龔中良 黃 平

1)(中南林業(yè)科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，長沙 410004)

2)(華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640)

(2010年3月16日收到;2010年5月23日收到修改稿)

基于非連續(xù)能量耗散的滑動摩擦系數(shù)計算模型*

龔中良1)?黃 平2)

1)(中南林業(yè)科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，長沙 410004)

2)(華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640)

(2010年3月16日收到;2010年5月23日收到修改稿)

分析了界面摩擦狀態(tài)下能量非連續(xù)耗散過程，建立了簡化條件下晶體材料界面摩擦滑動摩擦系數(shù)計算模型.結(jié)果表明:在彈性接觸狀態(tài)下，滑動摩擦系數(shù)與載荷及實(shí)際接觸面積無關(guān)，當(dāng)實(shí)際接觸面積接近名義接觸面積時，滑動摩擦系數(shù)隨載荷增加而減小.在緩慢滑動時，滑動摩擦系數(shù)隨滑動速度的增高而緩慢增大，相對滑動速度愈高，滑動摩擦系數(shù)增大趨勢愈顯著.滑動摩擦系數(shù)隨晶格常數(shù)的增加而降低，而當(dāng)晶格常數(shù)較大時，其變化對滑動摩擦系數(shù)影響較小.同時，滑動摩擦系數(shù)隨原子的可能溫升增加而增大.研究結(jié)論對工程應(yīng)用及相關(guān)的理論研究具有一定的參考意義.

滑動摩擦系數(shù)，非連續(xù)能量耗散，界面摩擦

PACS:46.55.+d，81.40.Pq

1.引 言

從摩擦的成因來看，熱效應(yīng)和動力學(xué)特性是導(dǎo)致摩擦產(chǎn)生和能量消耗的最主要的兩個因素.當(dāng)兩表面做相對運(yùn)動時，引起運(yùn)動的力就做功，因此在接觸表面上有能量損耗.研究發(fā)現(xiàn)，摩擦所做的功除部分轉(zhuǎn)化為表面能、聲能和光能等外，85%—95%轉(zhuǎn)化為熱能［1］.因此，摩擦功的熱耗散可間接反映摩擦副的摩擦狀態(tài).

滑動摩擦系數(shù)是反映摩擦狀態(tài)的主要物理參數(shù)之一.從微觀上看，界面摩擦?xí)r影響摩擦狀態(tài)的主要因素為材料的微觀結(jié)構(gòu)、表面能、表面形貌、相對滑動速度及溫度等［2］.由于固體摩擦機(jī)理仍未清楚，現(xiàn)有的摩擦理論只能解釋而不能預(yù)測結(jié)果［3—6］.因此在實(shí)際應(yīng)用中，往往通過實(shí)驗(yàn)獲得各種材料的摩擦系數(shù).近年來，隨著對摩擦機(jī)理研究的進(jìn)一步深入［7］，尤其是納米摩擦學(xué)的發(fā)展，人們試圖從摩擦成因上來研究摩擦系數(shù)的計算模型，并探討各主要因素對摩擦系數(shù)的影響規(guī)律［8—10］.以往的研究均建立于經(jīng)典理論基礎(chǔ)上，且在研究時將摩擦過程中原子獲得或耗散的能量認(rèn)為是連續(xù)的［11—13］.然而，以α-Fe為例，其晶格類型為體心立方晶格，晶格常數(shù)a=2.87×10－10m，當(dāng)摩擦副下表面與上表面間以相對速度為v=0.001 m/s緩慢滑動時，其表面原子在界面周期勢能場作用下的受迫振動頻率fforced=3.49 MHz.顯然，該頻率接近紫外頻率，適應(yīng)量子理論研究范疇.作者［14］曾基于微觀粒子能態(tài)分立——即原子只有在周圍輻射場的能量達(dá)到基本能量子的整數(shù)倍時原子才能吸收或釋放能量的觀點(diǎn)，建立了界面摩擦過程中微觀能量耗散的量子力學(xué)模型，并通過對所建立模型的定量分析，得出了界面摩擦過程中摩擦能量非連續(xù)耗散的結(jié)論.丁凌云等［15］基于聲子摩擦能量耗散，提出當(dāng)局部的熱平衡態(tài)破壞時，振子將振蕩激發(fā)聲子并耗散能量，從而使非熱平衡狀態(tài)向熱平衡態(tài)發(fā)展.因此，研究摩擦過程中的能量耗散，必須考慮原子能態(tài)的非連續(xù)性.

