宋 健 姜 楠 楊聯(lián)貴

1)(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，呼和浩特 010051)

2)(天津大學(xué)機(jī)械學(xué)院，天津 300072)

3)(內(nèi)蒙古大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，呼和浩特 010021)

(2010年1月18日收到;2010年4月15日收到修改稿)

切變基本緯向流中β效應(yīng)的赤道Rossby孤立波包*

宋 健1)姜 楠2)楊聯(lián)貴3)?

1)(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，呼和浩特 010051)

2)(天津大學(xué)機(jī)械學(xué)院，天津 300072)

3)(內(nèi)蒙古大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，呼和浩特 010021)

(2010年1月18日收到;2010年4月15日收到修改稿)

從描寫赤道Rossby波的正壓大氣位渦方程出發(fā)，采用多重尺度攝動(dòng)方法推導(dǎo)出在切變基本緯向流中具有β效應(yīng)的非線性赤道Rossby波包演變滿足非線性Schr?dinger方程，并得到單個(gè)包絡(luò)孤立子波解，分析了基本切變流，β效應(yīng)對非線性赤道Rossby波的影響.

赤道Rossby波，β效應(yīng)，非線性Schr?dinger方程，包絡(luò)孤立子

PACS:47.35.Fg，92.10.Ei，92.70.Cp

1.引 言

大氣動(dòng)力學(xué)中，Rossby波是指生命史很長結(jié)構(gòu)上有組織的前后一致的大尺度永久性波動(dòng)，并且這些波動(dòng)具有穩(wěn)定的、大振幅的孤立波特征.特別是熱帶大氣運(yùn)動(dòng)與全球氣候變化有密切聯(lián)系，人們對熱帶大氣運(yùn)動(dòng)規(guī)律有許多新的認(rèn)識(shí)，其中熱帶大氣波動(dòng)理論是低緯度大氣動(dòng)力學(xué)研究的重要內(nèi)容.Matsuno［1］在1966年做了開創(chuàng)性的研究，得到在赤道β平面大氣運(yùn)動(dòng)的線性波動(dòng)，并分析研究了它們的特性.Domaracki和 Loesch［2］，Ripa［3］研究了赤道波與波之間的相互作用.Body［4—6］給出了非線性Kelvin波，并利用攝動(dòng)方法從赤道β平面淺水模式原始方程導(dǎo)出小振幅赤道Rossby波隨時(shí)間的演變滿足 Korteweg-de Vries(KdV)方程或者 modify Korteweg-de Vries(mKdV)方程，這些研究表明存在赤道Rossby孤立波.然而對于KdV(mKdV)型孤立波是考慮了長波近似(緯向波數(shù)k→0)的情況，在實(shí)際大氣中，特別是大氣中存在大振幅的Rossby波，長波近似并不成立.Domaracki和 Loesch［2］，Ripa［3］和 Body［7，8］的研究都未涉及基本氣流對赤道波動(dòng)的影響，這與實(shí)際不相符合;趙強(qiáng)和劉式適［9］在考慮基本流切變對赤道波動(dòng)的影響下，推導(dǎo)出非線性赤道Rossby波包演變滿足非線性 Schr?dinger方程.趙強(qiáng)等［10］還用多重尺度攝動(dòng)法從赤道 β平面淺水模式出發(fā)，描述了赤道Rossby孤立波振幅滿足非線性Schr?dinger方程，并分析了切變緯向流對非線性赤道Rossby孤立波波動(dòng)的影響，但是他們都沒有考慮β效應(yīng)(參數(shù) β是緯度變量 y的函數(shù))對赤道Rossby波的影響.Charney和 Straus［11］基于準(zhǔn)地轉(zhuǎn)位渦度方程構(gòu)造了一個(gè)β平面通道中考慮地形、非絕熱加熱和摩擦的正壓大氣模式，這項(xiàng)工作開創(chuàng)了大氣多平衡態(tài)非線性動(dòng)力學(xué)的研究.封國林等［12—16］建立了南方濤動(dòng)與厄爾尼諾循環(huán)統(tǒng)一的海-氣振蕩子的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型.達(dá)朝究和丑紀(jì)范［17］研究了地形隨時(shí)間緩變時(shí)Rossby波振幅的演變問題.宋健等［18—23］在正壓流體與層結(jié)流體中分別給出β效應(yīng)與地形效應(yīng)對Rossby孤立波振幅的影響.孤立波解在非線性問題中占有重要地位，給出了許多求孤立波解的方法［24—28］，如 Hirota，s 雙線性方法［29］、橢圓 函 數(shù) 展 開 法［30，31］以 及 數(shù) 值 方 法［32，33，34］等被廣泛應(yīng)用.本文中，我們研究了在切變基本緯向流下，參數(shù)β隨緯度變化時(shí)赤道Rossby孤立波振幅的演變，說明了即使沒有基本氣流切變?nèi)钥梢杂搔滦?yīng)誘導(dǎo)非線性Rossby孤立波.

