石玉仁 張 娟 楊紅娟 段文山

(西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，蘭州 730070)

(2010年5月13日收到;2010年5月20日收到修改稿)

耦合KdV方程的雙峰孤立子及其穩(wěn)定性*

石玉仁?張 娟 楊紅娟 段文山

(西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，蘭州 730070)

(2010年5月13日收到;2010年5月20日收到修改稿)

利用擴展雙曲函數(shù)法求解了耦合KdV方程，得到了6類精確解，其中一類為具有雙峰狀結(jié)構(gòu)的單孤子解.在不同的極限情況下，該解分別退化為耦合KdV方程的扭結(jié)狀或鐘狀孤波解.文中對雙峰孤立波的穩(wěn)定性進行了數(shù)值研究，結(jié)果表明:耦合KdV方程的雙峰孤立波在長波小振幅擾動和小振幅鐘型孤立波擾動下，均穩(wěn)定.

耦合KdV方程，雙峰孤立子，穩(wěn)定性

PACS:04.30.Nk，02.90.+p

1.引 言

現(xiàn)代科學(xué)中的許多非線性現(xiàn)象，如流體力學(xué)中的非線性波動，非線性光學(xué)中的激光現(xiàn)象以及等離子體等領(lǐng)域中的非線性現(xiàn)象，大都可以借助非線性演化方程來很好地描述.如何求解這些非線性演化方程并研究其解的特征，是非線性科學(xué)研究中的重要組成部分.近年來，很多學(xué)者提出和發(fā)展了許多新的方 法，如 齊 次 平 衡 法［1—4］、雙 曲 函 數(shù) 法［5—8］、Jacobi 橢 圓 函 數(shù) 展 開 法［9—11］、同 倫 分 析 法［12—16］、F-展 開 法［17—20］、輔 助 方 程 法［21，22］、分 離 變 量法［23—25］、Riccati 函數(shù)法［26—28］、LS 解法［29］等.這些方法都可以借助計算機代數(shù)系統(tǒng)得以部分甚至完全實現(xiàn)，從而大大提高了工作效率.

耦合KdV方程可以用來描述分層流體內(nèi)部波之間的近共振相互作用［30］，也可用來描述星際間波的近共振相互作用［31］等.文獻［32—35］對此方程的解與守恒律進行了研究.文獻［2］中應(yīng)用齊次平衡法求解了下列形式的耦合KdV方程

得到了它的單孤立波解.方程(1)中α為常數(shù)，表征了非線性效應(yīng)與色散效應(yīng).若υ≡0，則方程(1)就是KdV方程，故可將其看作是KdV方程的一個推廣.

雙曲函數(shù)法是求解非線性演化方程的一種直接法，被廣泛用于求解非線性演化方程的孤立波解.本文利用雙曲函數(shù)法的基本思想，通過選擇新的展開函數(shù)，得到了耦合 KdV方程(1)的一類新型的孤立波解，該解為具有雙峰狀結(jié)構(gòu)的行波，兩波包具有相同的高度和寬度.波在傳播過程中，兩個波峰以相同的速度傳播，它們之間的距離保持不變.在不同的參數(shù)條件下，該孤立波既可能向右傳播，也可能向左傳播.本文對該類孤立波的穩(wěn)定性進行了數(shù)值研究，結(jié)果表明:耦合KdV方程的雙峰孤立波，在小振幅長波和鐘型孤立波擾動下，均穩(wěn)定.

2.耦合KdV方程的雙峰孤子解

考慮方程(1)的行波解

引入展開函數(shù)

其中 p，r為常數(shù).容易驗證，f(ξ)和 g(ξ)滿足下列關(guān)系:

文獻［5］中的雙曲函數(shù)法是這里 p=1的特例.若在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)考慮，注意到雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系，這里選擇的展開函數(shù)也包含了三角函數(shù).