本文以晶體材料界面摩擦過程為背景，結(jié)合摩擦功全部耗散為系統(tǒng)熱能的觀點(diǎn)，建立了基于能量非連續(xù)耗散的滑動摩擦系數(shù)計算模型，探討了相對滑動速度、接觸面積、摩擦界面法向正應(yīng)力、晶格常數(shù)、原子溫升等內(nèi)外因素對滑動摩擦系數(shù)的影響規(guī)律.為簡化分析，在模型建立過程中，一方面只考慮摩擦界面原子在周期勢場作用下因受迫振動導(dǎo)致的能態(tài)變化，忽略相鄰原子之間相互作用及原子的自激振蕩對能量耗散的影響;另一方面，不考慮摩擦系統(tǒng)的邊界條件，并假設(shè)摩擦系統(tǒng)為理想絕熱系統(tǒng).因此，本研究只是一種理論研究方法上的探討，其結(jié)論有待進(jìn)一步驗(yàn)證.

2.原子能量非連續(xù)吸收與釋放

在量子力學(xué)理論中［16］，Wien提出輻射能量分布定律

其中υ為頻率，c為光速，T為溫度，α和β為常數(shù).

(1)式只在波長較短、溫度較低時才與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合，而在長波區(qū)域則普遍低于實(shí)驗(yàn)值.1899年普朗克提出了在達(dá)到平衡時輻射場的能量密度ρ(υ)與振子平均能量的關(guān)系式

通過比較(1)式與(2)式，并考慮到低頻區(qū)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，采用內(nèi)差法得出輻射的能量密度為

其中γ為常量.

將(3)式與(2)式比較，得振子的平均能量為

由此，普朗克提出了能量量子化假設(shè):1)黑體的腔壁是由無數(shù)個帶電的諧振子組成的，這些諧振子不斷吸收和輻射電磁波，與腔內(nèi)的輻射場交換能量;2)這些諧振子所具有的能量是分立的，它的能量與其振動頻率υ成正比，即

其中h為普朗克常量.

由于振子與輻射場交換的能量ε是一個離散的變量，只能取基本單元能量子ε0的整數(shù)倍，即

利用統(tǒng)計理論求得在周圍場輻射條件下原子交換能量的平均值

其中υ為引起原子能量交換的周圍輻射場頻率，本文為摩擦界面原子在周期性界面勢能場作用下原子受迫振動的頻率，k為 Boltzmann常量，T為原子交換能量后的溫度變化.

對比(4)式和(5)式，可得到 α和 γ兩常數(shù)分別為

1913年玻爾將光的量子理論引入到原子結(jié)構(gòu)理論中來，提出了定態(tài)假說和頻率假說:在原子系統(tǒng)中存在一系列的定態(tài)，電子在這些定態(tài)的能量取離散值，原子在定態(tài)中不發(fā)射也不吸收電磁輻射能，原子在兩個定態(tài)能級En>Em躍遷時，發(fā)射或吸收的電磁輻射的頻率υ滿足hυ=En－Em.原子系統(tǒng)的每個變化只能從一個定態(tài)完全躍遷到另一個定態(tài)，這種躍遷可以是自發(fā)從高能態(tài)躍遷到低能態(tài)，也可以在外界的干擾下從低能態(tài)躍遷到高能態(tài).