2.方程的推導(dǎo)

2.1.控制方程與邊界條件

Charney［35］指出，在無凝結(jié)潛熱釋放大氣中，熱帶大氣運(yùn)動(dòng)是水平和準(zhǔn)無輻散的，該模型中只存在Rossby波而濾去了重力波.采用一個(gè)簡單的模式方程，其中考慮β隨緯度變量y變化，這樣赤道Rossby的正壓位渦方程［36］為

式中，ψ是流函數(shù)，Δ2為二維Laplace算子

若令

(1)，得到無量綱形式為

無量綱下的邊界條件為

2.2.非線性 Schr?dinger方程

取總流函數(shù)為緯向流與擾動(dòng)流函數(shù)的和為

式中，前一項(xiàng)假定基本緯向流僅為y的函數(shù)，ε是無量綱赤道 Rossby數(shù)，表征非線性的強(qiáng)弱是擾動(dòng)流函數(shù).將(7)式代入方程(5)和(6)，得到擾動(dòng)流函數(shù)的方程與邊界條件

由于地球大氣運(yùn)動(dòng)具有多時(shí)空尺度的特征，除了快變量x和t外，可以引入如下慢時(shí)空變量［2］:

將(10)式代入方程(8)得假設(shè)擾動(dòng)流函數(shù)有如下的小參數(shù)展開形式［37］:

將(12)式代入方程(11)得到各階攝動(dòng)問題的方程與邊界條件.

對于 O(ε0)階，有

假設(shè)ψ0有如下形式的分離變量解

其中 c.c.表示它前項(xiàng)的共軛，A(X1，X2;T1，T2)為復(fù)振幅，k為緯向波數(shù).將(15)式代入方程(13)和(14)得

Weber方程的本征值為

其中n為經(jīng)向模態(tài)數(shù).相應(yīng)的本征函數(shù)為

這里Cn為任意常數(shù)，Hn(y)是n階Hermite多項(xiàng)式.另外，在本階問題中，只能確定波的空間結(jié)構(gòu)，而不能確定波振幅隨時(shí)間的演變.為了確定波振幅 A(X1，X2;T1，T2)的演變，繼續(xù)求解高階問題.

對于 O(ε1)階，有

由 ψ0=A(X1，X2;T1，T2)Φ0(y)ei(kx－ωt)+c.c.與方程(16)得

方程(24)簡化為

這里

假設(shè)方程(27)有如下諧波解

將(29)式代入方程(27)與(22)得

在方程(30)中，A和 B是兩個(gè)相互聯(lián)系的變量，由于 A和 B都是慢變量 X1，X2，T1，T2的函數(shù)，并且 B與A2成比例.不妨設(shè)B=A2，則

對于 O(ε2)階，有

α和δ分別是頻散系數(shù)和非線性系數(shù)(即Landau系數(shù))，它們與 β(y)和 u—(y)有關(guān).

