法的收斂性由下式的物場誤差函數(shù)來衡量

3.結(jié)果及分析

樣品材料選取為金，對應復折射率參數(shù)引自文獻［19］，計算中所用的計算機主頻2.10 GHz，計算機語言采用Visual C++，相位重建算法選用HIO迭代算法，圖像大小為256×256像素，迭代1000次計算機運行時間約為9 min.

3.1.過采樣比的影響

為了簡便起見，討論一維情況，(1)式變?yōu)?/p>

實際應用中用離散形式近似，假設(shè)有N個像素點，則(8)式變?yōu)?/p>

由于實驗中只能探測到傅里葉頻譜的強度分布，與(9)式的模值有關(guān)，對(9)式取模得到

在對f(x)的相位重建過程中，需要對每個像素點進行求解，因此(10)式是由N個方程組成的方程組.下面分兩種情況討論一下這個方程組:一種是假如f(x)是復函數(shù)，那么這個方程組只有 N個方程，而未知數(shù)卻有2N個(f(x)的實部和虛部);另一種假如 f(x)是實函數(shù)，根據(jù) Friedel定律［20］，其傅里葉頻譜強度分布具有中心對稱性，因此方程組有N/2個方程，而未知數(shù)是N個.綜合兩種情況，該方程組的未知數(shù)都是方程個數(shù)的兩倍，方程組是沒有解的.若要使方程組有解，一個有效的方法是變方程組中一部分未知數(shù)為已知，只要總的像素點數(shù)目達到未知像素點數(shù)目的兩倍時，方程組便有唯一解.計算這樣一個比率

分母中未知像素便是需要求解的區(qū)域.對于已知傅里葉頻譜強度分布的相位重建問題，理論上只要滿足s>2便能夠?qū)崿F(xiàn)圖像重構(gòu).過采樣方法是在滿足Shannon采樣定理的基礎(chǔ)上，通過減小采樣間隔同時增加采樣點數(shù)目，使得在物空間獲得一個有限邊界，邊界以外的像素點值是零，邊界以內(nèi)是需要求解的區(qū)域，如果這個邊界滿足了s>2便能夠成功實現(xiàn)相位重建.因此通過過采樣方法決定的比率s我們稱之為過采樣比.

如圖3，采用一幅二維圖像作為物場振幅分布，對不同過采樣比條件下重構(gòu)結(jié)果進行了對比，圖3(c)不滿足s>2的條件，不能得到預期的重構(gòu)結(jié)果.從圖3(h)中可以看出，s=1.9時算法不收斂，并且出現(xiàn)了相位停滯現(xiàn)象;當s=2.5時，可以看到在迭代次數(shù)為400和600時誤差分別有一次比較迅速的下降，600次迭代以后收斂得比較好;s=4.8時，迭代次數(shù)超過200之后就已經(jīng)收斂得比較好了;s=6.7時，在前100次迭代過程誤差迅速的下降，但直到400次迭代收斂情況并不是很好，之后收斂得比較好;s=10.8時，前100次誤差迅速降低，但直到1000次迭代收斂情況并不好，這說明重構(gòu)結(jié)果的質(zhì)量已經(jīng)降低，要想使誤差曲線收斂得更好，可能還需要更多的迭代次數(shù).圖 3(c)，(d)，(e)，(f)，(g)的誤差最小值分別為 0.115216，0.005872，0.003247，0.004961，0.043731.誤差對比曲線提示最好的過采樣比大致在3—7的范圍.

圖3 已知衍射場振幅分布，不同過采樣比情況下二維重構(gòu)結(jié)果 (a)二維圖像的振幅分布，(b)s=4.8時采樣得到的衍射場強度分布，(c)，(d)，(e)，(f)和(g)分別是 s=1.9，2.5，4.8，6.7 和 10.8 的重構(gòu)圖像，(h)是誤差函數(shù)與迭代次數(shù)的關(guān)系曲線

3.2.噪聲對重構(gòu)結(jié)果的影響

在實際實驗過程中，運用高靈敏度的 X射線CCD探測器采集遠場衍射花樣，由于CCD探測器存在固有的噪聲，如散粒噪聲、非均勻性噪聲和暗電流噪聲等，所以在相干 X射線衍射成像實驗中，這些噪聲成為了衍射花樣的主要噪聲來源.由于這些噪聲來源都具有隨機特性，所以在數(shù)字模擬噪聲對重構(gòu)結(jié)果的影響時，用隨機噪聲來模擬探測器的固有噪聲.

