巫曉燕

（丹陽市第五中學，江蘇 丹陽 212300）

引導學生研究解題方法、探索解題技巧，是每一個教師義不容辭的責任。教學中教師的主要任務就是要教會學生明確解題目的，理清解題思路，弄清解題程序，并在解題后進行適當?shù)奶剿髋c研究。

一、明確解題目的

學生解題時，常常是急于求出問題的答案，對于推理、計算的嚴密性、解題方法的簡捷性和合理性不夠重視。學生對于解題的思路是什么，是否有簡捷合理的解題方法，題目所給的條件、結(jié)論與哪些知識有關，該題有哪些變換形式等缺乏聯(lián)想與思考。以上問題若不予以考慮，數(shù)學教學的目的就很難達到。只有明確了解題目的，才能切實提高學生解決實際問題的能力。

二、弄清解題程序

解數(shù)學題就是運用已掌握的數(shù)學知識，尋求、得出習題的答案。它是一個綜合過程，需要經(jīng)過：

讀題：拿到題目后，要把題目一字不漏地讀一遍，弄清題型，明確題意。

審題：任何一道數(shù)學習題，一般是由已知條件和目標兩部分組成，通過讀題目要從中找出已知條件和需求目標，即弄清已知和未知的內(nèi)存聯(lián)系。

分析：分析就是從問題的條件和要達到的目標開始。它包括：①根據(jù)題目已知條件與要尋求的結(jié)論大致要用到哪些知識、概念、數(shù)量關系；②對題目的條件、結(jié)論進行剖析，通過聯(lián)想、類比與變換，確定應用某種知識、概念、數(shù)量關系；③綜合運用邏輯思維與非邏輯思維的方法，尋求解題思路，確定解題方法。

解題：找到了解題途徑，就要考慮怎樣解題，先做什么，后做什么，再做什么，是進行推理證明、計算、還是作圖，從而得出習題的答案。

三、解題后的探索與研究

題目解答完后，要適當進行解題研究。①檢驗是否有疏忽、遺漏，答案是否正確。②與題目有關的知識是否都考慮到了，題目的限制條件是否已用上。③通過對習題的再認識、再聯(lián)想得出不同的解法，能否找到更簡捷合理的解法，從一題多解中提煉出最優(yōu)的解法。④通過多途徑、多角度地認識問題，在加深對問題理解的基礎上再思考一下：題目的條件不變，能否得到其他結(jié)論；或結(jié)論不變，是否可以換成其他條件；通過一題多變深層次的認識題目的內(nèi)涵與外延。

解數(shù)學題本身不是目的，它只是一種掌握知識和學會運用知識的必不可少的訓練手段，是進一步學習和解決生產(chǎn)實際問題的演練。它的目的在于：①加強基本功訓練，加深對知識的理解和掌握；②學會運用知識，增強解決問題的能力；③掌握數(shù)學思想方法，培養(yǎng)數(shù)學創(chuàng)造思維的能力。學生往往會通過解很多習題，力求達到以上目的，而誤入題海歧途，當然，多做題對增強解決問題的能力確有一定好處，但這種硬拼苦練，只能是事倍功半。若在解題時對題目進行一些變換或研究一題多解，則可事半功倍。下面通過具體案例說明。

案 例

例：求 sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值（高二數(shù)學課本（必修本）P233例題9）。

學生在學習時感到比較難以掌握，教師講起來也顯得較為枯燥。利用一題多解和一題多變的特點來探究此題的解法，既提高了學生的興趣，又活躍了課堂氣氛，這樣教學學生不但積極參與，還能培養(yǎng)學生的觀察能力和創(chuàng)造思維能力。

師：你們已經(jīng)預習了，這道題你們是怎樣解的？

生：利用二倍角公式進行降次后積化和差、和差化積（大多數(shù)學生）。

師：很好，試一試。（叫一個同學演板）

學生馬上動手，多數(shù)學生能解決。少數(shù)學生不能動手。我還是給出了問題的解答。

點評：（解題不能只是心到，還要能動手做到）。這類有二次的三角函數(shù)的求值問題，通用方法是“降次法”。但要注意：用公式求值時，公式要用得準確，尤其是符號不能錯。

師：想一想，有別的方法嗎？

生：提取公因式。（個別學生）

師：行不行呢？我們一起試一試。

點評：（動手才能解決問題）。這類問題的解法主要是通過降次達到化簡的目的。這種解法雖然沒有直接降次，但通過提取公因式后與上面解法異曲同工。

師：能不能提取sin10°呢？

生：能，一定能行。（多數(shù)學生）

師：試一試。（學生很有興趣地進行了演算，而且結(jié)果正確）能否找到其他別的方法，（學生面露難色，一副期待老師的神態(tài)）。下面介紹一種特殊解法——構造法。

生：太妙了，給一個做一做。

師：好。

求值：cos210°+cos250°+cos270°（一部分學生很快得出了結(jié)果3/2）

點評：（講課達到高潮，激發(fā)了學生的興趣）說明：這種方法稱為構造對偶式，就是把式中的三角函數(shù)變?yōu)樗挠嗪瘮?shù)，這個方法在三角函數(shù)的求值中應用廣泛，大家要很好地掌握。

研究：以上我們用了多種解法，這就是一題多解，以后大家做題時，要多加思考，研究題目的解法，最好能找到最簡捷合理的解法?？匆豢?，把這道題變換一下成為：sin210°+sin250°+sin10°sin50°，結(jié)果變了沒有？

一部分同學在演算（過了一會兒），算后結(jié)論是沒有的。

師：對，是沒有，那么，觀察一下，它的角度有什么特點？

生：其和為 60°。

師：你能猜測出一般的結(jié)論嗎？

生：少數(shù)學生說：sin2α+sin（260°-α）+sinαsin（60°-α）=，

師：對不對呢？驗證一下。（一部分學生很快做出了證明）

師：結(jié)論是正確的，可以采用上面介紹的各種方法。再想一想，若變?yōu)橛嘞夷?？會有什么結(jié)論？（老師引導）

先將 sin210°+sin250°+sin10°sin50°變?yōu)?cos280°+cos240°+cos80°cos40°觀察角度有什么特點，其結(jié)果變了嗎？

生：（高興地說）角度的和為120°，結(jié)果不變。

師：能得出一般結(jié)論嗎？

師：對不對呢？留給你們自己去驗證。

研究：題目的條件變化，結(jié)論可以不變，也可以改變，還可以推廣到一般的結(jié)論，從中可以悟出一般的規(guī)律，這就是一題多變的精髓所在，進而可以促使學生在以后的學習過程中要多“思”、多“悟”，能舉一反三。