顯然，在界面摩擦?xí)r，界面勢能場的周期變化及界面原子平衡態(tài)失穩(wěn)等因素都將對原子的能態(tài)產(chǎn)生影響.由于界面原子吸收與釋放能量的能力是非連續(xù)的，因此在界面摩擦過程中，當(dāng)界面勢能場對原子的激勵未達(dá)到原子能態(tài)變化所需能量時，就沒有摩擦功的耗散，只有當(dāng)界面激勵能量達(dá)到基本能量子的整數(shù)倍時，才可能出現(xiàn)摩擦功的突然耗散.

3.滑動摩擦系數(shù)計算模型

為簡化計算，假設(shè)材料表面晶胞中只有最表面原子參與接觸，則根據(jù)不同的晶格類型可以計算出最表面每個原子所占面積s0與晶格常數(shù)a的關(guān)系為:對于體心立方晶胞，如 α-Fe，β-Ti，W，V，Cr等，s0=a2;對于面心立方晶胞，如 γ-Fe，Al，Cu，Ni，Au 等，s0=0.5a2;對于密排六方晶胞，如 α-Ti，Be，Zn，Mg等，s0=1.3a2.

以體心立方晶胞類型材料為例，當(dāng)摩擦副為同種晶體材料時，在任一時刻摩擦界面某一面上實(shí)際接觸的原子數(shù)(在不考慮接觸邊緣的情況下)為

其中S為實(shí)際接觸面積.

假設(shè)摩擦副一界面靜止，另一界面在Δt時間內(nèi)以速度v從位置A滑動至位置B，如圖1所示.

如果滑動過程中摩擦界面的實(shí)際接觸面積不變，則在 Δt時間內(nèi)，S區(qū)域中任一原子受界面周期勢能場變化而被激勵的次數(shù)為

圖1 實(shí)際接觸面積的滑動

在Δt時間內(nèi)，界面上原子被激勵的總次數(shù)為

根據(jù)量子力學(xué)中界面原子能態(tài)分立理論，可得界面原子由于相對滑動過程中周期勢能場作用而吸收的總能量為

此時原子周圍輻射場的頻率就是原子受迫振動頻率，即υ=v/a，代入(6)式得

設(shè)摩擦力為F，摩擦副法向壓力為p，摩擦系數(shù)為μ，則在Δt時間內(nèi)摩擦力所做功為

假設(shè)摩擦過程中摩擦功全部耗散為系統(tǒng)的熱能，則有

則滑動摩擦系數(shù)可表示為

定義p為實(shí)際接觸面積上的法向應(yīng)力，p=P/S，則(9)式變?yōu)?/p>

從(10)式中可以看出，當(dāng)相對滑動速度趨近于0時，滑動摩擦系數(shù)趨于，即靜摩擦系數(shù)只與原子溫升能力及實(shí)際接觸面積變化有關(guān);而當(dāng)速度逐漸增大時，在原子溫升能力不變的情況下，滑動摩擦系數(shù)隨相對速度增加而呈緩慢下降趨勢.當(dāng)相對速度較大時，滑動摩擦系數(shù)基本不隨相對滑動速度的變化而變化.實(shí)際上，上述結(jié)論是在假設(shè)界面原子可能溫升不變的前提下得出的，而摩擦過程中存在熱力耦合現(xiàn)象，即界面原子溫升能力隨摩擦速度的變化而變化，因此不能從單因素角度去考慮相對速度對滑動摩擦系數(shù)的影響.

根據(jù)作者在文獻(xiàn)［17］中的研究結(jié)論，界面原子溫升與相對滑動速度之間存在如下的關(guān)系

式中，m為原子質(zhì)量，H為界面勢能場激勵力幅，ωn為原子固有頻率.將(11)式代入(10)式得

4.分析與討論

以 α-Fe為例，有 m=9.3 ×10－26kg，a=2.87 ×10－10m，取 ωn=3.0 × 1011rad/s，H=1 × 10－10N.對(12)式進(jìn)行計算分析.