如圖4(a)，在衍射場中加入隨機噪聲，經(jīng)過1000次迭代得到的重構(gòu)結(jié)果中，不論在約束邊界的內(nèi)外，都產(chǎn)生了一定程度的背景噪聲，如圖4(b)—(d)，隨著信噪比的降低，重構(gòu)結(jié)果的質(zhì)量逐漸變差，當信噪比為10時，重構(gòu)結(jié)果的細節(jié)已經(jīng)不能識別，信噪比為5時，不能實現(xiàn)圖像的重構(gòu)，因此要成功地實現(xiàn)相位重建，要求信噪比不能低于10.

在實驗過程中，探測器的固有噪聲無法從根本上消除，采樣得到的遠場衍射圖中含有探測器的固有噪聲，在采集完樣品的衍射圖之后，再采集一幅無照明的背景圖，通過減背景使衍射圖的噪聲得到最大限度的抑制.

3.3.重構(gòu)像隨機平移的產(chǎn)生與消除

考慮物場f(x，y)有一定的平移，則物場函數(shù)變?yōu)閒(x－x0，y－y0)，其中x0和y0是某一常數(shù).其傅里葉變換為

圖4 衍射場中加入不同程度的隨機噪聲，迭代1000次之后得到的重構(gòu)結(jié)果對比圖 (a)是加入隨機噪聲后的衍射場強度分布(SNR=14)，(b)，(c)和(d)分別是信噪比 SNR=14，10 和 5情況下的重構(gòu)結(jié)果圖

F表示傅里葉變換，對上式取模值

(12)和(13)式表明，空域的平移會導致對應頻域發(fā)生相移，而頻域的強度分布不發(fā)生變化，即f(x，y)與f(x－x0，y－y0)具有相同的傅里葉頻譜強度分布.迭代算法中施加傅里葉頻譜約束條件的時候，運用的是探測得到衍射場強度分布信息替換計算得到的強度信息，因此f(x－x0，y－y0)也是算法的一個正確解，平移量x0和y0是隨機的常數(shù)(一般是幾個像素點)，從模擬的結(jié)果來看這種現(xiàn)象的發(fā)生是不可避免的，這樣產(chǎn)生的問題是，算法中在物空間施加的物場邊界約束條件是靜態(tài)邊界，如果重構(gòu)結(jié)果發(fā)生的平移量超出了約束邊界，一部分重構(gòu)圖像會被邊界切除掉，從而導致重構(gòu)結(jié)果不完整.如圖5(c)所示，右上角顯示的是框中區(qū)域放大3倍的圖片，可以清楚地看到，由于重構(gòu)結(jié)果產(chǎn)生了向右的隨機平移，重構(gòu)像右邊有一部分平移到了物場邊界約束范圍之外，導致了重構(gòu)結(jié)果不完整.