設(shè)方程(3)有解

其中 a0，A0，ai，bi，Ai，Bi(i=1，2)為待定常數(shù).把(6)式代入(3)式并反復(fù)利用(5)式，使得所得方程中僅含f和g的冪次項且g的冪次不大于1，然后令figj(i=0，1，…;j=0，1)項的系數(shù)為零，得包含所有待定常數(shù)的一組超定非線性代數(shù)方程組，通過求解該方程組就能最終得到方程(1)的精確解.

利用上述方法，我們得到了方程(1)的6組解.所得解也適合于所選參數(shù)是復(fù)數(shù)的情況，但本文僅討論參數(shù)取實數(shù)的情形.

情況1

其中 k，ω，r，p為任意常數(shù)(所選參數(shù)應(yīng)使(7)式中開方運算在實數(shù)范圍內(nèi)有意義).這里參數(shù)p，r的取值對解的結(jié)構(gòu)有著重要的影響.圖1(a)和(b)分別顯示了 α =2，k=1，ω =1，r=1，x0=0，t=0，p=0.9與p=0兩種情況下 u和 υ(取“+”號)的圖像.圖1(a)中，兩波均為鐘型孤立波;圖1(b)中u為鐘型孤立波而υ為扭結(jié)型孤立波.

圖 1 耦合 KdV 方程的孤立波解 (α =2，k=1，ω =1，r=1，x0=0，t=0)，(a)p=0.9，(b)p=0

對圖2所示的孤立波，容易得

這里正負號分別和(7)式中正負號相對應(yīng).兩波峰之間的距離定義為波寬Wu，Wυ，為

其中 x1，u，x2，u，x1，υ和 x2，υ為圖 2 中所示點.理論計算得波的振幅Au，Aυ可定義為

情況2

下面針對情形1下所得解進行穩(wěn)定性研究.

3.雙峰孤立波的穩(wěn)定性

設(shè) u0=u0(x，t)，υ0= υ0(x，t)是耦合 KdV 方程(1)的一組精確解，下面數(shù)值研究該解的穩(wěn)定性.在初始時刻對 u0，υ0加一相對很小的擾動 u′(x，0)與υ′(x，0)，記 u(x，t)=u0(x，t)+u′(x，t)，υ(x，t)=υ0(x，t)+ υ′(x，t)且設(shè) u(x，t)與 υ(x，t)滿足方程(1)，則可通過考察 u(x，t)和 υ(x，t)隨時間的演變而得知u0和υ0的穩(wěn)定性.數(shù)值求解時，采用如下有限差分格式

其中Δx，Δt分別為空間和時間方向步長.該格式為三層顯式格式，截斷誤差為 O((Δt)2+(Δx)2)，條件穩(wěn)定.計算第一層時，采用下列格式啟動

圖3 長波擾動下不同時刻的波形圖(實線為無擾動時的波形)

本文著重考察耦合KdV方程的雙峰孤立波解的穩(wěn)定性，故取 u0和 υ0為(7)式(取”+”號)，所用方法也適合于考察其他解的穩(wěn)定性.計算時，各參數(shù)取為:α =2，k=0.5，ω =0.2，r=1，p=10－6，x0=此時波的振幅 A≈0.125，A≈0.129;波寬

uυWu≈Wυ≈30.4036;波速 υp=0.4，表明波向右傳播.數(shù)值計算時，步長取為 Δx=0.1，Δt=1 ×10－4，空間范圍取為［－100，100］，采用周期性邊界條件.下面考慮兩種初始擾動下解的穩(wěn)定性.

3.1.簡諧波擾動

記初始擾動為

其中A′和λ分別是擾動波的振幅和波長.圖3顯示了 A′=0.001，λ =10 時 u(x，t)與 υ(x，t)在不同時刻的圖像.從圖3可以看出，在所考察的時間范圍內(nèi)，u和υ均穩(wěn)定，表明在長波擾動下，耦合 KdV方程(1)的雙峰孤立子與雙扭結(jié)孤立子是穩(wěn)定的.圖4顯示了 A′=0.001，λ =2 時 u(x，t)與 υ(x，t)在不同時刻的圖像.從圖4可以看出，在所考察的時間范圍內(nèi)，雙扭結(jié)型孤子穩(wěn)定而雙峰孤立子失穩(wěn)，表明耦合KdV方程(1)的雙扭結(jié)型孤子具有比雙峰孤立子更強的穩(wěn)定性.

