李雙雷

（淮安市淮陰師范學(xué)院第一附屬小學(xué)，江蘇 淮安 223001）

數(shù)學(xué)是一門較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，其知識(shí)內(nèi)部之間存在著有條理、有層次、有系統(tǒng)的緊密聯(lián)系。小學(xué)數(shù)學(xué)教材是一個(gè)縝密的系統(tǒng)，在一定的階段，就需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行或縱向、或橫向的歸類整理，探究其內(nèi)在聯(lián)系，將成“點(diǎn)狀”分布的知識(shí)穿成串、捋成線、連成片、結(jié)成網(wǎng)，形成有序的知識(shí)結(jié)構(gòu)，以便更好地記憶和運(yùn)用。在對(duì)“點(diǎn)狀”知識(shí)進(jìn)行加工重組的過(guò)程中，“對(duì)比”是一種很有效的方法?！掇o海》上描述“對(duì)比”是一種修辭方式，是把若干個(gè)相對(duì)或相反的事物，或者一個(gè)事物的幾個(gè)不同方面并舉出來(lái)，相互比較。把“對(duì)比”應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)上來(lái)，其內(nèi)涵變得更為豐富，可以通過(guò)形式、內(nèi)容、方法等方面的對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生找尋聯(lián)系、辨別差異、歸納總結(jié)、豐富完善知識(shí)結(jié)構(gòu)。更為重要的是，可以促使學(xué)生掌握“對(duì)比”的學(xué)習(xí)方法，養(yǎng)成主動(dòng)對(duì)比的意識(shí)，收獲反思總結(jié)的習(xí)慣。下面筆者就結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)際談一談對(duì)于“對(duì)比”的認(rèn)識(shí)。

一、根據(jù)問(wèn)題構(gòu)成要素和結(jié)構(gòu)特征的異同分類

布魯納認(rèn)為，在感知外界時(shí)，人不只要把所感受的信息歸入某一類別中，還要根據(jù)有關(guān)的類別進(jìn)行推理，形成相應(yīng)的預(yù)期。因此，為了促進(jìn)學(xué)生最佳地學(xué)習(xí)，提供信息是必要的。對(duì)比練習(xí)在過(guò)去的教材中大量出現(xiàn)，尤其是應(yīng)用題對(duì)比，但隨著新教材解決問(wèn)題編排出現(xiàn)新的亮點(diǎn)，對(duì)比練習(xí)明顯減少，需要教師根據(jù)教學(xué)需要自行重組和補(bǔ)充。根據(jù)先行組織的問(wèn)題的構(gòu)成要素和結(jié)構(gòu)特征的異同，可以把“對(duì)比”分為以下兩類。

1.同素異構(gòu)

華羅庚說(shuō)，要從簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決中，或者獲得解題思路，或者提示解題方向，或者發(fā)現(xiàn)一般問(wèn)題的結(jié)論，或者得到化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題的途徑，從而再“進(jìn)”到一般性問(wèn)題上來(lái)。很多問(wèn)題情境雖然復(fù)雜，但其基本的構(gòu)成要素都是相同的，例如下面的一組練習(xí)：

①六（1）班有男生25人，女生人數(shù)是男生的4/5，女生有多少人？

②六（1）班有女生20人，是男生人數(shù)的4/5，男生有多少人？

③六（1）班有男生25人，女生人數(shù)比男生少1/5，女生有多少人？

④六（1）班有女生20人，比男生少1/5，女生有多少人？

這組練習(xí)都是由三個(gè)相同的要素（男生人數(shù)、女生人數(shù)、男女生人數(shù)的關(guān)系）組成的，不同的是某個(gè)要素或以問(wèn)題、或以條件的身份直接或間接呈現(xiàn)出來(lái)。這四題都是以男生人數(shù)為單位“1”，男女生人數(shù)的關(guān)系呈現(xiàn)方式略有不同，第③④題相對(duì)于第①②題稍復(fù)雜一些，但第①③題是已知男生人數(shù)求女生人數(shù)，第②④題是已知女生人數(shù)求男生人數(shù)。當(dāng)然掌握這些信息本身并不是學(xué)習(xí)的目的，還應(yīng)該通過(guò)對(duì)比、歸類、推理超越所給信息，形成更為豐富的理解。通過(guò)這組習(xí)題的對(duì)比，應(yīng)該使學(xué)生清楚地理解在單位“1”已知時(shí)選擇什么方法，單位“1”未知時(shí)又該如何，量與量之間關(guān)系的呈現(xiàn)方式對(duì)于解題有什么影響，等等。

2.異素同構(gòu)