若要保證重構(gòu)結(jié)果的完整性，必須對算法中的邊界約束條件進行修正.由于重構(gòu)結(jié)果的不完整主要原因是靜態(tài)邊界約束不能隨著重構(gòu)圖像的隨機平移做出相應的調(diào)整，因此改用動態(tài)邊界約束條件，使得迭代過程中物場的邊界約束隨著重構(gòu)圖像的隨機平移做出相應的調(diào)整，從而保持重構(gòu)圖像的完整性.具體的做法是:在利用(6)式施加物場邊界約束時，邊界的區(qū)域大小γ保持不變，計算邊界以內(nèi)物場的強度，然后對邊界γ進行上下左右等各個方向的平移，最大平移量在幾個像素點，每一次平移過程都記錄下邊界內(nèi)物場的強度，最后對所有的物場強度進行比較，選擇物場強度最大的邊界作為下一次迭代新的邊界約束條件.這樣的邊界修正可以在每一次迭代過程中進行，也可以每隔幾次迭代做一次修正，直到迭代算法計算結(jié)束.如圖5(d)是每隔5次迭代采用一次動態(tài)邊界約束進行修正，迭代1000次之后得到的重構(gòu)圖像，框中的部分放大3倍以后可以清楚地看見，原來采用靜態(tài)邊界約束而導致不完整的部分圖像已經(jīng)完整地重構(gòu)出來了，重構(gòu)圖像的其他部分也沒有出現(xiàn)不完整的現(xiàn)象，這說明該方法可以很好地解決由隨機平移帶來的圖像不完整的問題.

圖5 光子能量為8 keV(λ=0.155 nm)的相干平行X光照明條件下，直徑100 nm左右金顆粒非周期排列圖形的重構(gòu)結(jié)果，重構(gòu)結(jié)果產(chǎn)生隨機平移與修正的結(jié)果對比圖 成像距離為50 cm，s=3 (a)金顆粒非周期排列圖形，(b)衍射場強度分布，(c)重構(gòu)結(jié)果產(chǎn)生隨機平移，重構(gòu)圖像一部分被邊界約束所切除，(d)采用動態(tài)邊界約束條件后得到的完整重構(gòu)圖像

3.4.孿生像的產(chǎn)生與消除

與隨機平移的產(chǎn)生相類似，原物場f(x，y)與其孿生像f*(－x－x0，－y－y0)(考慮有隨機平移x0和y0)也具有相同的傅里葉頻譜強度分布(*表示復共軛)，對f*(－x－x0，－y－y0)進行傅里葉變換有

兩邊取復共軛

上式表明，在已知傅里葉頻譜強度分布的相位重建問題中，孿生像也是相位重建算法的一個正確解.如果迭代算法中所施加的物場邊界約束是中心對稱或者邊界約束的中心對稱將原物場孿生像的所有邊界包括在內(nèi)，同時也因為算法的初始輸入是一組隨機數(shù)，所以重構(gòu)結(jié)果得到正立像和孿生像的概率是相同的.如果不采取措施，正立像和孿生像就可能同時出現(xiàn)在重構(gòu)結(jié)果中，造成重構(gòu)結(jié)果模糊不清，導致重構(gòu)失敗.從第一次迭代開始，采用如圖6(a)所示的物場邊界約束條件，邊界以內(nèi)是作為迭代初始輸入的隨機振幅分布，以后的每一次迭代都采用相同大小的邊界(采用動態(tài)邊界修正以后其位置會有所變化)，這樣可能得到的重構(gòu)結(jié)果如圖6(b)所示，重構(gòu)結(jié)果中正立像與孿生像同時存在，重構(gòu)圖像模糊不清.

圖6 光子能量為8 keV(λ=0.155 nm)的相干平行X光照明條件下，直徑100 nm左右金顆粒非周期排列圖形的重構(gòu)結(jié)果，重構(gòu)結(jié)果中孿生像的產(chǎn)生與修正后的結(jié)果對比圖 成像距離為50 cm，s=3 (a)物場邊界約束條件，(b)重構(gòu)結(jié)果中正立像與孿生像同時存在，重構(gòu)圖像模糊不清，(c)物場臨時邊界約束條件，(d)采用臨時邊界約束條件后得到的清晰正立重構(gòu)圖像