實際計算過程中觀察到:在簡諧波擾動下，耦合KdV方程(1)的雙峰孤立子會在一定時間內(nèi)基本穩(wěn)定，而隨著時間的推移，波逐漸失穩(wěn).初始擾動的振幅越小，擾動的波長越長，雙峰孤立子保持基本穩(wěn)定的時間也越長.換句話說，短波擾動下的雙峰孤立子更容易失穩(wěn).在不同的情形下，雙扭結(jié)型孤立子都表現(xiàn)出比雙峰孤立子更強的抗干擾性.

3.2.鐘型孤立波擾動

取初始擾動為

u′(x，0)= υ′(x，0)=A′sechk′(x+l)，(22)其中 A′為擾動的振幅，改變 k′可以改變擾動的寬度，調(diào)節(jié) l可以改變擾動的位置.圖5顯示了 A′=0.005，k′=0.5，l=0 時波形的演變.可以看出，隨著時間的演變，初始時刻局域性的鐘型擾動逐漸演變?yōu)檎麄€周期上的擾動，但沒觀察到擾動幅度的明顯增加，表明在這種情況下耦合KdV的雙峰孤立子及雙扭結(jié)型孤立子仍然穩(wěn)定.

4.結(jié) 論

本文基于雙曲函數(shù)展開法的思想，通過選擇新的展開函數(shù)，得到了耦合KdV方程的6類精確解，其中一類為具有扭結(jié)-反扭結(jié)狀結(jié)構(gòu)的雙扭結(jié)單孤子解與具有雙峰結(jié)構(gòu)的雙峰孤立子.文中對該類孤子解的穩(wěn)定性進行了數(shù)值研究，結(jié)果表明:雙峰孤立子在長波小振幅擾動下具有很好的穩(wěn)定性，而在短波小振幅擾動下出現(xiàn)失穩(wěn);在這兩種擾動下，雙扭結(jié)型孤立子均表現(xiàn)出較強的穩(wěn)定性.在小振幅的鐘型孤立波擾動下，雙峰孤立子和雙扭結(jié)型孤立子均穩(wěn)定.對于由其他非線性演化方程描述的物理系統(tǒng)中，是否也存在雙扭結(jié)型孤立波以及這樣的波是否穩(wěn)定，是個值得研究的問題.

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PACS:04.30.Nk，02.90.+p

The single solitary wave with double peaks of the coupled KdV equation and its stability*

Shi Yu-Ren?Zhang Juan Yang Hong-Juan Duan Wen-Shan
(College of Physics and Electronic Engineering，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China)
(Received 13 May 2010;revised manuscript received 20 May 2010)

We obtained six classes of exact solutions for the coupled KdV equation by the extended hyperbola function expansion Method.One of the solutions is a solitary wave solution，which has two peaks.This solution is reduced to the kink or belllike soliton solution of the coupled KdV equation under different limitations.We also investigated the stability of the single solitary wave solution with double peaks numerically.The results indicate that the solution is stable when the amplitude of the disturbance，which has long wave length，and is very small.

coupled KdV equation，single soliton with double peaks，stability

*國家自然科學(xué)基金(批準號:10575082，11047010)，教育部科學(xué)技術(shù)研究重點項目(批準號:209128)和西北師范大學(xué)科技創(chuàng)新工程(批準號:NWNU-KJCXGC-03-53)資助的課題.

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.10575082，11047010)，the Key Program of Science and Technology Foundation of Ministry of Education of China(Grant No.209128)，and the Science and Technology Innovation Program of Northwest Normal University，China(Grant No.NWNU-KJCXGC-03-53).