圖2反映了滑動摩擦系數(shù)隨p值變化的趨勢.

圖2 摩擦副法向正應(yīng)力與滑動摩擦系數(shù)關(guān)系

顯然，當(dāng)載荷不變時，摩擦界面的實(shí)際接觸面積愈大，滑動摩擦系數(shù)愈高.然而，當(dāng)載荷較小時，由于實(shí)際接觸面積與載荷成線性關(guān)系，即p為常數(shù)，因此載荷增加不會導(dǎo)致滑動摩擦系數(shù)增加.而當(dāng)實(shí)際接觸面積與名義接觸面積接近時，實(shí)際接觸面積的增加不再與載荷增加成正比關(guān)系，即p隨載荷的變化而變化.由于載荷增加時實(shí)際接觸面增大不明顯，因此p值隨載荷增大而增加，此時，滑動摩擦系數(shù)隨載荷增大而呈下降趨勢，宏觀上表現(xiàn)為摩擦力隨載荷增大而呈非線性增加.

圖3反映了相對滑動速度對滑動摩擦系數(shù)的影響.

圖3 滑動摩擦系數(shù)隨相對滑動速度變化曲線

總體上，界面摩擦?xí)r滑動摩擦系數(shù)隨相對滑動速度的增大而增加，且相對速度較低時，滑動摩擦系數(shù)隨相對速度增大而增加的趨勢較小.相對速度愈高，對滑動摩擦系數(shù)的影響愈大.文獻(xiàn)［10］中指出，在滑動剛發(fā)生時，滑動摩擦系數(shù)隨相對滑動速度增大而減小，當(dāng)速度繼續(xù)增大時，又隨相對滑動速度增大而增大.顯然，該結(jié)論在滑動剛開始時與本文分析的結(jié)論不一致，而在一定的滑動速度后，其結(jié)論是一致的.

實(shí)際上，根據(jù)量子力學(xué)理論，原子在兩個定態(tài)能級之間發(fā)生躍遷時必須滿足υ=(En－Em)/h.對于某種原子而言，其不同能態(tài)的能量值是分立的，因此能夠使原子能態(tài)發(fā)生改變的外場頻率也是離散的.當(dāng)外場頻率為界面勢能場激勵頻率時，表明只有在一些離散的相對滑動速度時，界面原子才能在外場激勵作用下有從低能態(tài)向高能態(tài)躍遷的可能，此時摩擦界面才有摩擦功的耗散.在緩慢滑動時，一方面由于激勵頻率低于紫外頻率時原子能態(tài)的量子特性不明顯，導(dǎo)致該模型不能準(zhǔn)確反映摩擦系數(shù)隨滑動速度變化的趨勢;另一方面，在低速滑動時，由于輻射場能量較小，大部分原子不能吸收輻射場的能量，只有少數(shù)原子可能發(fā)生能態(tài)的躍遷而存在能量的耗散.隨著相對滑動速度的增大，輻射場能量增大，可發(fā)生能態(tài)躍遷的原子數(shù)增多，因此耗散的能量增加，表現(xiàn)為滑動摩擦系數(shù)增加.

圖4為滑動摩擦系數(shù)隨晶格常數(shù)變化的計算曲線.

圖4 滑動摩擦系數(shù)隨晶格常數(shù)變化曲線

在其他參數(shù)不變的情況下，滑動摩擦系數(shù)隨晶格常數(shù)的增大而降低，且晶格常數(shù)愈小其降低趨勢愈顯著.當(dāng)晶格常數(shù)較大時，其變化對滑動摩擦系數(shù)影響較小.此外，摩擦副之間的相對滑動速度愈大，晶格常數(shù)的變化對滑動摩擦系數(shù)的影響程度愈大.顯然，對于晶格常數(shù)很小的材料，該結(jié)論與文獻(xiàn)［9］中的結(jié)論存在一定的差異.實(shí)際上，當(dāng)晶格常數(shù)增大時，界面原子在周期勢能場激勵下的激勵頻率降低，界面原子可吸收的基本能量子數(shù)減少，同時，在相對滑動速度不變的前提下，在相同時間內(nèi)，原子被激勵的次數(shù)減少，因此摩擦過程中的能量消耗減少，宏觀上表現(xiàn)為滑動摩擦系數(shù)降低.當(dāng)晶格常數(shù)較大時，滑動摩擦系數(shù)隨晶格常數(shù)變化而變化的程度很小，此時的結(jié)論與文獻(xiàn)［9］的結(jié)論一致.