從特殊到一般，突出規(guī)律本質(zhì)。在生活中，有大量的個(gè)別事實(shí)蘊(yùn)藏著共同的本質(zhì)特征，需要我們把這些個(gè)別事實(shí)通過(guò)對(duì)比、分析、綜合，抽象出共同而本質(zhì)的屬性，從而化為現(xiàn)象的一般規(guī)律，這樣的思維形式就是歸納推理。對(duì)于小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)的一般規(guī)律就蘊(yùn)藏在生活素材中，如果教師能夠?yàn)閷W(xué)生提供豐富而多樣且蘊(yùn)藏著共同的一般規(guī)律的特殊材料，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比探究，就可以促使學(xué)生的認(rèn)識(shí)由個(gè)別擴(kuò)大到一般，獲得數(shù)學(xué)規(guī)律本質(zhì)上的認(rèn)識(shí)。

例如，在教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)幾道這樣的練習(xí)題讓學(xué)生計(jì)算，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比分析，獲得對(duì)于乘法分配律的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。

①校服的一件上衣66元，褲子34元，我們?nèi)?8人每人購(gòu)買一套，一共需要多少元？

②我校進(jìn)行團(tuán)體操表演，男生有12行，女生有18行，每行都是16人，參加表演的學(xué)生共有多少人？

③學(xué)校體育組要籃球、足球各12個(gè)。每個(gè)籃球104元，每個(gè)足球96元。一共需要多少元？

通過(guò)初步計(jì)算，可以獲得以下一組等式：

66×48＋34×48＝（66＋34）×48

12×16＋18×16＝（12＋18）×16

104×12＋96×12＝（104＋96）×12

進(jìn)而可以歸納：a×c＋b×c＝（a＋b）×c

很顯然，上面三題的素材完全不同，但其中的本質(zhì)結(jié)構(gòu)卻是一致的。以第①題為例，既可以先算出上衣的總價(jià)和褲子的總價(jià)，也可以先算出每人一套衣服的總價(jià)，雖然解題思路不同，但結(jié)果是一樣的。其余兩題的結(jié)構(gòu)與第①題如出一轍，當(dāng)這樣的規(guī)律通過(guò)對(duì)比呈現(xiàn)出來(lái)之后，學(xué)生就會(huì)思考，是不是其他“形似”的算式也是這樣的呢？舉例、論證，從而獲得關(guān)于“乘法分配律”的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。

二、根據(jù)知識(shí)在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相對(duì)位置分類

奧蘇貝爾認(rèn)為，由于知識(shí)的概括水平不同，認(rèn)知結(jié)構(gòu)是有一定層次性的。按照新、舊概念的概括水平及其聯(lián)系方式的不同，他提出了三種同化學(xué)習(xí)模式：下位學(xué)習(xí)、上位學(xué)習(xí)和組合學(xué)習(xí)。下位學(xué)習(xí)又稱類屬學(xué)習(xí)，是指將概括程度較低的新概念或新命題，歸屬到認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的概括程度較高的適當(dāng)?shù)母拍罨蛎}之下，從而獲得新概念或新命題的意義。上位學(xué)習(xí)的意義與此相反。根據(jù)這樣的理論，我們可以依據(jù)不同知識(shí)點(diǎn)在數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的位置，把其分為上位知識(shí)和下位知識(shí)，當(dāng)然這樣的分類只是相對(duì)的。

1.上位與下位知識(shí)的對(duì)比

奧蘇貝爾認(rèn)為，學(xué)生能否有意義地學(xué)習(xí)新知識(shí)，主要取決于他們認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的有關(guān)觀念，這些觀念能夠?qū)π轮R(shí)起到“掛鉤”的作用。而“對(duì)比”恰恰可以促使上、下位知識(shí)順利地“掛鉤”。例如，“工程問(wèn)題”的上位知識(shí)就是中年級(jí)所學(xué)的數(shù)量關(guān)系式：工作總量÷工作效率＝工作時(shí)間，教學(xué)“工程問(wèn)題”時(shí)我設(shè)計(jì)了如下的對(duì)比。