對于二維相位重建問題，我們關(guān)心的是能否得到完整清晰的高質(zhì)量重構(gòu)圖像，因此問題的關(guān)鍵在于如何將正立像和孿生像有效地區(qū)分開來，而并不要求重構(gòu)像一定是正立像.為了解決這一問題，可以采取兩種方式:其一是用另一組隨機數(shù)估計作為輸入重新進行一次新的迭代運算，這樣有可能使正立像和孿生像分開，輸出結(jié)果是二者之一;其二是在最初的幾次迭代過程中，引入一種臨時邊界約束條件，以改變正立像和孿生像同時出現(xiàn)的概率，而在以后的迭代過程恢復完整的邊界約束，這種方法比進行重新運算更加有效和可靠，同時對于三維重構(gòu)的過程中需要做大量的二維圖像重構(gòu)而言，也更加省時.本文在前10次迭代過程中采用臨時邊界約束條件，如圖6(c)所示，在以后的迭代過程采用如圖6(a)所示的邊界約束，經(jīng)過1000次的迭代之后得到了完整清晰的重構(gòu)結(jié)果，如圖6(d)所示.

4.結(jié) 論

本文采用HIO相位重建方法，較為系統(tǒng)地研究了過采樣比對重構(gòu)結(jié)果質(zhì)量的影響，發(fā)現(xiàn)了相位重建算法的收斂速度隨過采樣比變化的規(guī)律，這對于今后的CXDI實驗過程中選取最佳過采樣比具有重要的指導意義.同時研究了噪聲對相位重建的影響，找到了實現(xiàn)相位重建所要求的噪聲水平，對今后實驗過程中噪聲的控制提出了明確的要求.理論分析了隨機平移和孿生像的產(chǎn)生原因以及消除辦法，有效地提高了相位重建的質(zhì)量.由于相干X射線衍射成像的各種相位重建算法均是以ER算法和HIO算法為基礎(chǔ)［6］，因此本文的結(jié)論具有普遍意義.

相干X射線衍射成像是一種新的顯微成像技術(shù)，近幾年來發(fā)展十分迅速，而國內(nèi)這一方面的研究還處在基礎(chǔ)階段.已建成并投入使用的上海同步輻射光源是第三代同步輻射光源，可提供高亮度高相干性的X射線光源，為下一步的相干X射線衍射成像實驗提供了必要條件.

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PACS:87.59.－ e，42.30.Rx，42.30.Wb

Digital simulation for coherent X-ray diffractive imaging*

Zhou Guang-Zhao1)2)Tong Ya-Jun1)2)Chen Can1)2)Ren Yu-Qi1)2)Wang Yu-Dan1)2)Xiao Ti-Qiao1)?

1)(Shanghai Institute of Applied Physics，Chinese Academy of Sciences，Shanghai 201204，China)
2)(Graduate University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China)
(Received 11 November 2009;revised manuscript received 12 April 2010)

Phase retrieval is one of the most important steps for coherent X-ray diffractive imaging(CXDI)，Which uses the oversampled far-field diffraction pattern for phase retrieval iterative algorithm in order to achieve the lost phase information.Here we used a small nonperiodic 2D digital image as the object for studying the effect of the oversampling ratio and obtained the optimum oversampling ratio of 3—7 when the iteration timeswas 1000.We also added random noise to the diffraction pattern to examine the applicability of this approach to real data.We found the reconstruction failed when the signal to noise ratio is less than 10.As the reconstruction process may fail when the twin image or stochastic shift appears in the reconstructed image simultaneously，we exp lained why these phenomena come into being，and found methods to overcome the difficulty effectively.

coherent X-ray diffractive imaging，oversampling，phase retrieval algorithms，microscopy

*國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(批準號:2010CB834301)、中國科學院對外合作重點項目(批準號:GJHZ09058)、國家自然科學基金(批準號:10805071，10705020)和上海市基礎(chǔ)研究重點項目(批準號:08JC1411900)資助的課題.

?通訊聯(lián)系人.E-mail:tqxiao@sinap.ac.cn

*Project supported by the National Basic Research Program of China(Grant No.2010CB834301)，the External Cooperation Program of Chinese Academy of Sciences(Grant No.GJHZ09058)，the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.10805071，10705020)and the Key Basic Research Program of Shanghai，China(Grant No.08JC1411900).

?Corresponding author.E-mail:tqxiao@sinap.ac.cn