圖5為根據(jù)(10)式仿真計算而得到的原子溫升與滑動摩擦系數(shù)耦合作用關(guān)系圖.

圖5 滑動摩擦系數(shù)與原子溫升耦合關(guān)系 計算條件:a=2.87×10－10m，v=0.01 m·s－1

在相對滑動過程中，摩擦功耗散為摩擦熱.從微觀上看，界面原子隨摩擦功耗散而溫度升高，溫度升高又將影響界面摩擦狀態(tài).因此，界面原子溫升與摩擦狀態(tài)存在一定的耦合關(guān)系，如圖5所示.隨著原子可能溫升能力增加，滑動摩擦系數(shù)呈現(xiàn)出增大的趨勢.實(shí)際上，在吸收同樣能量的前提下，可能溫升能力愈強(qiáng)，表明材料的比熱容愈小.因此，比熱容小的材料，在同等條件下，滑動摩擦系數(shù)就愈大.該結(jié)論與文獻(xiàn)［18］結(jié)論基本一致.然而，由于在計算過程中假設(shè)摩擦所消耗的能量均被摩擦界面表面層原子吸收，且能量沒有傳遞給其他層原子，因此該結(jié)論只是從趨勢上反映了界面原子溫升與滑動摩擦系數(shù)之間的關(guān)系.

上述模型所得到的滑動摩擦系數(shù)隨載荷、相對滑動速度和晶格常數(shù)等參數(shù)的變化趨勢與作者在文獻(xiàn)［19］中所建立的滑動摩擦系數(shù)模型所得到的趨勢一致.前者認(rèn)為界面原子所具有的能態(tài)是非連續(xù)的，振子的能態(tài)是分立的，相對滑動速度愈高，原子能態(tài)的離散性愈明顯.因此，理論上相對滑動速度較高時，該模型能更好地描述系統(tǒng)的摩擦特性.后者根據(jù)經(jīng)典力學(xué)理論，認(rèn)為界面原子在外場激勵作用下作諧振動，振子所具有的能量是連續(xù)的，因此，該模型適應(yīng)于對緩慢滑動過程中系統(tǒng)摩擦特性的宏觀描述.

5.結(jié) 論

研究表明，在線彈性接觸狀態(tài)下，滑動摩擦系數(shù)與載荷及實(shí)際接觸面積無關(guān)，當(dāng)實(shí)際接觸面積接近名義接觸面積時，法向正應(yīng)力隨載荷增加而增大，此時滑動摩擦系數(shù)隨載荷增加而減小.在緩慢滑動時，滑動摩擦系數(shù)隨滑動速度增高而呈緩慢增大趨勢，相對速度愈高，滑動摩擦系數(shù)增加趨勢愈顯著.滑動摩擦系數(shù)隨晶格常數(shù)增加而降低，且晶格常數(shù)愈小其降低趨勢愈顯著，當(dāng)晶格常數(shù)較大時，其變化對滑動摩擦系數(shù)影響較小.隨著原子可能溫升的增加，滑動摩擦系數(shù)呈現(xiàn)出增大趨勢.因此，材料的比熱容愈小，滑動摩擦系數(shù)愈大.