①生產(chǎn)360個(gè)零件，徒弟每小時(shí)做24個(gè)，師傅每小時(shí)做36個(gè)，兩人合做幾小時(shí)完成？

②生產(chǎn)360個(gè)零件，徒弟獨(dú)做需15小時(shí)，師傅獨(dú)做需10小時(shí)，兩人合做幾小時(shí)完成？

③生產(chǎn)3600個(gè)零件，徒弟獨(dú)做需15小時(shí)，師傅獨(dú)做需10小時(shí)，兩人合做幾小時(shí)完成？

④生產(chǎn)一批零件，徒弟獨(dú)做需15小時(shí)，師傅獨(dú)做需10小時(shí)，兩人合做幾小時(shí)完成？

根據(jù)“工作總量÷工作效率＝工作時(shí)間”，學(xué)生可以很快地解決第①題，而第②題與第①題相對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)是間接地呈現(xiàn)師徒的工作效率，第③題與第②題相對(duì)比可知，雖然工作總量在變化，但師徒的工作效率也在隨著變化，因此工作時(shí)間是不變的，第④題與第②③題對(duì)比，可以使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到：因?yàn)閹熗酵瓿蛇@批零件的工作時(shí)間不變，所以他們的工作效率保持不變。通過(guò)這樣層層遞進(jìn)式的對(duì)比，可以使學(xué)生很清楚地理解在不同的問(wèn)題情境中，這組習(xí)題本質(zhì)沒(méi)有絲毫變化，即利用“工作總量÷工作效率＝工作時(shí)間”來(lái)解決問(wèn)題，可以促使學(xué)生順利地把數(shù)量關(guān)系式的應(yīng)用遷移到“工程問(wèn)題”上來(lái)，即工作總量可以用“1”表示，工作效率可以用分?jǐn)?shù)表示。

2.同位知識(shí)之間的對(duì)比

為學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)提供類比或分辨的參照（即同位知識(shí)），使學(xué)生在比較性參照體系的引導(dǎo)下形成對(duì)新知識(shí)內(nèi)在特征的清晰認(rèn)識(shí)。例如，在學(xué)習(xí)“比的基本性質(zhì)”時(shí)提供學(xué)生的比較參照體系是除法中商不變的規(guī)律和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，通過(guò)對(duì)這三者之間的區(qū)別與聯(lián)系的對(duì)比，幫助學(xué)生對(duì)三者之間的本質(zhì)特征形成清晰的認(rèn)識(shí)?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，可以按如下設(shè)計(jì)展開(kāi)“比的基本性質(zhì)”的教學(xué)。

先填一填，再說(shuō)一說(shuō)你的依據(jù)：

①34÷17＝340÷（ ）=（ ）÷1.7＝68÷（ ）=（ ）÷（ ）=（ ）

這組對(duì)比題對(duì)于絕大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)沒(méi)有問(wèn)題，可以引導(dǎo)學(xué)生很快地回憶起商不變的規(guī)律和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。緊接著出示讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)比、除法和分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系和區(qū)別，引發(fā)猜想：比是否有同樣的規(guī)律呢？接下來(lái)的驗(yàn)證和獲得結(jié)論就水到渠成了。

三、根據(jù)解決問(wèn)題的策略選擇的異同分類

現(xiàn)實(shí)生活中的很多數(shù)學(xué)問(wèn)題往往缺乏規(guī)則性和確定性，在解決問(wèn)題時(shí)，不能簡(jiǎn)單套用原來(lái)的解決方法，而需要在原有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上重新做具體分析，構(gòu)建新的理解方式和解決方案。新課程特別注重學(xué)生解決問(wèn)題的能力的培養(yǎng)，“解決問(wèn)題的策略”也是蘇教版新教材的特色之一。因此，解決問(wèn)題的策略的教學(xué)，既要讓學(xué)生理解具體策略的本質(zhì)，能夠透過(guò)問(wèn)題紛繁復(fù)雜的表象抓住本質(zhì)，又要讓學(xué)生積累大量的解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的策略意識(shí)，在面對(duì)不同的情境問(wèn)題時(shí)能夠做出正確的策略選擇。要實(shí)現(xiàn)上述的目標(biāo)，“對(duì)比”不失為一個(gè)好方法。根據(jù)解決問(wèn)題時(shí)所選擇的方法的異同，可以把“對(duì)比”分為以下兩類。

1.同解不同法

波利亞說(shuō)，教師講什么并不重要，學(xué)生想什么比這重要一千倍。課堂是學(xué)生的課堂，是學(xué)生展示自我的舞臺(tái)，面對(duì)相同的問(wèn)題，不同的學(xué)生會(huì)有不同的想法，教師應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造展示想法和思維的機(jī)會(huì)，百花齊放，百家爭(zhēng)鳴。新課標(biāo)蘇教版教材第十一冊(cè)有這樣一道例題：

很多學(xué)生選擇了不同的解決問(wèn)題的方法，有一一列舉的，有畫(huà)圖的，有列方程的，也有用假設(shè)法的，等等。但這都只是他們對(duì)于這單一情境問(wèn)題的解決方法，完全沒(méi)有上升到策略的層面。其實(shí)我們只要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比不同的方法，就可以很快地發(fā)現(xiàn)：他們所展示的各種各樣的解決問(wèn)題的方法都運(yùn)用了假設(shè)的策略，即他們所用方法的本質(zhì)是相同的。具體分析如下表。