方程(38)就是描述切變基本流中β效應(yīng)下赤道Rossby波包振幅演變的非線性Schr?dinger方程，它反映了赤道Rossby波的特性.做坐標(biāo)變換［37］

則(37)式化為標(biāo)準(zhǔn)的非線性Schr?dinger方程

若基本氣流不存在切變(u—=常數(shù))時(shí)，當(dāng) β是緯度變量 y的函數(shù)，由(28)式知 Q(y)≠0，這時(shí) δ≠0，方程(40)仍是非線性 Schr?dinger方程.這說明即使沒有基本氣流水平切變，只要 β效應(yīng)存在，赤道Rossby波振幅演變也滿足非線性 Schr?dinger方程.只有當(dāng)基本流無切變，β是常數(shù)時(shí)，方程(40)中的非線性項(xiàng)消失.

方程(40)有如下單個(gè)包絡(luò)孤立波解

式中M和ξ分別是Rossby包絡(luò)孤立波的振幅和移速，它們的值由A(X，T)的初始狀態(tài)決定.將(15)和(41)式代入(7)式得

其中

(42)和(43)式說明赤道Rossby包絡(luò)孤立波傳播速度V等于線性Rossby波的群速度加上一個(gè)小修正量，載波波數(shù)K等于線性Rossby波波數(shù)k加上一個(gè)小修正量，載波頻率Ω等于線性Rossby波的頻率ω加上兩項(xiàng)小修正量且與它的波振幅有關(guān)，顯示非線性的特征.這說明赤道大氣中Rossby波與切變基本氣流、β效應(yīng)的的非線性相互作用，可以使大氣中形成具有sech形狀的孤立子.此外，孤立波的存在還必須有這表示不能產(chǎn)生正壓不穩(wěn)定［38］.事實(shí)上，一旦產(chǎn)生正壓不穩(wěn)定，就不可能保持恒定波型了.

3.結(jié) 論

在正壓流體中，應(yīng)用多重尺度攝動(dòng)法，從描寫赤道Rossby波位渦度方程推導(dǎo)出在切變基本緯向流中 β是緯度變量y的函數(shù)下，非線性赤道Rossby波包演變滿足非線性 Schr?dinger方程，并得到其包絡(luò)孤立波解.這說明赤道大氣中Rossby波與切變的基本氣流，β效應(yīng)的非線性相互作用，可以使大氣中形成Rossby包絡(luò)孤立子，而且這種孤立波是不需要長波近似條件的頻散波.它可以解釋赤道大氣中西移Modons最后通過能量頻散而崩潰消失，并進(jìn)一步說明即使沒有基本氣流切變，仍由β效應(yīng)誘導(dǎo)非線性出 Rossby孤立波.基本氣流切變、非線性β效應(yīng)顯然都是 Rossby孤立波產(chǎn)生的重要因子.

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［5］Body J P 1980bJ.Phys.Oceanogr.10 1699

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［7］Body J P 1985J.Phys.Oceanogr.15 46

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PACS:47.35.Fg，92.10.Ei，92.70.Cp

Equatorial Rossby envelope solitary waves withβeffect in a shear flow*

Song Jian1)Jiang Nan2)Yang Lian-Gui3)?
1)(College of Sciences，Inner Mongolia University of Technology，Hohhot 010051，China)
2)(School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)
3)(School of Mathematical Science，Inner Mongolia University，Hohhot 010021，China)
(Received 18 January 2010;revised manuscript received 15 April 2010)

With a simple model of shallow-water on an equatorial beta plane，the nonlinear equatorial Rossby waves in a shear flow with beta effect are investigated by the asymptotic method of multiple scales.The nonlinear Schr?dinger equation，satisfied by large amplitude Rossby envelope solitary waves in shear basic flow with beta effect，is derived.The effects of basic flow shear and beta effect on the nonlinear equatorial Rossby waves are also analyzed.

equatorial Rossby wave，β effect，nonlinear Schr?dinger equation，envelope soliton

*內(nèi)蒙古自然科學(xué)重點(diǎn)基金(批準(zhǔn)號:2009ZD01)和內(nèi)蒙古教育廳基金(批準(zhǔn)號:NJZY08005)資助的課題.?通訊聯(lián)系人.E-mail:lgyang@imu.edu.cn

*Project supported by the Natural Science Foundation of Inner Mongolia，China(Grant No.2009ZD01)and the Educational Department of Inner Mongolia，China(Grant No.NJZY08005).

?Corresponding author.E-mail:lgyang@imu.edu.cn