［1］Majcherczak D，Dufrenoy P，Berthier Y 2007Tribol.Int.40 834

［2］Robbins M O，Krim J 1998MRS Bulletin23 23

［3］Yoshitsugu K 2000Proceedings of the International Tribology Conference(Volume 1)Nagasaki，Japan，2000 p3

［4］Xie Y B 2001Tribology21 161(in Chinese)［謝友柏 2001摩擦學(xué)學(xué)報 21 161］

［5］Buldum A，Leitner D M，Ciraci S 1999Phys.Rev.B 59 16042

［6］Ciraci S，Buldum A 2003Wear254 911

［7］Zhang X J，Meng Y G，Wen S Z 2004Acta Phys.Sin.53 728(in Chinese)［張向軍、孟永鋼、溫詩鑄 2004物理學(xué)報 53 728］

［8］Xu Z M，Huang P 2006J.South China Univ.Tech.34 62(in Chinese)［許中明、黃 平2006華南理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)34 62］

［9］Xu Z M，Huang P 2006Tribology26 159(in Chinese)［許中明、黃 平2006摩擦學(xué)學(xué)報26 159］

［10］Bai H B，Zhang P L，Huang X Q 2001Mechanical Sci.Tech.20 346(in Chinese)［白鴻柏、張培林、黃協(xié)清2001機(jī)械科學(xué)與技術(shù) 20 346］

［11］Tomlinson G A 1929Phil.Mag.Ser.7 905

［12］Xu Z M，Huang P 2006Acta Phys.Sin.55 2427(in Chinese)［許中明、黃 平 2006物理學(xué)報 55 2427］

［13］Lin M M，Duan W S，Chen J M 2010Chin.Phys.B 19 026201

［14］Gong Z L，Huang P 2008Acta Phys.Sin.57 2352(in Chinese)［龔中良、黃 平 2008物理學(xué)報 57 2352］

［15］Ding L Y，Gong Z L，Huang P 2009Acta Phys.Sin.58 8522(in Chinese)［丁凌云、龔中良、黃 平 2006物理學(xué)報 58 8522］

［16］Yang F J 2001The Atomic Physics(Beijing:High Education Press)(in Chinese)［楊福家2001原子物理學(xué) (北京:高等教育出版社)］

［17］Gong Z L，Ding L Y，Huang P 2008Tribology28 322(in Chinese)［龔中良、丁凌云、黃 平 2008摩擦學(xué)學(xué)報 28 322］

［18］Majcherczak D，Dufrenoy P，Berthier Y 2007Tribol.Int.40 834

［19］Gong Z L，Huang P 2008J.South China Univ.Tech.36 10(in Chinese)［龔中良、黃 平2008華南理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)36 10］

PACS:46.55.+d，81.40.Pq

A calculating model of sliding friction coefficient based on non-continuous energy dissipation*

Gong Zhong-Liang1)?Huang Ping2)
1)(College of Mechanical and Electrical Engineering，Central South University of Forestry and Technology，Changsha 410004，China)
2)(School of Mechanical and Automotive Engineering，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China)
(Received 16 March 2010;revised manuscript received 23 May 2010)

A sliding friction coefficient calculation model was established based on analysis of non-continuous diffusion of energy during the interfacial friction.The results indicated that the sliding friction coefficient is not related with the load and the actual contact area under elastic contact.However，when the actual contact area is close to the nominal contact area，the sliding friction coefficient will increase along with the reducing load.When sliding is slow，the friction coefficient rises slowly with the increase of the sliding velocity，and the influence is more remarkable when the sliding speed is higher.Furthermore，the larger the atomic lattice，the smaller the sliding friction coefficient is.The sliding friction coefficient increases with the rising of the atomic temperature.These results will be used to engineering application and theoretical research.

sliding friction coefficient，non-continuous energy dissipation，interfacial friction

*國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:50875087)和清華大學(xué)摩擦學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(批準(zhǔn)號:SKLTKF08B04)資助的課題.

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.50875087)and the Tribology Science Fund of State Key Laboratory of Tribology of Tsinghua University，China(Grant No.SKLTKF08B04).