大船只數(shù) 小船只數(shù) 總?cè)藬?shù) 與42相比0 10 0伊5垣10伊3越30 少 12 人1 9 1伊5垣9伊3越32 少 10 人…………5 5 5伊5垣5伊3越40 少 2人6 4 6伊5垣4伊3越42 相等10 0 10伊5垣0伊3越50 多 8人X 10原X X伊5垣（10原X）伊3越42 10原Y Y （10原Y）伊5垣Y伊3越42…………

2.同法不同解

現(xiàn)代認(rèn)知學(xué)習(xí)理論的研究成果清楚地表明：能否很快地通過(guò)知覺(jué)找出在某一情境下解決問(wèn)題的策略，取決于是否具備迅速地把記憶中原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)檢索出來(lái)的能力。在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，學(xué)生如能正確地識(shí)別問(wèn)題的模式，就能很快地確定思考問(wèn)題的范圍，做出正確的策略選擇。因此，在平時(shí)的教學(xué)中我們就應(yīng)該注重解題模式的建構(gòu)。變式訓(xùn)練是一良策，學(xué)生可以從題目的變化中了解問(wèn)題的本質(zhì)，而且通過(guò)背景的變換，達(dá)到強(qiáng)化模式的目的。以“解決問(wèn)題的策略——替換”為例。

①小明把720毫升果汁倒入6個(gè)小杯和1個(gè)大杯，正好都倒?jié)M。小杯的容量是大杯的1/3。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

②小明把720毫升果汁倒入6個(gè)小杯和1個(gè)大杯，正好都倒?jié)M。大杯的容量是小杯的4倍。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

③小明把720毫升果汁倒入6個(gè)小杯和1個(gè)大杯，正好都倒?jié)M。小杯的容量比大杯少160毫升。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

通過(guò)這組對(duì)比訓(xùn)練，要實(shí)現(xiàn)以下目標(biāo)：為什么要替換？在具體的替換過(guò)程中，什么變了，什么沒(méi)變？現(xiàn)把三道題的解題思路整理如下。

小杯數(shù)量 大杯數(shù)量 大小杯總數(shù)量總?cè)萘浚ê辽?）把小杯替換成大杯 6→2 1 7→3 720把大杯替換成小杯 6 1→3 7→9 720（2）把小杯替換成大杯 6→1.5 1 7→2.5 720把大杯替換成小杯 6 1→4 7→10 720（3）把小杯替換成大杯 6 1 7→7 720＋160×6把大杯替換成小杯 6 1 7→7 720－160×1

在根據(jù)兩種量的倍比關(guān)系替換時(shí)，變化的是大小杯的數(shù)量和，而果汁的總?cè)萘渴遣蛔兊模辉诟鶕?jù)兩種量的差數(shù)關(guān)系替換時(shí)，變化的是果汁的總?cè)萘?，而大小杯的?shù)量和是不變的。替換的目的是把兩種不同的量轉(zhuǎn)化成單一量，進(jìn)而解決問(wèn)題。在具體的解決問(wèn)題的過(guò)程中，“替換”是主旋律，把多種量運(yùn)用“替換”的策略轉(zhuǎn)化為單一量是本質(zhì)。我們要善于引導(dǎo)學(xué)生從不同的問(wèn)題中，發(fā)現(xiàn)事物的共性。一種解決問(wèn)題策略的習(xí)得，需要大量的對(duì)比練習(xí)、變式練習(xí)，而不是一味的重復(fù)。學(xué)生從不同的問(wèn)題情境中，逐步體會(huì)、領(lǐng)悟策略運(yùn)用的條件，從而有效地向新情境遷移。

研究表明，人的一般認(rèn)知發(fā)展，包括認(rèn)知能力的發(fā)展和認(rèn)知水平的提高，在很大程度上得益于深刻的反思。利用對(duì)比探究新知，利用對(duì)比構(gòu)建知識(shí)框架，利用對(duì)比反思鞏固知識(shí)，這些只是“對(duì)比”的基本目的。常常設(shè)計(jì)“超鏈接”讓學(xué)生對(duì)比，主動(dòng)尋求知識(shí)之間潛在的“連結(jié)”，使學(xué)生把知識(shí)連點(diǎn)、成線、成面、成網(wǎng)，培養(yǎng)反思習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)才是“本質(zhì)”。

[1]陳琦，劉儒德主編.教育心理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2005，8.

[2]吳亞萍.“新基礎(chǔ)教育”數(shù)學(xué)教學(xué)改革指導(dǎo)綱要[M].桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2009，4.

[3]俞瑾主編.普通邏輯概要[M].南京：南京大學(xué)出版社，2001，5.